利用手机Phyphox探究浮筒质量与振动周期的关系

陈云富

(浙江省乐清中学)

1 问题背景及提出

“曹冲称象”的故事大家都很熟悉，利用等效替代的方法，称量出大象的质量，但测量过程比较烦琐.我们猜想质量一定的小船(含大象)，在振动过程中周期为定值.如果能找到周期和质量的对应关系，则称量船体质量，只需用手机Phyphox中的加速度传感器测量周期即可.

为了简化问题，我们建立一个简单的浮筒模型.如图1所示，以浮筒平衡时，底部中央位置为坐标轴原点，竖直向下为正方向建立一维坐标系，设质量为m的浮筒平衡时，浸在水里的高度为x0，已知水的密度为ρ，圆筒的横截面积为S，则

图1

浸入水中的高度为x＋x0时，浮筒受到的回复力为

浮筒运动的动力学方程为

由初始条件t＝0，x＝A，v＝0，解得

可知浮筒的运动为简谐运动，振动周期

笔者用一个底面直径为12cm 的塑料圆柱形浮筒，将手机放入浮筒内展开实验.浮筒置于装着水的水桶内，实验实物装置如图2所示.实验过程中浮筒加速度随时间变化如图3所示.

图2

图3

由图3的实验测量结果可知，n＝7次振动的时间为t＝2.6505718s，则周期代入公式，得m＝402.6g.而用天平测量浮筒和手机的总质量为172g，这显然超出了实验误差的范围.

笔者猜想由于水桶的横截面不大，液面高度变化引起模型与实验不吻合，或者水波碰到水桶内壁回弹，回弹波对实验结果有重要影响.

于是，将实验浮筒移至湿地湖中进行，由于水域辽阔，水面高度几乎不变，也不存在水波回弹.但是实验测得周期与在水桶内测得相近，所以排除了场地因素的影响.

2 实验过程与数据

为了进一步深入探究浮筒质量与振动周期的关系，笔者采用控制变量法，在浮筒里加入砝码，用胶带将其固定在浮筒上，从而改变浮筒的质量，测量不同质量下振动的周期，如表1所示.

实验初始状态为将浮筒下压至合适位置，由于除了上下振动外，还有左右摇晃，为了实验数据更加可靠，每组实验均测量5次周期，再取平均值.记录原始数据为表1中的第二列和第三列，其余数据为基于原始数据的计算值，在后续作图中使用.

表1 实验过程中各物理量的测量值和其他量的计算结果

按上述理论推导，可知T2与m是正比关系，但是绘制的图4显示，两者并没有成正比关系.笔者用一次函数做线性回归，相关系数平方R2＝0.9413，与理论推导表达式不符，于是笔者从理论上重新审视其中的问题.

图4 T2 与m 图像及拟合结果

3 实验分析与结论

在上述问题分析中，笔者观察到浮筒的振动为阻尼振动，振动七八次后，振幅就比较小了，因此把浮筒振动视为简谐振动存在问题.查阅相关资料可知，水的密度是空气密度的773倍，则对应的阻力也是空气阻力的几百倍，在分析过程中不能忽略水的阻力.

设水对浮筒的阻力方向与速度方向相反，阻力的大小与速度大小成正比，即f＝－kv，则回复力可表示为

浮筒运动的动力学方程

由初始条件t＝0，x＝A，v＝0，解得

由上式可知，振动周期表达式为

根据表格数据，以T－2为纵轴，以m－1为横轴，绘制图像如图5所示.与通过坐标原点的二次函数进行拟合，相关系数平方R2＝0.9726，非常接近1，说明实验与理论高度契合.

图5 T-2与m-1图像及拟合结果

由于水的密度为103kg·m－3(温度t＝4 ℃)，浮筒直径d＝12cm，g取9.8m·s－2，可以计算出m－1前系数理论值为2.8074，这与拟合结果系数2.7966基本吻合.

4 结果应用和意义

利用上述的周期与质量对应关系，实现曹冲称象.将陶瓷小猫放入浮筒中，如图6所示，通过手机传感器软件(如图7)测得n＝3 次振动的时间为t＝1.3603745s，则周期.代入拟合公式可以得到浮筒的总质量为448.9g，由于手机和浮筒的质量为172g，所以可以知道陶瓷小猫的质量为276.9g.将小猫放在天平上，如图8所示，称量知道它的实际质量为272g，与根据周期测量的结果误差仅为1.80%.

图6

图7

图8

实验应用1:可以复制上述方法检测船舶是否超载.将船舶驶入相对平静的水域，将手机置于船舶上，测量船舶的振动周期，粗略估计船舶的整体质量.由于船舶不是圆形，模型建立会更加复杂.

实验应用2:由于m－1前的系数包含密度ρ，因而可以通过振动实验测量介质密度.

反思:我们意识到在建立物理量对应关系时，既要考虑理论模型，也要根据实际结果修正理论模型，当实验结果和理论比较吻合的时候，就可以应用结果进行预测和指导实际.

(完)