如何求解平面向量的数量积问题

张衡

平面向量的数量积问题的命题形式主要有三种：（1）根据已知的平面向量和夹角，求两个向量的数量积；（2）根据已知向量的数量积，求向量的模、夹角；（3）根据已知的平面向量和夹角，求平面向量的模或数量积的取值范围.平面向量的数量积问题，主要考查平面向量的运算法则、数量积定义、模长公式的应用.下面，笔者介绍求解平面向量的数量积问题的三种途径.

一、利用数量积的定义

若已知两个向量与 ，则它们的数量积 ?就是其中一个向量的模与另一个向量在该向量的方向上的投影的乘积，即 ?=?cos θ，其中θ为向量与的夹角.运用平面向量的数量积定义解题，往往要先求得两个向量的模；然后根据两个向量的位置和方向，明确其夹角是锐角、直角，还是钝角.当两个向量的夹角为锐角时，向量的数量积为正值；当两个向量的夹角为钝角时，其值为负值；当两个向量的夹角为直角时，其值为零.

二、选用合适的基底

对于一些涉及几何图形的数量积问题，如果不 易求出所求向量的模长及其夹角，就可以根据图形 的特点和题意寻找一组基底，并用这组基底表示出 所求向量及其数量积.通常可将已知模和夹角的向量 作为基底.若几何图形为直角三角形、矩形、等边三角 形等，则可将这些几何图形的相 邻两条边所在的向量作为基底.

三、建立坐标系

一般地，若 =（x1 ，y1）， =（x2 ，y2），则两个向量、 的数量积· = x1 x2+ y1 y2.有些几何图形中含有互相垂直的两条直线，或为规则图形，如长方形、正方形、等边三角形、圆等，此时可根据图形的特点，将两条互相垂直的直线当作坐标轴，来建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标形式表示出各个向量，通过向量的坐标运算来求得向量的数量积.

例3.已知向量 ，  ，  满足||=||=2，||=1，（- ）·（- ）=0，则|- |的最大值是_______．

上述两种解法都用到了坐标系法，都需根据题意 构造以 O 为圆心、2为半径的圆，并以 O 为原点，建立平面直角坐标系，如圖4所示.再分别采用不同的形式设 A、B、C 的坐标，利用数量积的坐标形式，并通过坐标运算求得|- |的表达式和最值.在建立直角坐标系时，往往需注意寻找或构造相互垂直的两条直线，这就需重点关注：（1）图形中的直角，如直角梯形、直角三角形、矩形的直角；（2）可构成垂直关系的直线，如圆的对称轴、线段的中垂线等.

无论是运用定义法、基底法还是坐标法来求解向量的数量积问题，我们都需熟练运用向量的运算法则、数量积的定义，灵活运用数形结合思想来辅助解题.因此，同学们在日常的学习中，需夯实基础，学会灵活运用向量中的基本知识、方法和数学思想.

（作者单位：江苏省扬州市新华中学）