落石正、反转转速对法向恢复系数影响的室内试验

王庭辉，姬中民，伍法权，贾 嘉，褚怀保

（1.河南理工大学土木工程学院,河南 焦作 454003；2.绍兴文理学院土木工程学院,浙江 绍兴 312000；3.河海大学地球科学与工程学院,江苏 南京 211100）

0 引言

落石在坡面的运动轨迹可通过滑动、滚动、腾空（自由飞行）和冲击回弹[1−3]等4 种运动形式的组合进行模拟，其中冲击回弹过程最为复杂，在目前绝大多数的落石运动路径模拟中仅通过一个关键参数——恢复系数来表征，该系数取值的准确性将直接影响落石运动路径的预测精度[4−8]。

一直以来，受Newton 对恢复系数定义的影响，在落石研究领域通常认为恢复系数是坡面材料的常数，随着认识的加深以及相关试验数据的日渐丰富，这种观点变得不再可靠，相同坡面材料的恢复系数值存在巨大差异，甚至相同的初始条件，恢复系数值也迥然不同，这说明还有其他因素对恢复系数有着显著的影响[4,9−11]。为此，学者们分别通过室内和现场试验针对落石特征[12−16]、坡面特征[17−20]和运动特征[4,12,21−24]对恢复系数的影响展开了研究，且获得了许多重要的结论。然而，对于试块转速对恢复系数的影响在却鲜有涉及。落石在顺坡向向下运动过程中，其自身除了具有一定的平动速度外，往往还伴随着一定的转动速度。当这些落石与坡面发生撞击时，必然会引起平动能和转动能之间的转化，直接影响恢复系数，进而影响落石运动路径的预测精度[12,17]。因此，开展转速对恢复系数影响的研究对于落石灾害的精准预测具有重要意义[18]。

目前，转速对恢复系数的影响主要通过现场试验和室内试验两种途径进行研究。现场试验中，Spadari等[11]分别在坡角为17°～30°的4 种坡面上进行不同角速度条件下天然形态落石与坡面的冲击测试，结果表明法向恢复系数（Rn）和切向恢复系数（Rt）均不受落石转速的影响。室内试验中，Ji 等[12]和Asteriou 等[23]选择球形试块进行不同转速条件下的冲击测试，结果表明转速对试块的Rn基本无影响，对Rt则无显著影响或呈正相关关系。Buzzi 等[17]对椭圆形、圆形、方形和五边形混凝土试块分别在15°～40°冲击角下以不同转速与水平坡面进行撞击测试发现，转速与各形状试块的Rt以及非圆形试块的Rn呈正相关关系，对于圆形试块的Rn值，转速的影响则不明显。然而，这些研究结论并未达成一致，甚至相冲突，可归结为3 个方面的原因：（1）试验方法不规范，测试中可能存在其他因素的干扰；（2）试验结果的分析仅限于数据描述，影响机理不明晰；（3）选用的试验材料差异较大，且未能反映现场实际落石特征。

此外，值得注意的是上述研究均是针对落石顺运动方向的转动速度（正转）对恢复系数的影响，对于落石逆运动方向的转动速度（反转）对恢复系数的影响则并未被考虑。近年来关于恢复系数的相关试验研究中[12−14]，这种情况并不少见。尤其是对于具有初始转速的异形试块（例如正方体、圆柱等），当其对坡面发生冲击后，试块发生反转的情况接近总测试样本的30%，而这又将成为下一次冲击时试块的初始运动条件，直接影响恢复系数和落石的运动轨迹。因此，进行试块反转转速对恢复系数的影响研究同样重要。鉴于Rn是目前各种落石运动轨迹预测模型中最为关键的输入参数，文章暂只针对其展开详细研究。

综合上述分析，本研究拟基于现场实际落石特征及之前试验中发生反转的试块形状特征，选制3 种不同形状且具有代表性的试块，采用专门设计的落石抛射装置和高帧率摄像机分别展开各形状试块在不同正转转速和反转转速条件下对坡面的冲击测试。基于冲击动力学理论对试验结果进行分析，探讨试块正转转速和反转转速对法向恢复系数的影响机理，最终建立它们之间的影响关系。

1 试验

1.1 试验装置

试验装置由落石抛射装置和坡角调节装置两大部分构成（图1）。落石抛射装置包括翻转释放机构、滑轨、滑块、弹簧、牵拉绳、限位绳、电子拉力计、基座、液压支架和电磁锁。翻转释放机构由顶部有凹槽且中心有贯穿孔的钢筒、翻转轴以及支撑槽组装而成。该装置固定在滑块上，其前端通过牵拉绳与弹簧相连，后端则通过电磁锁与电子拉力计相连。翻转筒在重力的作用下始终保持铅锤状态，试块通过自旋轴架设在筒顶凹槽上。在对支撑槽施加预定拉力后，使用手持可调转速马达通过自旋轴对试块施加转速，当转速计显示达到预定转速时，对电磁锁断电，滑块沿滑轨弹出。当连接在桶底前端和滑轨后端的限位绳拉紧绷直时试块抛出。通过调节拉力的大小获得试块不同的入射速度，每次碰撞测试试块的转速通过手持可调转速马达施加和调节。坡角调节装置由合页、两块钢板和限位绳组成，坡角的大小可通过调整限位绳的长度实现，碰撞角的大小则可通过液压支架和坡角调节装置联合控制。

图1 落石冲击测试装置Fig.1 Impact testing device of rockfall

1.2 试验程序

参考山区易于发生落石灾害的典型落石形状特征以及易于发生倒转的试块形状特征[25]，文中分别选择正方体、圆盘和圆柱体作为试块形状（图2）。试块体积相同且均由天然灰岩加工制作而成，坡面材质与试块材质一致。正转转速影响测试中，试块分别以100～500 r/min 的转速绕X和Y轴旋转，而后以固定的入射速度（V）和冲击角（α）对坡面冲击；反转转速影响测试的初始条件与正转相同，但基于实际观测反转现象发生的条件，试块均仅绕X轴以100～500 r/min 的转速与坡面进行冲击。每组测试均重复5 次，具体参数见表1。

图2 试验中所采用的不同形状的试块Fig.2 Blocks with different shapes used in the test

表1 试块与坡面特征参数及试验初始条件Table 1 The characteristic parameters of the block and slope and the initial conditions of the test

1.3 图像处理与计算

落石冲击回弹过程由架设在一侧的高速摄像机以1 000 帧/s 的帧率记录，试块冲击前后的速度通过合肥君达高科技信息技术有限公司开发的图像跟踪软件Tracker V2.0 进行测算。该软件可以对试块的像素进行追踪，从而获得试块的入射速度和回弹速度。法向恢复系数值采用式（1）计算，该公式是落石研究中最常用的定义[15−18]，表达式如下：

式中：Vn——冲击前试块法向速度/（m·s−1）；

2 结果分析与讨论

2.1 试块转速（正转和反转）对Rn 的影响

根据式（1）分别计算3 种形状试块在不同正转转速和反转转速条件下与坡面冲击的法向恢复系数值，获得各试块转速与Rn之间的关系如图3 和图4。图中：X表示试块绕X轴旋转与坡面撞击；Y表示试块绕Y轴旋转与坡面撞击。

图3 不同形状试块Rn 值与正转转速的关系Fig.3 Relationship between forward rotation speeds and Rn values of blocks with different shapes

图4 不同形状试块Rn 值与反转转速的关系Fig.4 Relationship between reverse rotation speeds and Rn values of blocks with different shapes

2.1.1 试块正转转速对Rn的影响

从图3 中可以看出，当试块绕X轴旋转时，随着正转转速的增加，3 种形状试块的Rn值均未表现出某种清晰的变化趋势；各转速条件下试块的Rn值分布均较为离散且变化范围较大，这与Spadari 等[11]试验中获得的结论相符。然而，从理论上讲，该工况下试块的转速一定会影响Rn值，非球形试块在冲击过程中，法向冲击力往往不通过质心，转速的变化会引起法向冲击力的改变，进而影响Rn。上述试验结果说明试块转速可能并不能单独直接对Rn产生影响或者对Rn起到了绝对控制作用，研究其对Rn的影响可能还需要联合其他因素。此外，试验中还发现即使相同试块在相同转速条件下，试块与坡面的冲击姿态也各不相同，而不同冲击姿态下冲击力对Rn的影响机制也存在较大差异。因此，对其采用一个简单通用的规律来概括可能并不合适，分类细化研究可能有助于该问题的解决。

当试块绕Y轴旋转时（图3），圆盘和圆柱状试块的Rn值对转速的变化并不敏感（正方体状试块绕X和Y轴旋转冲击效果相同，此处不重复讨论），随着试块正转转速的增加，两种试块的Rn值变化不明显。这与Buzzi 等[17]对圆盘状试块测试结果相一致。该条件下，法向冲击力往往通过质心，近似于球形试块的正碰，对转动能的变化影响很小。值得注意的是，虽然该工况下Rn受转速的影响不明显，但从图中可以清晰的看出两种形状试块的Rn取值范围存在一定的差异，圆盘状试块Rn值为0.36～0.66，圆柱状试块Rn值为0.2～0.52，前者明显大于后者。圆盘状试块更接近于正碰，圆柱形试块在试验中则很难做到完全线接触正碰。该工况下获得的测试结果更加突显了形状对Rn的影响，这也说明形状对Rn的影响是固有的，研究转速对Rn的影响时该因素不可忽视。

2.1.2 试块反转转速对Rn的影响

与正转转速对Rn的影响结果相似，图4 中3 种形状试块的Rn值亦不随反转转速的变化而变化，其受转速的影响表现不显著。不同转速下三种形状试块的Rn值分布均较为离散且取值的变化区间较大。造成这种现象的原因与2.1.1 节中关于正转转速对Rn的影响的分析相类似。

综合上述分析，当试块绕Y轴旋转时，转速对于Rn的影响关系基本明晰；当试块绕X轴旋转时，由于多变的冲击姿态以及复杂的冲击回弹机制，该工况下转速对Rn的影响机理尚不清楚，这可能也是大部分研究中回避该问题的一个重要原因[11,23]。不过，根据上述试验结果的分析也获得了一些可能解决该问题的途径，例如基于不同的力学作用机理分类探讨，综合考虑试块的形状、冲击姿态的影响等，基于该思路展开详细分析和探讨。

2.2 冲击姿态系数对Rn 的影响

通过对试块与坡面的冲击回弹特征的观测，可将试块的冲击回弹过程分为两个大类：即一次冲击后发生回弹（I-1）和连续两次冲击后发生回弹（I-2），如图5所示。这两类情况在Buzzi[17]的试验中也曾被观测到且给予了分类。初步的理论分析表明：带有初始转速的试块回弹特征与动量矩方程存在密切关联，法向冲击力相对质心的位置不同，接触点的法向冲量对质心的冲量矩对冲击后试块的运动影响效果不同。以此为依据，将一次冲击回弹分为质心在接触点之前，如图5（a）和质心在接触点之后，如图5（b）。二次冲击回弹分为第一次接触质心在接触点之前，如图5（c）和质心在接触点之后，如图5（d）。图中正转和反转试块冲击前后的旋转方向分别以蓝色和黑色箭头标示。

图5 试块冲击回弹特征分类示意图Fig.5 The classification diagram of the impact-rebound characteristics of the blocks

然而，仅做这些分类是不够的，根据2.1 节中分析获得的结论，探讨转速对Rn的影响还需综合考虑其发生作用的载体——试块形状和冲击姿态，这里特别引入一个关键变量——冲击姿态系数（IPC），由此来量化转速对Rn的影响。

式中：ω——冲击（或第一次冲击）时试块角速度/（rad·s−1）；

L——质心与接触点之间连线长度/m，反映试块的形状特征；

θ—冲击（或第一次冲击）时试块质心和接触点连线与坡面的夹角/（°），反映冲击姿态特征；

D——冲击（或第一次冲击）时质心投影与接触点之间的距离/m，在Ji 等[12]的研究中其曾被借助用于解释不同形状试块在不同接触姿态下的回弹机制。

从本质上讲，IPC是因转动引起的试块接触点的速度在法向的投影值，其反映的是试块法向冲击速度的改变量。如图6所示，正转工况（a）质心在接触点之后和（b）质心在接触点之前，反转工况（c）质心在接触点之前和（d）质心在接触点之后，FN和FS分别为法向和切向冲击力。试块的运动可认为是随质心C 的整体移动（各点速度相同）和各点绕质心C 转动的叠加，即：

图6 IPC 对Rn 的影响机理Fig.6 Influence mechanism of IPC on Rn

式中：Va——接触点绝对速度/（m·s−1）；

Ve——接触点牵连速度/（m·s−1），Ve=V=Vc（质心的速度）；

Vr——接触点相对质心的速度/（m·s−1），Vr=ω·L；

Va在向的投影值为接触点法向的冲击速度，即：

式中：Vcy——Vc的法向分量/(m·s−1);

Vry——Vr的法向分量/(m·s−1)。

法向冲击速度决定了法向冲击力的大小，法向速度的改变引起法向冲击力的改变，进而影响Rn。

借助软件Tracker V2.0 中的测量模块测量每次测试时冲击瞬间试块的角速度ω、接触点与质心投影之间的距离D，而后根据式（2）计算IPC值。不同冲击反弹特征类型试块Rn值与IPC的关系如图7—图9 和图13所示。

图9 正转试验中I-2 类型试块IPC 与Rn 的关系Fig.9 The relationship between IPC and Rn of I-2 type blocks in forward rotation test

2.2.1 I-1 类型试块IPC对Rn的影响

（1）正转试验中IPC对Rn的影响

当质心在接触点之后时（B-1），图7 中三种不同形状试块的Rn值随着IPC值的增大呈现上升趋势，且两者之间呈强线性相关关系（R2值分别为1,0.84 和0.95）。该条件下，IPC对法向冲击速度起到一个增加的效果如图6（a）所示，IPC越大，Vay和法向冲击力越大，使得Rn值也就越大。根据冲击动力学相关理论，相同材料正碰的冲击力与接触速度为线性关系，即F=KVt（K为系数，Vt为接触速度）[26]。本试验质心初始法向速度相同，其增量IPC与法向冲击力变化量也应呈线性关系，而法向冲击力又直接决定Rn的大小，故IPC与Rn之间关系可能也具有线性特征。

图7 正转试验中I-1 类型试块IPC 与Rn 的关系Fig.7 The relationship between IPC and Rn of I-1 type blocks in forward rotation test

当质心在接触点之前时（F-1），正方体、圆盘和圆柱状试块的IPC值与Rn均呈强线性负相关关系，R2值分别为0.99,0.99 和0.95。该条件下IPC值对法向冲击速度起到一个减弱的效果，如图6（b）所示。随着IPC的增大，Vay逐渐减小，这样法向冲击力也减小，从而使得Rn值降低。两者之间存在线性关系的原因与B-1 相类似。

此外，从图7 中还可以看出B-1 条件下3 种形状试块的Rn值总是大于F-1 条件下的Rn值，这主要是由于B-1 条件下试块接触点的法向冲击速度一定大于F-1 条件下试块接触点的冲击速度，前者的法向冲击力也一定大于后者。

（2）反转试验中IPC对Rn的影响

反转试验中IPC与Rn的关系和正转试验正好相反（图8）。B-1 条件下，3 种形状试块的Rn值随着IPC的增大而减小，且两者呈强线性相关，R2值分别为0.99,0.85,0.87，该条件下IPC对法向冲击速度起到一个减弱的效果，如图6（d）所示。F-1 条件下，圆盘和圆柱状试块Rn值则与IPC呈强线性正相关，R2值分别为0.96,0.90，该条件下IPC对法向冲击速度起到一个增加效果，如图6（c）所示。相关的影响机理与正转试验相近似。

图8 反转试验中I-1 类型试块IPC 与Rn 的关系Fig.8 The relationship between IPC and Rn of I-1 type blocks in reverse rotation test

2.2.2 I-2 类型试块IPC对Rn的影响

（1）正转试验中IPC对Rn的影响

冲击瞬间，当试块与坡面的之间的θ 值小于临界角度值时，便会发生试块与坡面二次冲击后反弹的现象，其实质上是一次质心在接触点之前的冲击和一次质心在接触点之后的冲击联合作用的结果。从图9 中可以看出，F-2 和B-2 条件下3 种形状试块的Rn值均随IPC的增大而增大。F-2 条件下，正方体、圆盘和圆柱状试块的Rn值与IPC分别呈指数函数和线性函数关系，且相关性良好，R2值分别为0.76,0.78 和0.96。B-2 条件下，正方体、圆柱和圆盘状试块Rn值与IPC则分别呈对数函数和线性函数关系，且皆为强相关，R2值分别为0.83,0.96 和0.95。

F-2 条件下的试块，见图10（a）、图10（b），图中FN1表示第一次冲击时的法向冲击力，FN2表示第二次冲击时的法向冲击力。虽然试块与坡面发生第一次冲击后的恢复系数Rn1（Vn1/Vn，Vn1为第一次冲击后或第二次冲击时质心的法向速度）随IPC的增大而减小（原理近似正转F-1），但通过对该工况下冲击过程的观测，第一次冲击的剧烈程度普遍显著小于第二次冲击（图11），第二次冲击后的恢复系数对Rn值的大小明显起主导作用。当试块与坡面发生第一次冲击后，会使得试块的转速增大，即ω1>ω（ω1为第一次冲击后或第二次冲击时试块的角速度）；且第二次冲击时的θ1值均略小于第一次冲击时的θ 值，即D1>D（D1为第二次冲击时质心投影与接触点的距离）。这样，随着IPC的增大，第二次冲击时的ω1、D1相应增加，Rn2也随之增大（原理近似正转B-1），最终使得Rn值呈现上升趋势。

图11 正转试验F-2 条件下试块对坡面第一次冲击与第二次冲击剧烈程度及接触角（θ，θ1）对比Fig.11 Comparison of the intensity and contact angles (θ,θ1) of the first impact and the second impact between the blocks and the slope under F-2 condition in forward rotation test

对于B-2 条件下的试块，当其与坡面发生第一次冲击后，Rn1随着IPC的增大而增大，如图10（c）、图10（d）所示。原理近似正转B-1。然而，仅依赖于Rn1尚不能确定IPC与Rn的关系，最终Rn随IPC的变化趋势还要联合考虑第二次冲击后的恢复系数Rn2与IPC的关系来判定。由于冲击前后试块切向速度变化很小，可近似认为切向速度保持不变，可列第一次冲击前后能量守恒方程及动量方程如下:

图10 正转试验I-2 类型试块IPC 对Rn 的影响示意图Fig.10 Schematic diagram of the impact of IPC on Rn in forward transfer test I-2 type test block

式中：m——试块质量；

J——试块绕质心的转动惯量；

ΔE——能量损失；

FNI——法向冲击力；

t——冲击时间。

转速以顺时针方向为正；Vn1与Vn方向一致（为正），均为向下，这与试验中观测到的现象相一致，如图12所示，θ 值均小于θ1。

图12 正转试验B-2 条件下接触角（θ，θ1）对比Fig.12 Comparison of contact angles (θ,θ1 ) under B-2 condition in forward rotation test

联合式（6）—（8）可得：

（2）反转试验中IPC对Rn的影响

与正转试验相类似，反转试验中，无论F-2 还是B-2 条件下三种形状试块Rn值均与IPC呈正相关，且各自呈现某种清晰的变化趋势（图13）。通过数据拟合，F-2 条件下，正方体、圆柱和圆盘状试块Rn值与IPC分别呈线性函数和幂函数关系，且R2值分别为0.89,0.98 和0.88，均达到强相关；B-2 条件下，正方体、圆盘和圆柱状试块Rn值与IPC分别呈良好的线性函数、指数函数和对数函数关系，R2值分别为0.89,0.89 和0.93。从本质上讲，本试验中B-2 条件下IPC对Rn的影响机理与正转试验F-2 条件下IPC对Rn的影响机理是一致的，而F-2 条件下IPC对Rn的影响机理则与正转试验B-2 条件下IPC对Rn的影响机理是一致的。

图13 反转试验中I-2 类型试块IPC 与Rn 的关系Fig.13 The relationship between IPC and Rn of I-2 type test block in reverse test

综合2.2.1 和2.2.2 节中的试验结论以及相关影响机理分析，试块转速（包括正转和反转）对Rn的影响机理已基本明晰。当试块形状和冲击姿态固定时，对于正转试验中I-1 类型试块，B-1 和F-1 条件下转速分别与Rn呈线性正相关和负相关关系，对于反转试验，情况则正好相反；对于正转和反转试验中的I-2 类型试块，无论B-2 或F-2 条件，各形状试块Rn均随转速增大呈上升趋势，但相关关系并不一致。然而，值得注意的是，无论在室内或现场，试块的冲击姿态在每次试验中均很难完全保持一致，而且不规则落石冲击姿态的复杂多变正是实际落石冲击的基本特征，单纯研究转速对Rn的影响几乎是不可能的，也无实际意义。采用IPC量化转速对Rn的影响更具有现实意义。

需要说明的是，本研究虽然获得了I-1 和I-2 类型试块IPC与Rn的相关影响规律，但要实现这些规律的应用，还要确定是否会发生二次冲击，亦即二次冲击发生的条件。目前主要研究的是转速对Rn的影响，未来还将对此作进一步详细的测试和分析。

3 结论

（1）正转试验中，当圆柱和圆盘状试块绕Y轴旋转与坡面冲击时，转速对Rn的影响较小，试块形状的影响则较为显著，且圆盘状试块Rn值明显高于圆柱状。当3 种形状试块绕X轴旋转时，无论正转还是反转，未能发现转速与Rn之间存在直接相关关系。这并不代表转速对Rn无影响，只是难以单独直接影响。

（2）综合考虑试块形状、转速和冲击姿态，引入一个关键变量——冲击姿态系数（IPC），并由此来量化转速对Rn的影响。

（3）对试块冲击回弹特征展开分类探讨。对于I-1 型，正转试验B-1 条件下3 种形状试块Rn与IPC呈线性正相关关系，F-1 条件下呈线性负相关关系；反转试验结果正好相反。对于I-2 型，无论正转或反转，B-2 或F-2 条件，每种形状的试块的Rn值均随IPC增加而增大，且两者呈强相关，但规律并不一致。

（4）一定程度上解释了试块转速对Rn的影响机理，且这些获得的规律为转动异形落石冲击反弹过程的精准化预测提供了新的思路。