破解椭圆中有关面积最(定)值问题的新视角*

罗文军

(甘肃省秦安县第二中学,741600)

*本文系天水市“十三五”规划2020年度教育科研课题“在高中数学圆锥曲线习题教学中培养学生数学学科核心素养的研究——以秦安县第二中学为例”(课题编号:TS (2020) GH 126)的研究成果.

求解与椭圆有关的三角形面积的最值或者定值是圆锥曲线中的热点问题之一.这类问题往往综合性强,常规解法是直角坐标法:先运用椭圆的弦长公式表示三角形的底边长,借助点到直线的距离公式表示三角形的高线长,再运用三角形面积公式表示面积.这种解法运算量大，推理过程复杂,容易出错.本文另辟蹊径,运用直线参数方程、椭圆参数方程和坐标伸缩变换破解几道与椭圆有关的面积问题,以期对同学们求解圆锥曲线问题起引导作用.

分析1设直线MN的参数方程,运用直线的参数方程把四边形面积化为对角线分割成的两个三角形面积之和.

解法1直线参数方程法

(3cos2α+4sin2α)t2+12tcosα-12=0.

由参数t的几何意义,可知|MP|=|t1|,|NP|=|t2|,且

评注本解法利用直线的参数方程与椭圆方程联立,由韦达定理表示出t1+t2和t1t2,由参数t的几何意义表示出弦长|MN|,结合图形表示出∆OMN和∆AMN的边MN上的高的和,将四边形OMAN的面积用含sinα的式子表示,再运用基本不等式求出四边形OMAN的最大面积.

分析2根据点M,N在椭圆上,利用椭圆的参数方程设点求解.

解法2椭圆参数方程法

解法1椭圆参数方程法

评注本解法先利用椭圆的参数方程设出点A,B,C的坐标,由重心坐标公式及三角函数知识挖掘隐含条件,揭示α与θ的内在关系,最后运用三角形面积公式和两角差的正弦公式得出结果.

解法2伸缩变换法

因为坐标原点O既为椭圆M的中心又为∆ABC的重心,所以由伸缩变换的性质,可得坐标原点O′既是∆A′B′C′的重心又为∆A′B′C′的外心,所以∆A′B′C′为正三角形.

分析1设出直线l的参数方程,用参数的几何意义表示弦长|AB|,然后表示出∆AOB的面积,再运用基本不等式求解即可.

由参数的几何意义,得

又坐标原点O到直线AB的距离为d=3|cosα|,所以∆AOB的面积

分析2运用伸缩变换把椭圆转化为圆,利用伸缩变换的性质以及解析几何中有关圆的知识可以顺利解决问题.