考虑随机外强迫的湿大气方程组弱解的适定性分析

张博冉，连汝续

(华北水利水电大学数学与统计学院，河南 郑州 450046)

1 预备知识

本文研究了曾庆存院士[1]提出的湿大气动力学方程组，证明了随机外强迫作用下湿大气动力学方程组初边值问题整体弱解的存在性和稳定性. 下面首先介绍湿大气方程组的初边值问题. 引入地形坐标系(θ,λ,ζ;t)，θ是余纬且θ∈[0,π]，λ是经度且λ∈[0,2π]，p是气压且p∈[0,ps]，ps为地表处气压，ζ=p/ps∈[0,1]，t表示时间. 那么，考虑如下随机外强迫作用的湿大气方程组.

大气运动方程：

(1)

大气热力学方程：

(2)

水汽方程：

(3)

连续性方程：

(4)

准静力平衡方程：

(5)

其中，Co,Cp,R是热力学常数，ui,vi(i=1,2,3)是耗散系数，g是重力加速度，w是地球自转角速度，Ψ1表示单位时间内大气从外界获得的热量，Ψ2表示水汽相变过程中液态水的变化量.

参考文献[3-4]中的方法，可给出随机外强迫的定义.在完备的概率空间(Ω,F,P)中，假设ω1,ω2,ω3,…是样本空间Ω中一列期望为E的独立标准的布朗运动，随机过程W是一个wiener过程，因此随机外强迫Ψ可定义如下：

(6)

是关于时间的加性白噪声，而G是从(L2(Ω))2到(H1+2γ0(Ω))2(γ0>0)的Hilbert-Schmidt算子.假设

(7)

是满足以下随机Stokes方程初值问题

(8)

定义Ψ1为非绝热加热作用，Ψ2为水汽相变作用. 其余参数的含义可参见文献[1-2].

接下来，定义系统(1)～(5)的初边值条件. 首先，给定初值条件为

V|t=0=V0,T|t=0=T0,q|t=0=q0,

(9)

再给出边界条件为

(10)

目前大气动力学方程组的适定性问题已经取得了很多重要成果. 例如，曾庆存[5]就曾系统地论述过多种大气模式解的适定性，并提出了海气耦合问题. 随后，文献[2,6-15]研究了基于原始方程的各种大气动力学方程组，并证明了方程组初边值问题整体弱解和强解的适定性.另外文献[16-20]还研究了考虑水汽相变过程的湿大气方程组初边值问题的适定性.关于研究大气方程组吸引子的结论，可参见文献[11-12,14-17,21-22].

目前对考虑随机因素的大气方程组也有一些重要的结论. 例如，文献[23-25]中建立了随机气候模式和考虑随机外强迫作用的海气耦合模式. 之后，Griffies等[26]和Majda等[27-30]又对考虑随机外强迫作用的气候模式进行了数学理论和数值计算方面的研究.郭柏灵等[3-4]还研究了考虑随机外强迫作用的海洋原始方程组的适定性以及整体吸引子的存在性等. 2018年，Dong等[31]研究了具有指数混合性质的三维随机原始方程的适定性，得到了所有的弱解都有同一个不变测度，以及强解不变测度的唯一性.

2 主要结论

首先，利用式(4)和(5)，结合边界条件，可将考虑随机外强迫作用的湿大气动力学方程组简化为如下形式：

(11)

定义未知函数U∶=(V,T′,q)，进而给定初值为

U0,

边界条件为

(12)

系统(12)满足如下边界条件：

(13)

接下来定义如下算子：

下面可给出类似于文献[2]中弱解的定义.

下面给出整体弱解的存在性和稳定性定理.

注：借鉴参考文献[2]中注2.2的方法，利用叶果洛夫定理可证明整体弱解的几乎处处稳定性，这里省略了具体的证明过程.

3 能量估计

本部分给出系统(12)～(13)的能量估计.

(14)

这里C(M)是与时间M有关的常数.

证明令式(12) 与(u,T′,q)作内积，并利用边界条件得

q2]|ζ=1dσ=I1+I2+I3+I4+I5+

其中

由Hölder不等式和Young不等式可得

|I1|≤C‖Z‖L2(Ω)‖T′‖L2(Ω)+

(15)

这里C表示某正常数，下同. 又因为

(16)

且有

本文利用复模态指示函数法和多参考点最小二乘复频域法对测量所得汽车发动机飞轮频响函数矩阵进行分析，然后再对结果进行了二级验证。运用OROS V3动态信号分析仪、NVGATE和Modal II分析软件，采用多参考点锤击技术对飞轮进行动态性能测试，获得试验模态参数。利用Solidworks与ANSYS软件建立飞轮模型并计算出了理论模态参数。结果显示，二者的固有频率接近、振型相似，验证了发动机飞轮模型的准确性。本研究对改进发动机飞轮结构，促使汽车轻量化具有一定的参考价值。

(17)

又由Hölder不等式、插值不等式和Young不等式可得

(18)

这里ε是任意小的常数，下同. 另外由Hölder不等式、Minkowski不等式、插值不等式和Young不等式可得

(19)

同理可得

(20)

(21)

综合式(16)～(21) 可得

由分部积分可得I3=0,I4=0, 进一步由Hölder不等式和Young不等式可得

综上可得

对上式使用Gronwall不等式，即可证明式(14)成立.

4 定理证明

(22)

和

0,

(23)

其中

在下面的证明过程中，对于不含Z的项，可利用类似参考文献[2]中引理4.2的证明方法得到，这里略去具体证明过程. 那么首先给出J1的先验估计

C‖u*k‖H1(Ω)‖Z‖H1(Ω)‖φ1‖H1(Ω)≤

同理可得

其中，由分部积分、Hölder不等式、Minkowski不等式和插值不等式可得

(‖φ‖L6(Ω)+‖φζ‖L6(Ω))≤

同理可得

其中，由Hölder不等式可得

C.

最后，由Hardy不等式和Hölder不等式可得

利用上述结论和参考文献[2]引理4.2的证明方法可得

F∈L2(0,M;H-2(Ω)),

再借鉴文献[11-12]的证明思路，可得到系统(12)～(13)整体弱解的存在性，即定理2.1成立，这里不再给出具体证明过程.

接下来，证明系统(12)～(13) 整体弱解的稳定性.

采用类似文献[2]第4章的证明方法，当m→+∞，可得以下紧性框架：

5 结 论