Proper条件下1-集合压缩映射的不动点定理

涂 昆，苏丽丽

(1.扬州大学数学科学学院，江苏 扬州 225002；2.武警工程大学基础部，陕西 西安 710086)

许多应用中的问题，比如物理、化学、生物、生态等科学中的许多实际问题，最终可以转化为求如下非线性方程解的问题：

x=Ax+Bx,x∈C,

其中，C是Banach空间X中的非空有界闭凸子集，A和B是定义在X上的非线性算子.1954年，Krasnoselskii[1]证明了此方程在算子A+B映射下的不动点定理，其中A是紧连续映射，B是压缩映射.

定理1假设C为Banach空间X中的非空有界闭凸子集，A、B是两个由C到X的非线性映射，且满足如下条件：

(i)A是紧的连续映射,

(ii)B是压缩映射,

(iii)A(C)+B(C)⊂C,

则算子A+B在C中至少有一个不动点.

f:X→Y称为压缩映射，如果存在0

α(A)=inf{d>0:A⊂∪j∈FEj,F有限,d(Ej)≤

d},

其中d(Ej)表示Ej⊂X的直径，更多关于非紧性测度及其应用的讨论，参见文献[4].虽然Sadovskii的定理直接覆盖了Krasnoselskii的定理，但是通常仍然将和算子的不动点问题称为Krasnozelskii型不动点问题，详见文献[5-10]及其相关参考文献.

关于非扩张映射等度量性质的不动点已做了大量研究[11-14]，在这些研究的启发下，许多数学家将研究重点转向关于不动点性质的拓扑分支的研究，例如k-集合压缩映射[15]、凝缩映射[2]、1-集合压缩映射[16]等.其中，1-集合压缩包含了完全连续映射、凝缩映射、非扩张映射、k-集合压缩等.

Krasnoselskii定理的证明中使用了关于压缩映射的一个关键性质，即如果D⊂X，f:D→X是一个压缩映射，则映射I-f:D→(I-f)(D)是一个同胚映射.2010年，Falset[17]在f非扩张，且I-f为ψ-扩张的条件下证明了f的不动点存在性.

而后，Djebali等[18]注意到ψ-扩张是α-ψ-扩张的一个特例，将其不动点定理推广到f为1-集合压缩、I-f为α-ψ-扩张的条件下.而其证明利用了α的定义特征，具体地，利用了其定义中一个集合被有限个直径可控的集合覆盖这一特定性质.而非紧性测度的形式多样，例如最近Cheng等[19]和Ablet等[20]证明了在任意Banach空间中都存在不等价的齐次非紧性测度，说明了非紧性测度的不可数性质.在本文中，利用公理化定义的非紧性测度μ，将文献[18]中的结果推广到任意的非紧性测度.注意到I-f的闭性，假设I-f是proper映射，而α-ψ-扩张即是一类特殊的proper映射.同时，类似地考虑了弱拓扑情形下的不动点定理.

1 μ-1-集合压缩映射的不动点

在这一节中研究proper映射的闭性，通过逼近不动点方法证明μ-1-集合压缩映射的不动点性质.文中(X,‖·‖)表示实Banach空间，B(0,r)表示原点在0半径为r的闭球，B(X)表示X的单位球.

假设B(X)为X中所有非空有界子集构成的集族，那么函数μ:B(X)→[0,+∞)称为X上的正则的非紧性测度，如果μ满足对任意A,B∈B(X)，

(i)μ(A)=0⟺A相对紧，

(ii)μ(A)≤μ(B)，∀A⊂B∈B(X)，

(iii)μ(coA)=μ(A)，

(iv)μ(A∪B)=μ(A)∨μ(B)，

(v)μ(A+B)≤μ(A)+μ(B)，

(vi)μ(kA)=|k|μ(A)，k∈R.

其中A∈B(X)，Hausdorff测度也满足上述条件.另外，也有许多满足这些条件的非紧性测度存在，具体测度的构造例子详见文献[4].

若函数μ:B(X)→[0,+∞)满足μ(A)=0⟺A相对弱紧,及(ii)～(vi)，则μ称为非弱紧性测度.de Blasi[21]引入的测度ω即满足上述条件，对任意A∈B(X)，

ω(A)=inf{r>0∣A⊂K+rB(X)}.

其他一些应用广泛的非弱紧性测度参见文献[6].

定义1映射f:X→Y称为(弱)proper映射，如果相对(弱)紧集B⊂Y的原像f-1(B)为相对(弱)紧集.

映射f:X→Y称为α-ψ-扩张，若存在函数ψ:[0,∞)→[0,∞)满足ψ(0)=0且当r>0时ψ(r)>0，使得对任意A∈B(X)，则有α(f(A))≥ψ(α(A)).

例1(i) 上半Fredholm算子是proper映射,

(ii)α-ψ-扩张映射是proper映射，特别地，当ψ是可逆的非减函数或连续函数时ψ-扩张映射是proper映射,

(iii) Tauberian算子是弱proper映射.

我们猜想proper映射和弱proper是不相容的，但是遗憾的是目前并不明确它们的确切关系.下面将证明proper映射的一个重要性质.

引理1假设C是Banach空间X中的非空闭子集，f:C→X是一个连续的proper映射，则f的像R(f)是闭集.

证明假设序列(yn)n∈N∈R(f)收敛到y0∈X，则对任意n∈N,存在xn∈C使得yn=f(xn).由于{yn}是相对紧集，则{xn}是相对紧集.进而，存在子序列{xnk}及x0∈C，使得xnk收敛到x0.由f的连续性可知，ynk收敛到f(x0).进一步可以得到y0=f(x0)，故而定理得证.

同理可以得到关于弱proper映射的闭性.

推论1假设C是Banach空间X中的非空弱闭子集，f:C→X是一个弱连续的弱proper映射，则f的像R(f)是闭集.

在实际应用中，往往验证一个映射弱序列连续比验证其弱连续容易，故而当f为弱序列连续时有同样的结论.

推论2假设C是Banach空间X中的非空弱闭子集，f:C→X是一个弱序列连续的弱proper映射，则f的像R(f)是闭集.

Djebali等[18]利用Kuratowski测度定义的特殊性质，证明了当f为α-1-集合压缩且I-f为α-ψ-扩张映射时的不动点定理.接下来，要在I-f为proper条件下将此定理推广到任意的非紧性测度μ.

定义2设X为Banach空间，连续映射f:X→X将X中的有界集映射成有界集，μ是X上的非(弱)紧性测度.称为μ-1-集合压缩，如果对任意A∈B(X)

μ(f(A))≤μ(A).

定理2设C是X中的非空有界闭凸集，μ是一个非紧性测度，f:C→C为μ-1-集合压缩且I-f是proper映射，则f至少有一个不动点.

类似地，利用推论1可得当μ是弱非紧性测度，f是弱连续时的不动点定理.

定理3设C是X中的非空有界闭凸集，μ是一个非弱紧性测度，f:C→C为弱连续的μ-1-集合压缩且I-f是弱proper映射，则f至少有一个不动点.

推论3设C是X中的非空有界闭凸集，μ是一个非弱紧性测度，f:C→C为弱序列连续的μ-1-集合压缩且I-f是弱proper映射，则f至少有一个不动点.

2 Krasnoselskii型不动点定理

在这一节中，利用上一节的结论，研究和算子的不动点性质，并将其应用到积分方程.一个连续算子A被称为完全连续的，如果A将有界集映射成相对紧集.

定理4设X是一个Banach空间，C为X中的非空有界闭凸子集，μ是一个非紧性测度.若算子A,B:C→X满足

(i)A是完全连续,

(ii)B是μ-1-集合压缩且I-(A+B)是proper映射,

(iii)A(C)+B(C)⊂C，

则A+B存在不动点.

证明由条件(iii)可知，A+B为C到C的自映射，由定理2得，A+B存在不动点.

定理5设X是一个Banach空间，C为X中的非空有界闭凸子集，μ是一个非紧性测度.若算子A,B:C→X满足

(i)A是完全连续,

(ii)B是μ-1-集合压缩且I-B有连续的逆映射,

(iii)A(C)+B(C)⊂C，

则A+B存在不动点.

证明任取x∈C，则对任意y∈C，Ax+By定义了算子Ax:C→C.由条件(ii)可得Ax是μ-1-集合压缩且注意到具有连续逆的映射是proper映射，故I-Ax是proper映射，进而由定理2可知存在y∈C使得y=Ax+By，即(I-B)-1Ax=y.进一步地，(I-B)-1A是从C到C的连续的自映射.由于A是完全连续，故而(I-B)-1A是完全连续映射，由Schauder不动点定理可得，存在不动点x0∈C，使得(I-B)-1A(x0)=x0，命题得证.

注1称f:D(f)⊂X→X为ψ-扩张映射，如果存在连续或非减的函数ψ:[0,∞)→[0,∞)，满足ψ(0)=0且当r>0时，ψ(r)>0，使得对任意x,y∈D(f)，有‖f(x)-f(y)‖≥ψ(‖x-y‖).Falset[17]证明了ψ-扩张映射是一类具有连续逆的映射.因而，文献[17]中的定理3.7和文献[18]中的定理3.7是定理5的推论.

例2设T∈R，X=C([0,T],R)表示连续函数空间赋予上确界范数，讨论如下积分方程

(1)

其中f和g满足如下条件：

(i)f:[0,T]×R→R为连续函数，且f:I×X→X为α-1-集合压缩，其中I为单位映射；

(ii)I-f(t,·)为ψ-扩张；

(iii)g:[0,T]×R→R为连续函数且存在m,k∈L1([0,T],R+)和增函数Ω:R+→R+，使得对任意x∈R，a.e.t∈[0,T]，有

‖g(t,x)‖≤m(s)Ω(|x|)+k(t).

且对任意x∈R，g(·,x)可测，g(t,·)连续a.e.t∈[0,T]；

当f和g满足上述条件时，方程(1)有解.

证明设算子A,B:X→X定义为对任意u∈X，

B(u)(t)=f(f,u(t)).

下证A+B有不动点.由Ascoli定理可知，算子A是连续的紧算子.由(i)可得B为α-1-集合压缩.

进一步由(ii)可得I-B为ψ-扩张.事实上，设h(t,·)为ψ-扩张，则对任意u,v∈X

‖h(t,u)-h(t,v)‖≥ψ(‖u-v‖)，

即

sup{|h(t,u(s))-h(t,v(s))|:t,s∈[0,T]}≥

ψ(‖u-v‖)，

在上式中取s=t即得I-B为ψ-扩张.

‖A(u)+B(v)‖≤‖f(t,v(t))‖+

‖k‖1，