新人教版课本“阅读材料”的教学与思考*
——以“椭圆的光学性质及其应用”教学为例

陆娅君 冉胜利 杨 兴

(贵州师范大学,550025)

数学教材中的“阅读材料”不应该是被教学遗忘的角落,而应该成为教学改革的试验田[1]．在新人教版高中数学教材体系中,各章都设置“阅读材料”,不仅是对正文内容的拓展与补充,而且为数学教学提供参考．章建跃博士认为，“阅读材料”可以帮助学生理解、掌握正文的内容,激励学生探究新的知识,开阔学生的视野,培养学生的人文精神[2]．教师应当充分挖掘阅读材料的功能与价值,并结合章节知识内容开展教学．本文选取“阅读材料”中“椭圆的光学性质及其应用”对此进行探索．

一、案例分析

1.依托教材，创设情境

一个在古希腊发生的故事,一群被关押在西西里岛上岩洞中的犯人,因不堪忍受统治者的残忍虐待,深夜时分,这群犯人在岩洞里聚集,悄声议论越狱的方法．然而计划败露,越狱失败,犯人们互相猜疑,但又找不到谁是告密者,这究竟是怎么一回事呢?原来,这个岩洞是椭圆形的结构,如图1所示．犯人们尽管只是在洞里悄声议论,也能通过反射,把声音清晰地传到洞门处看守员的耳朵里,人们将这种设计叫做“刁尼秀斯”之耳．

师:究竟是什么原因导致故事中这种奇特的现象?

生:因为岩洞的截面是椭圆形状的．

师:与犯人和看守人所处的位置有关系吗?看守员所在位置和犯人议论所在位置处于椭圆内部哪两个极其特殊的位置?

生:与两者的位置是有关系的,可能是椭圆当中的两个焦点．

设计意图依托蕴含“椭圆的光学性质”的阅读素材以及教师的启发式提问,让学生带着目的自主阅读,并引导学生用数学语言表达实际问题中的数学关系,感受数学与生活的联系．

2.阅读发现，直观验证

问题1光的反射现象如果与椭圆的两个焦点有关,那么应该遵循怎样的反射规律?

在物理学中,焦点可以理解成是光线聚集的点．在故事中的现象是声音的反射,无论是声波还是光波都应该遵循相同的反射规律．把故事中的岩洞抽象成椭圆,把看守人员与犯人小声讨论的位置抽象成椭圆的焦点,把光线抽象成直线,得到图2．图2直观地反映了光在椭圆内的反射规律:由椭圆一个焦点发出的光线,经椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一焦点上．

问题2反射镜面和椭圆会有怎样的位置关系?

由物理学的相关知识可得,反射镜面与椭圆的位置关系是相切的．

问题3如何直观地验证椭圆中光的反射规律?

可以利用几何画板直观验证:首先找到椭圆的一条切线,作为反射镜面;连结切点P和焦点F1,PF1就可以作为一条入射光线;作出反射镜面的法线PH之后,就需要观察反射光线是否经过F2,如图3所示．

问题4用几何画板直观演示，当点P在椭圆上运动时,∠F1PH和∠F2PH存在着怎样的数量关系?如图4所示．

当∠F1PH=∠F2PH时,也就说明反射光线经过点F2.改变椭圆的形状,可以发现这两个角仍然是相等的．

设计意图学生在反复阅读素材的过程中,尝试建立文字与图形的联系,并逐步抽象数学模型,引导学生用数学的眼光观察世界,体验数学与生活的密切联系,培养学生数学抽象核心素养．

3.通过证明，深度探究

师:前面利用几何画板初步验证了椭圆的光学性质,如何从数学的角度来证明?

活动:已知椭圆的左焦点F1与圆的圆心重合,椭圆的长轴长与圆的半径相等即2a(a定为任意正数),如图5所示．如何通过纸片对折的方式作出线段F2M的垂直平分线?

只需要让点M和点F2重合即可,即对折两个点,由此便得到一条折痕．打开纸片观察折痕,如图6所示．

师:折痕所在的直线和椭圆具有怎样的位置关系?

通过“折纸”活动发现，折痕所在的直线与椭圆是相切的．

师:设折痕所在直线为l,如果l和椭圆相切,那么直线l会作为一个什么图形出现?

直线l会作为反射镜面出现,但通过“折纸”活动和几何画板的验证得到的“相切”是不严谨的,需要进一步验证．

问题5已知椭圆的左焦点F1与圆的圆心重合,椭圆的长轴长与圆的半径相等即2a(a定为任意正数),如何证明折痕所在的直线l与椭圆相切?

首先证明点P在椭圆上．如图7所示,半径F1M与直线l相交于点P.又因为点P在线段F2M的垂直平分线上,所以将PF2连结．由垂直平分线的性质可知,PF2=PM.由此可得PF1+PF2=PF1+PM=F1M=2a,又因为椭圆的长轴长为2a,所以P是椭圆上的一点．

师：点P既是椭圆上的点,同时也处于线段MF2的垂直平分线上,那么也只能说明点P是直线l与椭圆的一个交点,交点一定是切点吗?相交和相切最主要的区别在哪里?

相交和相切最主要的区别在于交点的个数问题．如果要验证相切的情况,就需要验证点P是直线l与椭圆唯一的交点．

师:如何证明一个点的唯一性?

在直线l上任意取一个不与点P重合的点N.点N在线段MF2的垂直平分线上,所以满足NF2=NM,再连结NF1,如图8所示.因为点N与点P并不重合，故而点N，M，F1可构成一个三角形.根据三角形的性质可得NF1+NM>F1M.根据等价替换便可得NF1+NF2>F1M=2a.据此可说明点N到椭圆两个焦点的距离之和大于2a,即可得到点N位于椭圆的外部．因此,直线l上有且只有一个点P在椭圆上,其余所有的点都在椭圆的外部,又根据椭圆是一个封闭的图形,所以直线l与椭圆相切,点P是切点．

问题6已知椭圆的左焦点F1与圆的圆心重合,椭圆的长轴长与圆的半径相等即2a(a定为任意正数),如图9所示,求证:∠F1PH=∠F2PH.

因为线段F1M的垂直平分线是直线l,所以PF2=PM,∠PF2B=∠PMB,F2B=MB,据此可得∆PF2B≌∆PMB,即∠MPB=∠F2PB.因为∠MPB=∠F1PA,由等量替换可得∠F1PA=∠F2PB.因为PH⊥l,所以∠APH=∠BPH,即得∠F1PH=∠F2PH.

据此可得椭圆的光学性质:由椭圆一个焦点发出的光线,经椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一焦点上．

设计意图让学生动手操作“折纸”活动,在观察、操作和猜想等活动中,自主构建数学认知结构,培养学生直观想象的核心素养．再从数学的角度证明折痕所在直线与椭圆相切，∠F1PH=∠F2PH,从而抽象出椭圆的光学性质．

4.巩固拓展，体验价值

问题7在故事引入中,将岩洞设计成椭圆形状,犯人们尽管只是在洞中悄声议论,为何声音也能清晰地传到洞口附近看守员的耳朵里?

问题8在影视业中,电影放映机内部的反光镜是一个椭圆形的结构,为什么要将灯丝和片门放在两个焦点的位置?

设计意图联系生活中的数学,让学生在体验和理解椭圆光学性质的同时,培养学生数学应用意识．将光学性质与学生所学的椭圆性质建立联系,形成知识综合体系,潜移默化地形成较为完整的认知结构．

二、对“阅读材料”的思考

1.对案例的总结与反思

依托教材中的“阅读材料”，结合古希腊故事创设情境,由此引入椭圆的光学性质课题和提出相关的探究问题,接着利用“折纸”活动和几何画板验证椭圆的光学性质,帮助学生积累数学活动经验,进而发展学生直观想象的核心素养;巩固阶段通过让学生运用椭圆的光学性质解决实际问题,培养学生的数学应用意识．

2.借助“阅读材料”,培养学生探究问题的能力

“阅读材料”具备一定的探究性,合理运用其进行教学，是提升学生探究能力的重要途径,应当深入挖掘阅读材料内容与正文知识内容的内在联系．教材正文内容更注重知识的形成过程,而阅读材料的探究特征更为

3.借助“阅读材料”,让学生体会数学在生活中的应用

教材中“阅读材料”的内容与社会生活、科技生产等都有着紧密联系．在教学中,应引导学生从数学的角度观察生活,感受数学在生活中的应用价值以及培养学生的数学应用意识．如， “海伦和秦九韶”一文介绍古人利用三角形边长计算三角形面积的公式,从而解决实际生活中三角形的高不易测量的问题,充分体现古人的智慧和数学在生活中的应用;“圆锥曲线的光学性质及其应用”介绍太阳灶生热、手电筒和探照灯发光的原理,让学生了解圆锥曲线的光学性质,感悟生活处处皆数学．