例析直线方程的另类解法

陈旋辉

(广东省兴宁市第一中学，514500)

在求直线方程时,我们往往习惯于用点斜式、截距式、一般式等几种固定的方法,有时会导致运算复杂,甚至会走进死胡同.其实,在解决某些具有同构性质的直线方程问题时,若能变换思路,往往简单快捷.

一、知识要点

一般地,当Ax1+By1+C=0和Ax2+By2+C=0同时成立时,则过点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线方程是Ax+By+C=0.

二、应用举例

例1已知直线a1x+b1y=1和直线a2x+b2y=1的交点是P(2,3)，求经过A(a1,b1)，B(a2,b2) 两点的直线方程.

解依题意,有2a1+3b1=1,且2a2+3b2=1.故点A(a1,b1),B(a2,b2)都在直线2x+3y=1上,即直线AB的方程为 2x+3y=1.

评注处理问题常规解法是解方程组求出a1,b1,a2,b2的值,再用两点式得直线AB的方程.但本题这种做法是走不通的,需另辟蹊径.上述解法由点A,B的坐标所满足的关系式,利用其同构特征轻松求出直线AB的方程.

例2如图1,已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点P(t,-1)作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,求直线AB的方程.

同理可得tx2-2y2+2=0.所以点A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线tx-2y+2=0上,从而直线AB的方程为tx-2y+2=0.

评注如果按传统的解法，我们会先解出点A与点B的坐标，再用两点式求出直线AB的方程,但在求点A与B的坐标时,运算很复杂.选用上述同构思路求解,省时又省力.

例3如图2,已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.

(1)求点M到抛物线C1的准线的距离,并求直线AB的方程;

(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M，P两点的直线l垂直于直线AB,求直线l的方程.

同理得6tx2+(t2-1)y2-t2+15=0.故直线AB的方程为6tx+(t2-1)y-t2+15=0.

(2)略.

评注本题求解的关键是先求出直线AB的方程,设点A(x1,y1),B(x2,y2),运用设而不求的思想巧妙地避免求x1,y1,x2,y2的值,减少了很多繁琐的运算.

(1)求点P的轨迹C的方程;

(2)已知点Q在直线l:x-4=0上,过点Q作曲线C的两条切线,切点分别为M,N,求直线MN的方程;

(3)略.

直线方程是解析几何中一个基础性知识点,是解析几何知识重要的组成部分.求解直线方程,需要掌握传统的方法,也需要掌握本文中运用同构思想解题的方法,只有多管齐下,才能让问题迎刃而解.