(2PSR+PUU)& RP混联机床的位置及其工作空间分析*

黄道阳 薄瑞峰 张旺旺 陈振亚

(中北大学机械工程学院， 山西 太原 030051)

并联机构自问世以来因具有刚度大、累计误差小、承载力好等优点，引起了各界的广泛关注。在制造业中，为了满足快速多变的市场环境，提高对产品的适应性，世界各国都在积极研制多功能的装备系统。并联机构和机床技术相互融合使得并联机床具有承载能力大又加工灵活，反应迅速[1]，在制造业中广为应用。

国外Hiwa G等[2]对一种四自由度的混联机床进行研究，分析了运动学和动力学，并在涡轮叶片的加工中得到了应用，为复杂曲面零件的加工开辟了新的途径。Harib K H等[3]研发了一种由旋转摆台和并联机构组成的混联机床，并研究了其位置逆解，轨迹规划。孟祥志等研发了一种可以实现握立转换的三腿并联机床[4]，应用于木制品加工和软金属品加工。天津大学的许建等[5]研制了一台五轴联动机床，对其进行了运动控制研究。鲁岩[6-7]等研发的大摆角五轴联动机床实现了刀具的大摆角加工，并利用神经网络算法分析了其正解。仇鑫等[8]设计了Stewart衍生型机器人的结构，并推导了其运动学正解。徐帅等[9]基于机构拓扑结构学设计了两种六自由度并联机构的拓扑结构，推导出了其位置正解表达式。杨应洪等[10]提出了可用于航空航天的复杂曲面零件加工的三自由度并联机床模型，并对其动力学模型进行了分析。

通过对并联机构的研究发现混联机床的机床属性具有更高效率和更大的加工灵活性。而并联机构因其杆数多，互相牵制导致其并不能拥有大的摆角，降低了其加工灵活性，著名的Sprint Z3[11]并联主轴头转动角度也仅为40°。而本文提出的混联机床是由可沿x、z轴移动，绕y轴转动的并联机构，与下方绕z轴转动和y轴移动的工作台串联而成五自由度混联机床。在满足刚度大，结构稳定等前提下，极大地提高了刀头摆动角度，刀具摆角可以达到(0°～90°)，具有较大工作的空间，可用于部分水轮机、汽轮机、航空航天发动机的涡轮叶片加工和复杂曲面零件的加工。

1 混联机床模型分析

本文提出的混联机床的三维模型如图1所示。该机床主要包含动平台、并联模块、移动导轨、旋转平台和末端刀具等部分。并联模块依托于定平台包括立柱1、立柱2、立柱3、支链1、支链2、支链3和动平台，各部分通过运动副连接起来。

支链1为PUU型支链，包含移动副、虎克铰，记杆长为L1;支链2和支链3相同，为PSR型支链，由移动副、球副和转动副组成，记杆长为L2、L3。定平台A1A2A3和动平台C1C2C3均为正三角形，记其外接圆半径分别为R和r，刀杆长度为Lt。以定平台A1A2A3所在三角形外接圆圆心建立惯性坐标系O1-x1y1z1，记为{A}。动平台C1C2C3的外接圆心中心建立动坐标系O2-x2y2z2,记为{C}，如图2所示。

2 并联模块的自由度分析

该混联机床由并联模块和机床下方的旋转工作台以及移动导轨组成。移动工作台可以沿y轴移动以及绕z轴转动，具有2个自由度。分析3个支链的自由度进而确定整个并联机床的自由度。由于支链2和支链3构型相同故只分析其中1个支链即可。运用螺旋理论[12]对支链1和支链2进行分析，得支链1的运动螺旋如图3所示，支链2的运动螺旋如图4所示。

支链1的运动螺旋及反螺旋可表示如下：

(1)

(2)

支链2的运动螺旋及其约束螺旋为：

(3)

(4)

由螺旋理论可得并联机构模块可实现绕x轴转动，x轴移动和z轴的移动，为三自由度并联模块。

接着使用修正的K-G公式验证：

(5)

其中：d表示机构的阶数，n表示包括机架的构件数目，g表示运动副数目，fi表示第i个运动副的自由度数目，v为冗余约束数目，ξ为机构中存在的局部自由度数目。由K-G公式得到本文并联机构的自由度数目为：

M=6×(8-9-1)+15=3

(6)

综上可知，用螺旋理论和修正的K-G公式证明了此并联机构的自由度为3，配合可实现y轴移动和绕z轴转动的工作台，整个机床具有5个自由度。

3 混联机床位置逆解

并联机床的位置逆解为已知动平台中心处长为l的刀具末端点的位姿参数和机构的各支链尺寸参数，求解各支链的驱动器的输入参数。其中(x2,y2,z2)为动坐标系的原点在惯性坐标系中的位置，(α,β,γ)为动坐标系在惯性坐标系中姿态的欧拉角。由于动坐标系中的位姿参数都需要转化到惯性坐标系中，这里我们运用Z—Y—X型欧拉角来描述：即在起始时动坐标系的3个轴和惯性坐标系的3个轴分别重合，第一次转动为动平台绕z2轴旋转α角。再绕y2轴旋转β角，最后绕x2轴旋转γ角达到最终位置。其旋转矩阵如下：

(7)

式中：s=sin，c=cos。

本机构没有绕y、z轴转动，故由动坐到惯性坐标系的变换矩阵为：

(8)

求解该机构的位置逆解为已知刀尖的位姿参数求解Bi(i=1～3)到平面A1A2A3的距离，记此距离为Si(i=1～3)。B点在惯性坐标系中的坐标为：

(9)

设刀具位置为D=(xd,yd,zd)T,刀具轴线方向矢量nd=(0,-sα,cα)，动平台上的点Ci(i=1～3)在惯性坐标系中的坐标为：

Ci=Rci+P(i=1～3)

(10)

(11)

由杆长的闭环矢量方程得杆长：

(12)

驱动杆的位移驱动参数可表示如下：

(13)

4 混联机床的位置正解

混联机床的位置正解为已知3个输入滑块的位移，求解动平台刀尖的位姿参数问题。本文采用粒子群优化算法，粒子群算法是模拟群鸟觅食的过程来进行随机搜索，通过构建最优方程进行逐次迭代求解，将混联机床的位置正解转化为最优解。

4.1 优化目标函数

式(14)为确定的目标优化函数，其中S1、S2、S3,为输入的机构的参数，R为机构定平台外接圆半径，r为动平台外接圆半径。

4.2 适应度函数

(14)

P=|p1|+|p2|+|p3| 为粒子的适应度函数，当P<10-8时停止迭代。

4.3 速度更新公式及参数

(15)

式(15)中：各参数含义见表1，在算法运行开始时设定如表2所示各项参数取值。输入5组不同的参数，其输出结果如表3示。

表1 粒子群优化算法参数含义

表2 粒子群优化算法参数取值

表3 位置正解运算结果

由表3可以看出在给定输入的情况下，通过粒子群优化算法可以直接得到位置正解，通过图5可以看出在迭代到第25次左右就已经取得最优值，曲线收敛速度很快，说明此算法能够很好地用于求解机构的正解。

5 混联机构的工作空间分析

工作空间的大小表征了机构可到达的范围，对我们研究机构具有很重要的意义。一般研究工作空间的方法有：离散求解法、几何求解法和数值求解法。以上方法在建立约束条件时可能会发生约束条件建立不全等问题，导致工作空间与实际相符程度不高。

本文采用一种基于SolidWorks软件的驱动动静结合法来求解工作空间，以滑块的位移为变量，以机床的构型尺寸为约束条件。先将滑块1移动一个步长然后固定，接着将滑块2移动一个步长，此时将滑块3从最小值移动到最大值后再回到最小值，完成后再将滑块2走两个步长，滑块3重复上述运动，排列组合完成后可求得该机构的工作空间，如图6所示。运动完成后将生成的数据点导入MATLAB软件生成该机构的工作空间如图7所示。并在ADAMS中使刀尖匀速运动得刀具摆角的运动曲线图如图8所示。

通过分析图7中的工作空间图，可以发现图中的工作空间符合动平台刀尖点的运 动轨迹，当步长设置的足够小，空间将连续无空洞，说明该机构在姿态工作空间没有奇异位形。图8为刀具在给定的匀速运动状态下的摆角变化曲线图，从图中可以得出刀具的摆角可达(0°～90°)，刀尖可实现较大摆角的运动姿态，基本符合此机构的特性。

6 结语

(1)提出一种以2PSR+PUU&RP型并联机构为主体的混联机床，运用螺旋理论和修正的K-G公式对其自由度进行研究发现其具有五自由度，可应用于复杂曲面零件的加工。

(2)运用闭环矢量法建立其逆解模型，并运用粒子群算法得到其正解，发现粒子群算法适用于求解机构正解，且收敛速度较快。

(3)通过驱动动静结合法结合SoildWorks软件绘制出其工作空间发现其具有较大的工作空间，刀具可实现绕X轴较大的转动，转动范围为(0°～90°)可实现大摆角加工。