内容综合 思维进阶 方法贯通
——“直线与圆的位置关系”复习课的教学设计

钱建芬

(江苏省苏州市吴江区实验初级中学 215228)

1 问题提出

大多数教师在数学复习课习惯于习题讲评，而缺少对某一主题、某一个单元进行知识整体架构，更不用提在此基础上引导学生触类旁通地进行复习.教师根深蒂固的想法就是要多讲几道例题，总认为“题目讲了，学生就懂了；学生能做了，也就学会了”.殊不知，即便是教师讲过的例题，有相当多的学生在新的情境里再次碰到类似的问题时还是不会分析、不会思考、不会作答.究其原因，是我们的复习课把知识点割裂开来进行回顾，本质上还是新授课的“浓缩版”，不仅仅是教学内容在“炒冷饭”，解题技能和思维能力也得不到进阶.这种低效的复习课进一步把学生的思维固化了，把学习内容割裂了，不利于学生必备品格和关键能力的进一步发展，直接影响数学学科素养的提升.一堂优质的数学复习课应该体现“学习内容要综合，技能训练要贯通，思维品质要进阶”三大基本特征.应让学生通过对知识的温习、回顾，建立知识之间的联系，启发深刻的思维活动，厘清一类问题的基本解决方法，让学生在变式训练中获取新知识、新方法、新技能，积累数学学习的经验，达到“讲一题、得一法，会一类、通一片”的学习效果.所以，要上好一堂数学复习课，不但考验着教师的学科素养和教学技艺，也“拷问”着我们的教育思想和教学主张.

下面以“直线与圆的位置关系”复习课为例，呈现设计思路，供读者参考.

2 内容分析及教学目标

“直线与圆”是《圆》这一章的重要内容，包括直线和圆的位置关系、切线的概念、切线的性质和判定、三角形的内切圆、切线长定理及其应用等.这部分内容比较典型地体现了图形的位置关系与相应的数量关系的内在联系，蕴涵着数形结合的思想，一直是各省市中考命题的热点.一是题型多样，有填空题、选择题和解答题等；二是内容综合，常常与三角形、四边形等结合在一起，可谓多变；三是方法灵活，时常还会与图形相似、全等知识综合运用，可谓灵活.因此，在复习“直线与圆”的内容时，既要关注结论的理解与应用，更要让学生感受其中的思想方法并能够运用这些结论进行逻辑推理解决有关问题，从而提升数学学科素养.

教学目标

(1)回忆直线与圆的三种位置关系，巩固掌握三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形等概念.复习“过圆上一点作圆的切线”的方法，能作三角形的内切圆.

(2)在处理直线与圆的位置关系这一类问题时，要想方设法将问题转移到直角三角形中来讨论，将直线与圆的位置关系引发的问题与直角三角形的有关知识构建关联.重点复习垂径定理和切线长定理在新情境中的应用.

(3)了解复杂问题无非是一组简单问题的组合，在分析复杂问题的时候，掌握将之分解为简单问题的思考方法，提高在新情境中发现“老问题”的能力.

3 教学过程

以2011年江苏省连云港市数学中考卷第26题为线索，设计“直线与圆的位置关系”复习课的“四问题五环节”，帮助学生回忆知识、反刍经验、发展技能，促进思维品质进阶.

原题呈现(2011年连云港中考数学卷第26题)：已知∠

AOB

=60°，半径为3 cm的⊙

P

沿边

OA

从右向左平行移动，与边

OA

相切的切点记为点

C

.(1)⊙

P

移动到与边

OB

相切时(图1)，切点为

D

，求劣弧的长；

图1

(2)⊙

P

移动到与边

OB

相交于点

E

,

F

，若求

OC

的长.

3.1 导入

教师不急于指导学生解题，而是从直线与圆关系的本原问题上组织学生讨论，帮助学生回忆知识，抛出第一个问题.

问题1

如图2，已知∠

AOB

=60°，半径为 3 cm的⊙

P

沿边

OA

从右向左平行移动，与边

OA

相切的切点记为点

C

.当点

P

到边

OB

的距离满足什么条件时，边

OB

与⊙

P

相离、相切、相交？

图2 图3

功能分析 明晰直线与圆的三种位置关系可以用数量关系表达.

教学示范 学生在理解圆心到直线的距离

d

与圆的半径

r

的数量关系可以确定直线与圆的位置关系后，教师进行追问.追问1 ⊙

P

沿边

OA

从右向左平行移动，什么量改变，什么量不变？追问2 圆心

P

点到边

OB

的距离如何表示？指导学生通过作图来表达.追问3 如图3，边

OB

与⊙

P

相切时，还能得到什么结论？

学生通过动手作图，可以直观感受到直线与圆的三种位置关系所对应的三个数量关系，引导学生逆向思考问题.

3.2 展开

教师在学生厘清直线与圆位置关系判断法则后设计第二个问题，让⊙

P

与

OB

,

OA

,

AB

三边都相切，在△

OAB

,△

PEF

之间展开讨论.

问题2

如图4，当边

OB

与⊙

P

相切于点

D

时，如果在优弧上任意取一点

M

，过点

M

作⊙

P

的切线与边

OB

,

OA

交于点

E

,

F

，连结

PE

,

PF

.

图4

(1)请找出图中相等的线段、相等的角；

(2)还能得到哪些重要结论？

(3)当点

M

在优弧上运动时，你能求出∠

EPF

的度数吗？(4)当点

M

在劣弧上运动时，你能求出∠

EPF

的度数吗？

功能分析 将直线与圆关系的问题转化为学生熟悉的基于三角形问题的研究，帮助学生反刍切线长定理，加深对三角形内切圆的内涵的理解，促进对知识的全面掌握并灵活运用.

教学示范 学生的认识是螺旋上升的过程，在问题一图形的基础上，增加一条切线，当边

OB

与⊙

P

相切时，连结

PC

,

CD

，就构成了切线长定理基本图形，自然复习了内切圆、内心及切线长定理的性质.这里的(1)(2)小题是停留在知识层面，(3)(4)小题助推学生深度学习.教师首先鼓励学生通过小组交流、讨论的方式，让学生寻找问题的突破口.其次通过几何画板的动态演示，让学生感受数学中的“变”与“不变”，点

P

是△

OAB

内角平分线的交点，∠

EPF

的度数只与∠

AOB

的度数有关.

3.3 延伸

问题进一步进阶，⊙

P

继续向左运动，此时与边

OA

仍然相切，但与边

OB

相交，在新的情境中提出第三个问题，促进学生深度学习.

问题3

如图5，⊙

P

与边

OB

相交，当⊙

P

与边

OB

相交于点

E

,

F

，且

C

,

P

,

F

在一直线上，

D

是

OC

的中点，连结

ED

.

图5

探究1 线段

ED

与⊙

P

的位置关系.探究2 弦

EF

的长度.

功能分析 有关切线的问题通常有两类：一是已知直线与圆的交点，经常“连半径，证垂直”；二是未知直线与圆的交点，经常“作垂直，证半径”.在求圆中弦的长度时，还是要构造直角三角形，以便利用垂径定理来处理.进一步让学生看明白，要解决直线与圆位置关系带来的问题可以转化到三角形里来讨论.

教学示范 在本题中，⊙

P

在运动，图形发生改变，这样新的问题也随之产生.设计的第一个探究活动是帮助学生建立如何证明一条直线是圆的切线；设计的第二个探究活动是帮助学生进一步理解求圆中弦长的方法，即构造弦心距、半径以及半弦组成的直角三角形.

3.4 深化

问题进一步深化，难度继续提高，启发学生思考和讨论与圆相交的边

OB

和圆心

P

点之间的位置关系，发现线段

OC

的长度有几种可能，促进思维品质的进阶.

问题4

在图5中，当⊙

P

继续向左运动，⊙

P

与边

OB

相交于点

E

,

F

，若求线段

OC

的长.功能分析 因为解决这个问题将涉及到圆中弦长的计算，所以需要用分类讨论、数形结合的思想来解.教师积极引导学生将设问变成自己大脑中的心智“图形”，再将心智“图形”呈现出来，启发学生通过作图来帮助思考，寻求解决问题的方法，最终把线段

OC

的长算出来.学生通过观察与思考，发现圆心

P

的位置有三种情况.在排除图8这种情况外，还是要构建直角三角形

PMN

,

PME

(

PMF

)和

NCO

等，回到三角形中利用垂径定理解决问题.教学示范 教师可以请学生把自己的心智“图形”大胆地画在黑板上，对出现的问题进行点拨，同时进一步让学生感受到题目、图形在变，不变的是我们分析问题的方法.通过讨论、交流，借助几何画板动态演示，发现本题中的点

P

作图分为三种：当圆心

P

在

OB

的右边，当圆心

P

在

OB

的左边，当圆心

P

在

OB

上，如图6～8.因为图8中的圆心

P

在线段

OB

上，

EF

就是直径，已知直径等于6 cm，所以此情况排除.那么要计算的线段

OC

，只有图6和图7两种情况.

图6 图7 图8

追问1 本题中，我们如何利用已知条件求

EF

的长？追问2 本题中，我们如何利用线段

OC

的特殊性？

3.5 归结

通过对以上四个问题由浅入深、由易到难的分析，学生解决了原题中的设问，求得劣弧的长为2π cm，线段

OC

的长度或同时，对直线与圆的位置关系的知识进行了系统回顾，并与直角三角形的相关知识构建关联，帮助学生拓宽了分析问题的思路，贯通了处理问题的方法，助推了深度学习的产生，促进了思维品质的进阶.

4 教学设计说明

一道例题分解为四个问题呈现，各个教学环节之间有梯度，学习内容逐步综合，思维深度不断进阶，但是处理问题的方法(技能)是贯通的，就是要构作直角三角形，将直线与圆的位置问题转化为直角三角形的问题，实质上也是直角三角形知识在新的情境中应用的复习，前后知识也能在这里交融、重构及提升.

(1)中考复习要夯实基础，抓住一个“基”字，追求一个“效”字

初三数学复习教学中，必须扎扎实实地夯实基础，使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求；设置“问题1”就是复习直线与圆的三种位置关系与数量关系之间的联系，学生分析出只要作出过点

P

到边

OB

的距离，然后与半径比较大小.在这个过程中，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速，完成知识思维导图，注意知识之间的内在联系，学会构建知识网络，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合，寻找解题途径、优化解题过程.

(2)中考复习要唤醒思维，抓住一个“说”字，追求一个“通”字

中考复习不是新授课，不能把知识简单地再现出来，而要让学生参与到具体问题解决中来，回忆知识，反刍经验，提高技能，促进思维进阶.所以，教师要设计富有思维质量，且能引发深度学习的数学问题，使学生在亲身经历问题的探索过程中，来唤醒思维，增长数学活动经验.在“问题二”中设置开放性问题，让学生经历作图复习课的关键就是要学生能表达出解决问题的方法，在否定、肯定、批判和质疑的思辨中学会思考.所谓“会思考”就是学生在解决具有新情境问题的过程中，能自己“悟”出方法，明晰思路，在新情境中抽象出“老问题”的模型，将新旧问题串联起来，寻觅解决问题的一般方法，做到“懂一题，通一类”，提升数学素养与能力.

(3)中考复习要拓宽思路，抓住一个“变”字，追求一个“新”字

变式训练在本质不变的基础上变换问法，不仅能使问题解决所需的数学知识增加，而且能促成学生“换位思考”，产生积极联想.高质量的变式训练才能够挖掘学生的潜能，提高学生对数学问题的敏捷性，培养学生用数学的视角观察问题、提升学生用数学思维分析问题的能力，从而拓宽学生的思路，将各部分数学知识通过问题解决联系起来.通过变式训练帮助学生构建深层次的知识体系.但是，该体系的构建不是一朝一夕的事情，要在教学中循序渐进，逐步堆栈，螺旋提升.同时，要培养学生勇于钻研的精神和创新能力.

5 结语

“双减”不是降低对教学的标准，反而是对教与学提出了更高的要求，需要教师转变教育观念，改善课堂教学方法，优化技能训练方式，促进学生深度学习，帮助学生提高学习效率.一堂优质的数学复习课的核心价值体现在“内容的综合、方法的贯通和思维的进阶”上.教师应理解学生和教材，厘清数学知识点之间的关系，建构知识间的链接，精心设计学习活动.在整个教学活动中，教师应以高质量的问题为驱动，引领学生主动参与，想方设法启迪学生深刻的思维活动，在浓郁的数学味中构建高效数学复习课堂.