复数情境设置,数学问题创新

陈 峰

(福建省福安市第六中学)

复数是高中数学的一个基础知识点,高考对相关知识的理解与掌握层面上的要求偏低一些,一般以选择题或填空题的形式出现,难度中等偏下.复数知识自身的诸多特点与文化背景使之一直备受命题者青睐,创设合理情境,巧妙创新应用.

1 复数的几何意义

复数的几何意义合理构建起了点Z(a,b)、向量＝(a,b)与复数的代数式z＝a＋bi(a,b∈R)三者之间的一一对应关系,为解决相关问题提供更便捷的方法.

例118世纪末,挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如|z|＝|OZ|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.已知复数z满足|z|＝1,i为虚数单位,则|z－3－4i|的最小值为_____.

设z＝x＋yi(x,y∈R),由题意|z|＝1,可知x2＋y2＝1,即为圆心为O(0,0),半径为r＝1的圆,由于|z－3－4i|的几何意义是圆O上的点到定点P(3,4)的距离,而|OP|＝＝5,故|z－3－4i|的最小值为|OP|－r＝5－1＝4.

具体的复数、复数的模、复数的运算等都具有各自对应的几何意义,充分挖掘这些相关要素的几何意义,可以将相应的问题巧妙转化,从不同的思维视角、不同的知识层面来分析、处理与解决问题,实现问题的突破.

2 复数的运算应用

复数的运算往往包括复数的四则运算、复数的三角形式运算以及复数的指数形式运算(后两者作为选学与提升内容,往往以创新定义的形式出现)等,通过数学文化情境的创设以及创新定义等形式来命题.

例2欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式,有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等,其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来(eiθ＝cosθ＋isinθ,自然对数的底数e≈2.71828,虚数单位为i).若复数z满足z＝,则的虚部为( ).

由eiθ＝cosθ＋isinθ,则有

又i2021＝i4×505＋1＝i,则有

复数的运算应用问题中通常考查复数的四则运算,有时也考查复数的三角形式运算或指数形式运算.

3 复数的方程应用

复数的方程应用经常以高次(三次及以上)方程为问题背景,通过复数的基本运算以及相关条件来创新设置,实现情境创设与创新应用.

例3在代数史上,代数基本定理是数学中最重要的定理之一,它说的是任何一元n次复系数多项式f(x)在复数域中有n个复数根(重根按重数计).那么f(x)＝x3－1 在复平面内使f(x)＝0 除了1 和这两个根外,还有一个复数根为( ).

本题以代数基本定理的数学文化为情境,以复数的方程为背景,巧妙融入复数的基本运算、方程的根等相关知识.

4 复数的综合应用

复数的综合应用是创新与综合的一个主要场所,可以将复数的基本概念、基本运算、几何意义等知识加以综合,巧妙考查相关的数学基础知识与数学思想方法等.

例4(多选题)瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一,他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式:eiθ＝cosθ＋isinθ(其中i是虚数单位,e是自然对数的底数),它也满足实数范围内指数的运算性质,下列结论正确的是( ).

对选项A,|4e5i|＝|4(cos5＋isin5)|＝＝4,故A 正确.

对选项B,i2020＋2021i＝i2020·i2021i＝ii＝,故B正确.

综上,选A,B.

本题以复数为主干知识,将复数、函数与方程、平面几何、解析几何、三角函数等众多的知识加以合理“串联”与构建,实现知识的多重组合与融会贯通.

借助复数知识的巧妙入题,创设创新情境与文化氛围,结合复数的定义、几何意义、运算、方程等,合理融入其他相关数学基础知识、数学思想方法和数学能力等,综合考查复数及其综合应用.

(完)