巧转化 习新知 妙解题

廖雨馨

在小学阶段的数学学习中，培养学生的数学思维是十分重要的教学目标，而转化思想又是其中既基本又重要的一种思想，因此教师在日常教学中应注重转化思想的渗透。本文主要阐述了如何在小学数学教学中渗透转化思想，有意识地培养学生自觉转化、有意转化的习惯，引导学生针对具体问题寻找合适的转化方法，提高学生从不同角度分析和解决问题的能力，发展数学思维。

转化是解决数学问题的一种常见的重要的策略，更是数学学习的一种重要的思想方法。转化的特点是不提倡直接解决问题，而是将问题转化，即把新问题转化为旧知识，把一个复杂问题转化为几个简单问题的集合，把抽象问题转化为具体问题，把特殊问题转化为一般问题，把逆向问题转化为顺向思维。苏教版小学数学第十册第七单元《解决问题的策略》中安排了教学用转化的策略解决相关的问题，但任何一个新知识，都不可能是凭空出现的，而应当是原有知识发展和升华的结果，直截了当的知识学习、乏味重复的系统训练远远不如潜移默化的学习。且书本篇幅有限，几个例题习题仅能展现运用转化思想解決的一部分模式的问题。教师在平时的数学教学中就应当深入发掘教材，合理渗透转化思想，为此单元的学习奠定坚实基础，增强利用转化思想解决问题的策略意识，发展学生形成分析问题、解决问题的能力和数学思考。

一、新知转化为旧知

学生的学习是不断汲取新知识的一个过程，而新知又可以转化为旧知，既是“温故而知新”又是“教人应使人无被教之感”。教师心中应有一张网，星罗棋布，一脉相通。在实际教学中，教师利用编织的“数学之网”将学生初次接触的陌生问题沿脉络转化成比较熟悉的知识，使学生在熟悉的氛围中更好地接受新知识，同时也巩固了旧知识。

例如在三年级图形与几何教学中，学生初次通过摆一摆，数一数由小正方形拼成的长方形的面积，探索规律，总结出长方形的面积公式，在学习正方形的面积时，就可以根据旧知“正方形是特殊的、长和宽相等的长方形”，自然而然引出正方形的面积=边长×边长;五年级时，学生需要探索平行四边形的面积公式，教材引导学生动手实践操作——“剪一剪”“移一移”“拼一拼”，将平行四边形转化为长方形，观察得到平行四边形的底由长方形的长转化而来，平行四边形的高由长方形的宽转化而来，顺其自然得到平行四边形的面积=底×高;在探索三角形和梯形面积时，学生动手将两个完全一样的三角形、梯形拼成一个平行四边形，发现三角形的底、梯形上下底的和是由平行四边形的底转化而来，三角形、梯形的高是由平行四边形的高转化而来，这样的转化虽提高了难度，但学生因已有之前的经验，得到三角形的面积=底×高÷2，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2轻而易举;而这样的铺垫又能让学生在之后探索圆的面积时，对于将圆平均分成若干份，拼成一个无限接近长方形的形状易于接受，通过观察得到圆的半径就是由长方形的宽转化而来，圆周长的一半是长方形的长转化而来，推算出圆的面积=πr2水到渠成。

而数与代数领域的知识亦可以转化，加减法的计算是以20以内的加减法为基础，多位数加减法、小数加减法、分数加减法都是由其计算法则转化而来的。学生随着年级升高，认识的数的增大，会将20以内加减法的计算法则延伸至两三位数的加减法，教师只需稍加引导便可;小数加减法计算法则与整数加减法计算法则中最重要的“满十进一”一脉相承;分数加减法在学生习得通分之后更是无需教师教学，不少学生已然能熟练计算。乘除法的计算以九九乘法表为基础，多位数乘除法、小数乘除法都可以转化为表内乘除法。九九乘法表解决了表内乘除法，两位数乘一位数结合了表内乘除法的算理与数的组成，多位数乘除法亦是如此，而小数乘除法更是直接建立在多位数乘除法算理之上。不仅仅如此，加法与减法、乘法与除法、加法与乘法之间又存在着相互转化的关系：一道加法或乘法算式可转化为两道减法或除法算式，加数相同的加法算式可转化为乘法算式。这样千丝万缕的关系需要教师在课堂教学前认真分析教材，把握好教材内容的知识结构，深入分析其中蕴含的转化思想，在课堂上有意识地培养学生利用转化思想习得新的计算法则，为后续更高层次的计算学习奠定基础。例如在学到小数乘法第一课《小数乘整数》时，为了使学生渗透“转化”思想，在以后的学习中能主动联想到使用“新知识转化为旧知识”的转化方法，我设计了如下的新授课部分：

出示书本例题情境图、条件、问题：“夏天的时候西瓜0.8元/千克，购买3千克西瓜要多少元？”要解决这个问题，可以怎样列式？

生：总价=单价×数量，我们可以列式0.8×3=2.4。

师：数量关系正确，但这个列式我们之前没有学习过，其中一个乘数是小数，怎样计算小数乘整数？谁能联系已经学过的知识想办法把它计算出来？

生1：0.8×3可以看成是3个0.8相加，0.8+0.8+0.8=2.4（元）。

生2：0.8元=8角，0.8元×3可以看成8角×3，得数为24角，24角=2.4元。

生3：8×3=24，我猜想0.8×3=2.4。

师：第一位同学根据乘法的意义——“求几个相同加数的和可以用乘法计算”，将乘法转化为加法求出答案，第二位同学是利用单位换算——1元=10角，把以元为单位的小数转化成以角为单位的整数求出来的，其实大家都在不知不觉都把新知识转化成了旧知识。（板书：新知识→旧知识）

师：把新知识转化成已经学过的旧知识，这种方法就是转化的思想方法（板书：转化）。在今后学习数学时经常要用到这种方法，遇到新问题时认真思考，看是否把它转化为已经学过的问题进行解决。

通过这样的设计，使学生领悟到，新知识其实并不新，只要将所学的知识与已学过的知识沟通起来，并运用正确的数学思想方法，就能顺利地理解内化为自己的能力。因此在每一次教学的过程中，应当让学生感受形成过程，及时总结联系，以构成知识的“网”。

二、复杂转化为简单

小学数学阶段涉及的等量关系虽千变万化，根据具体情境总有差异，但不外乎以下四类关系：部总关系、相差关系、倍数关系、总分关系，再复杂的解决问题也不会逃离之外。例如：一只毛毛虫，一天天慢慢长大，每天的长度是前一天的2倍，20天后长到了40厘米，那么它是第几天长到10厘米的？根据题意，很多学生能得到等量关系“后一天的长度=前一天的长度×2”。但是题目中并没有告诉我们毛毛虫第一天的长度，学生对这种毫无头绪的问题无法解决，感觉绕进了一个死胡同。但是，如果把这道题目乘法的数量关系转化为除法“前一天的长度=后一天的长度÷2”，至此学生便豁然开朗，问题变得简单了，第19天的长度是第20天长度的一半（40÷2=20厘米），第18天的长度是第19天的一半（20÷2=10厘米），通过一一列举法，就可以得到问题的答案，学生惊喜之余，收获解题的成就。

转化的思想方法在解决分数的实际问题时也十分重要，如：“工程队修一段公路，已修的米数是未修的[13]，如果再修10米，已修的米数是未修的[25]，这段公路长多少米？”虽然两个分数前面都是“未修的”，但由于在修路的过程中，“已修的”和“未修的”总在发生变化，这便是一道略微复杂的单位“1”不统一的问题。在教学时，我们可以引导学生在碰到此类问题时有意识地先将条件中的单位“1”统一，再解答问题。“已修的米数是未修的[13]”在此条件中，未修的米数是单位“1”，平均分成3份，已修的米数是这样的1份，而根据“总长度=未修的米数+已修的米数”可知总长度是这样的4份，因此可将题中条件转化为“已修的米数是全长的[14]”，而“已修的米数是未修的[25]”以同理思考，將此时未修的米数看作单位“1”平均分成5份，已修的米数是这样的2份，全长是这样的7份，题目便可转化为：“工程队修一段公路，已修的米数是全长的[14]，如果再修10米，已修的米数是全长的[27]，这段公路长多少米？”将复杂的单位“1”不统一的题目转化为简单的单位“1”统一的题目，选择典型的实际题目，通过为学生提供合适的探索空间，引导学生逐步积累针对具体问题的转化经验。学生通过解决这类问题的体验，不断反思，当遇到一个难以直接解决的问题，通过深入观察和研究，转化为简单问题便可，在此探索过程中逐步加深了对转化的认识，提高用转化策略解决问题的能力。

三、数字转化为图形

数字转化为图形即数学上常提到的“数形结合”思想，数形结合就是一种将数学语言与图形相互结合起来的思想，小学生的逻辑思维能力较弱，纯粹的数字语言难以理解，而使用数形结合思想则可以引导学生开拓一种新的转化方法，借助形的直观来阐述数之间的关系，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现提高学习效率的目的，亦为初中数学的学习奠定基础。例如：在教学运算律之乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c时，为了使学生能更好地理解记忆乘法分配律，我设计了如下的环节：

师：请大家求出图中最大的长方形的面积。

生1：这是一个长是（a+b），宽是c的大长方形，面积可以用这样的字母表达式表示：S=（a+b）×c。

生2：这是由两个小长方形组合而成的大长方形，左边的长方形长c，宽a，面积为a×c，右边的长方形长b，宽c，面积为b×c，最大的长方形的面积S=a×c+b×c。

师：同学们真棒！说的都非常对，居然用了两种不一样的方法来求这个最大的长方形的面积。这两种方法殊途同归，表示的都是这个大长方体的面积，因此，我们可以为这两个式子画上等于号，变为（a+b）×c=a×c+b×c。

通过解决实际问题引入，再通过自行列举大量算式总结出乘法分配律，这种方法对于四年级的学生而言略显枯燥，归纳总结难度也较大，而通过图形既直观又能自然而然引出字母表达式。

四、数学转化为生活

《数学课程标准》明确指出：“数学教学要紧密联系学生的生活情境，从学生的生活经验和知识出发，使学生初步感受数学与日常生活的密切联系。”“数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战的。”数学知识若直接呈现给学生，必是抽象、理性与标准的数学模型，小学生的认知水平有限，对于数学的很多未知领域探索能力较差。因此，在小学数学中，把抽象的知识还原到生活中，生活化的课堂情境更能激起学生学习的兴趣，发掘数学与生活的联系，主动在生活中探索数学问题。例如：在教学《平均数》一课时，我设计了如下的教学活动：将学生分为四人一组，计算每个小组的平均身高。相较于书本上的习题，来源于生活的活动使得学生的积极性立马被调动起来，课堂气氛十分活跃。在每组求出结果后，不仅仅让完成速度较快的小组交流经验，更抛出一系列的问题：“你是用什么方法来计算你们小组的平均身高的？”“通过这些数据，你能得到什么结论？”。平均数的相关知识点——求平均数的方法、平均数的范围……其实都蕴含在学生的头脑风暴中。这样的教学活动使得学生意识到数学与生活之间的紧密联系，不能脱离生活学习数学，激发学生学习数学的兴趣。同时，在这样的课堂活动中会出现各种现实的问题，学生更有兴趣去解决，其中蕴含的数学知识，学生更容易掌握理解并牢记在心。数学不仅反映生活更需要服务于生活，数学知识最终应当用于解决生活中的问题，数学转化为生活，学生更善于用数学的眼光观察生活中的问题，真正体会到数学知识的价值。

总而言之，转化思想是数学思想的精髓，数学中许多知识可以用到转化，可用转化策略分析和解决的实际问题有很多，却没有统一的固定的模式。作为教师，我们应当全面了解学生，深入研究他们的知识水平，努力钻研，将数学转化思想贯穿于小学数学教育的始终，通过逐步积累用转化策略解决问题的经验，增强学生主动运用策略的自觉性，如顺水推舟般提高学生的数学素养，促进学生能力的全面发展，为学生的持续发展奠定坚实的基础。