评《分岔问题及其计算方法》

宁建国

(北京理工大学爆炸科学与技术国家重点实验室，北京 100081)

近二十年来，分岔问题日益受到广泛关注，其原因是在整个20世纪，力学与物理领域的许多重要进展大多与分岔问题有关。例如，20世纪40年代，荷兰力学家柯伊塔关于弹性系统屈曲后行为的研究，卡门-钱关于圆柱壳临界载荷的研究；20世纪60年代，洛伦兹关于奇怪吸引子的发现等等，都是和分岔问题相关的。20世纪后半叶，大量关于非线性力学问题的提出，特别是对这些问题数值方法的发展，都或多或少会遇到分岔问题。因此，从更为一般的观点研究和探讨分岔问题就成为很自然的一个研究方向。武际可与黄克服教授带领他们的研究生经过二十多年在这一方向上的合作研究和探索，成果丰富。他们的专著《分岔问题及其计算方法》[1]（北京理工大学出版社2019年7月出版），是他们多年在这一方向上研究成果的总结，也是这一方向上出现的许多优秀著作之一。

分岔问题实质是非线性问题，对它的理解与认识复杂且有一定难度[2-3]。而非线性连续介质力学问题经过离散化后一般表现为高维非线性动力系统的数值计算问题，该类问题的求解是目前计算力学问题的挑战性的课题[4-7]。《分岔问题及其计算方法》从动力系统的等价和等价类出发，另辟蹊径给出了以等价类来定义分岔的新途径，讨论了动力系统的稳定性、局部和全局分岔、静分岔与霍普夫分岔等问题，并且详细介绍了弧长法为代表的数值计算方法。同时，作为算例给出了一些重要实际问题的计算结果，如冷却塔的稳定性问题、旋转壳的大变形问题。本书给读者提供了一条求解这类动力系统问题的路径，给出了一些求解分岔问题的思路和可能有效的探求方向。

该书共分5章，一个绪论。在绪论章节，仔细讨论了在旋转的光滑大圆环上一个小圆环在重力场中的平衡问题，引出一个系统具有分岔现象的条件，介绍了各种各样的分岔现象并且简述了分岔问题研究的历史、现状和发展趋势。第1章是动力系统分岔的一些基本概念，包括动力系统的定义、动力系统的等价和等价类、分岔的定义；第2章是分岔的性质，包括平衡解的静分岔和霍普夫分岔、动力系统的全局分岔以及拓扑度的理论及其在分岔问题中的应用；第3章是弧长法，包括弧长法的定义、求解非线性方程组的数值方法以及弧长法在分岔问题中的应用；第4章是平衡解静分岔的计算，包括分岔点的判断与计算、分岔方向的寻求、若干数值算例以及分岔问题的简化；第5章是霍普夫分岔的数值方法及闭轨追踪，包括周期函数的插值、霍普夫分岔点的确定、周期解的追踪以及同宿和异宿轨道的寻求。该书的特点是不仅介绍基础理论知识，还通过若干数值算例，帮助读者思考和认识这些问题，深化理论基础，拓展研究方法。

该书从动力系统的等价和等价类出发，给出了以等价类来定义分岔的新途径，并定义分岔点是系统这样的状态，当系统参数任意微小改变将会产生系统等价类的改变。该书同时对线性非自治系统的等价问题进行了讨论。在此之前，人们在讨论线性动力系统的等价类时，总是对自治系统即其改变量方程为常系数线性系统来说的，但实际问题中经常要和非自治系统打交道。一般的线性非自治系统的等价类问题非常复杂，但对于周期系数的系统，存在一个变换，能够把它变为自治系统。此外，还对动力系统的稳定性、局部和全局分岔、静分岔与霍普夫分岔等问题进行了深入细致地定性分析，从而给出了对这些问题求解的理论基础。

探讨解算高维非线性动力系统的数值方法，是本书着重讨论的问题，也是本书最重要的特点。很多实际问题的自由度非常多，对经过离散化后得到的联立非线性方程的求解是极其复杂的，需要开展大规模计算。分岔问题的计算不仅是分岔点邻近的问题，还涉及大范围的求解，其通常是从某个初始状态开始按照一定的参数变化追踪解曲线的过程。在追踪解曲线的过程中，要判断动力系统在解曲线上是否稳定，要精确计算分岔点的位置并找出全部分岔方向。在数值计算过程中，不同的阶段需要采用不同的技巧和方法。

弧长法最早是针对结构系统的静力分析问题提出来的，但在用计算机求解非线性结构问题时会因为系数矩阵退化而无法求解[8]。人们经过20多年的失败和探索后，在20世纪70年代末，先后由美国的Wempner和荷兰的Riks提出了解决方案，后来被称之为伪弧长方法。

武际可和黄克服教授将通常求解含参数的代数方程组的弧长算法推广到求解含参数的常微分方程组的求解。通过一系列算例（如欧拉压杆问题、集中力作用下的圆拱问题、薄壁梁的侧向失稳、旋转壳的稳定性分析、Van del Pol方程的闭轨及洛伦兹方程的周期解等）展示了该方法的有效性和准确性。而后又把求解常微分方程动力系统的伪弧长算法延伸用来求解微分动力系统中的双曲偏微分方程的 Burgers 奇异性问题，并总结归纳出伪弧长算法的基本思想定义为通过在解曲线上引入伪弧长参数，并增加一个约束方程，使得在伪弧长参数作用下，原始离散单元发生扭曲形变，从而达到消除或减弱奇异性的目的。在此基础上，发展了一套求解分岔问题的数值方法，如果能够将这一数值方法嵌入到大型非线性结构分析程序中去，就能够有效地分析任何复杂结构的非线性变形过程。

弧长方法作为最古老和最经典的参数方法被应用到很多领域，该方法属于引入参数类方法中的一种，通过将原来的曲线添加引入弧长参数，将求解计算问题的空间变换，进而使得求解问题得到简化。曲线参数化是将一条曲线建立对应参数方程的过程，而弧长参数化是指以曲线自身的弧长作为变量参数，建立弧长参数方程。如果用弧长参数曲线表示点的运动轨迹，那么运动轨迹对应的变量值表示轨迹的长度，这样很多难以直接表述的参数空间就可以直接通过引入弧长参数来描述，通过参数变化给出容易处理的参数方程。该方法对于非线性问题的求解具有较大的潜力。尚待进一步研究开发，特别是对于那些具有快速过度以及强间断问题会显出特别的优越性。

笔者近些年受武际可与黄克服教授发展弧长方法计算非线性问题和分叉问题的启发，把它应用到大规模爆炸问题的计算中，得到了良好的效果。文献[9-10]针对爆炸与冲击问题的强间断特点，从物理的角度引入弧长参数给出了统一的处理强冲击间断的伪弧长算法。通过在一维和多维空间引入弧长参数，将冲击间断问题转换到弧长空间的连续函数，进而在高分辨率处理冲击波问题上给出非常理想的结果。在此基础上，将伪弧长算法应用于求解爆炸与冲击问题过程中，先后发展出局部伪弧长算法与全局伪弧长算法（伪弧长自适应网格算法），通过伪弧长变换来捕捉爆炸与冲击波阵面，建立了爆炸与冲击问题的伪弧长算法的基础理论体系及工程实际问题的计算求解方法，成功解决了三维爆炸与冲击问题冲击波的追踪与捕捉这一难题，有力促进了三维双曲型方程计算与求解的发展。

分岔现象是非线性动力系统研究的重要内容，也是一类十分有趣的、并且很复杂的研究方向，数值方法已经成为解决分岔或其他奇异性问题的主要手段。武际可和黄克服教授的《分岔问题与计算方法》是一本值得相关科研工作者学习的参考书。