高中物理电源输出功率最大的条件论证及应用技巧

孙万兵

(甘肃环县第五中学)

在闭合电路中，电源提供的功率等于内外电路消耗的功率之和，对于含有可变电阻的纯电阻电路，可变电阻的阻值变化直接影响着电源的总功率，也影响着闭合电路中各部分的功率分配.电源的最大输出功率是电源性能的重要标志之一，求电源输出功率最大值的问题也是电功率这部分内容的难点，学生虽经反复练习，但仍不得其法.笔者经过调查得知，学生出错的根本原因在于不理解功率取最大值的条件.本文就电源输出功率最大的条件论证及应用，结合笔者自己的经验谈一些粗浅的认识，供参考.

1 基本规律及条件论证

1)当电源电动势E和内阻r一定，外电路的电阻R可变时，电源的输出功率在满足条件R＝r的情况下，可取得最大值.下面用多种方法对此结论加以证明，希望读者从中选择适合自己认识的证法，以加深对电源输出功率最大条件的理解.

证明1公式法

电源的输出功率，即消耗在外电路电阻上的功率P＝I2R，据闭合电路的欧姆定律有，所以

根据公式“若a、b均为正数，则，当且仅当a＝b时，a＋b取最小值，为，可得式②分母中，当(即R＝r)时，取最小值，为，因而，当R＝r时电源的输出功率有最大值，为.

证明2解析法

将式①变形为

当式③分母中(R－r)2＝0(即R＝r)时，分母取最小值4r，此时电源有最大输出功率

证明3利用二次函数的极值

若路端电压为U，电路中电流为I，则外电路中消耗的功率应为P＝UI，而据闭合电路的欧姆定律有

所以电源输出功率可以表示为

由式⑤可以看出，输出功率P是电流I的二次函数，且二次项系数为负，因而当电流(此时R＝r)时，电源输出功率有最大值，即

证明4图像法

根据式④作出路端电压随电路中电流变化的图像(如图1)，图像上任意一点N所对应的路端电压为U，电流为I，则这时消耗在外电路上的功率P＝UI可以用图中矩形(画斜线部分)的面积来表示.

图1

从图中可以看出，当电路中电流很小或者很大时，图中矩形的面积均较小，而只有当时，即时，矩形面积最大，即电源的输出功率最大值.

证明5利用导数求极值

式①中P对R求导数可得

令P′(R)＝0可得，R＝r(R＝－r无意义，舍去)时，输出功率有极值.

2)当电源电动势E和外电路电阻R一定，而电源内阻r可变时，由式①可得，r取值越小，输出功率P越大.

2 应用举例

在实际应用中，有些问题是求电源向整个外电路输出的最大功率，这类问题可以直接应用上述规律1)求解;有些问题是求外电路某一电阻或某一部分电路的最大功率，这类问题处理的常用方法是把求解对象等效看作外电路，而把其余电阻均等效看作电源内阻的一部分，当可变电阻包含在等效外电路中时，应用规律1)求解，当可变电阻包含在等效内电路中时，应用规律2)求解.

例1如图2所示，定值电阻R1＝2Ω，R2为最大阻值为6Ω 的滑动变阻器，电源电动势E＝12V，电源内阻r＝3Ω.求:

图2

(1)R1和R2消耗的总功率的最大值.

(2)R1消耗功率的最大值.

(3)R2消耗功率的最大值.

(1)R1和R2消耗的总功率就是电源的输出功率，若R1和R2的总电阻为R，则当R＝r＝3Ω(此时R2＝1Ω)时，R1和R2消耗的功率有最大值，最大值为

(2)把R1单独看作外电路，而把R2等效看作电源内阻的一部分，此时等效电源内阻r1是可变的，且r1＝r＋R2，当R2＝0时，r1取值最小为r，此时R1的功率最大，为

(3)把R2单独看作外电路，而把R1等效看作电源内阻的一部分，此时的等效电源内阻r2＝r＋R1＝5Ω，因而当R2＝r2＝5Ω 时，R2的功率有最大值，为

当求解最大功率的对象是可变电阻(或包含可变电阻)时，如果求解对象的总电阻变化到极限值还未能达到电源内阻(或等效电源内阻)，则求解对象的总电阻取最接近电源内阻(或等效电源内阻)的值时，其功率取得最大值.

例2如图3所示，电源电动势恒为12V，电源内阻r＝3Ω，定值电阻R1＝6Ω，R3＝15Ω，R2为一滑动变阻器，最大阻值为6Ω.求:

图3

(1)R1和R2消耗功率的最大值.

(2)R2和R3消耗功率的最大值.

(1)把R1和R2看作外电路，则等效外电阻R外1＝R1＋R2.把R3等效看作电源内阻的一部分，这时等效电源内阻r1＝r＋R3＝18Ω，R外1阻值的变化范围是6Ω≤R外1≤12Ω，当R2＝6Ω 时，R外1＝12Ω，R外1最接近r1，此时，R1和R2消耗功率有最大值，即

(2)同理，R外2＝R2＋R3，其变化范围是15Ω≤R外2≤21 Ω，r2＝r＋R1＝9 Ω，因而当R2＝0时，R外2＝15Ω，R外2最接近r2，所以R2和R3消耗功率最大值

(完)