三角形的概念与性质的“问题链”设计探究

薛靖宇　薛颖

摘 要：三角形是平面几何中的基本图形，是之前所学的线段、角等几何基础知识的延续，也是研究多边形的重要基础，多边形的许多问题都可以转化为三角形问题来研究解决，在知识体系上具有承上启下的作用。本文以三角形的概念与性质为例，构建符合学生认知的“问题链”，把握“问题链”中问题的教学功能，驱动学生思考数学知识的发生发展过程，在师生互动中提高学生的思维能力。

关键词：三角形的概念与性质;问题链;教学功能

中图分类号：G40-01  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2022）04-0094-03

1 引言

问题在数学的发展历程中占据举足轻重的地位。数学家哈尔莫斯曾言：“问题是数学的心脏”，这个观点得到了数学界和教育界的广泛认同。中国伟大教育家孔子的“不愤不启，不悱不发”，就是指不要轻易地把答案告诉学生，也不要过多地替学生思考，更不要灌输标准答案，要达到有悱而发。采用“问题链”是导学理念下的一种有效地教学方式，受到很多中学教师的重视。“问题链”的有机串联，有效地克服了课堂教学中某些问题的细碎、离散、随意等不足，不仅能更简洁有效地驱动教学，还能让学生在解决系列问题的过程中学习和提炼知识并获得解决问题的技巧策略[1，2]。

数学“问题链”是指教师在课外预设并在课堂上以多种方式呈现给学生有序的主干数学问题序列[3]，既为学生提供了数学学习的框架，又为学生发展高水平的思维提供了可能性[4]。教师通过一系列的“问题链”设置，与学生实现“对话”，在师生交流互动中，以问题为抓手，以知识为基础，以思维为导向，将晦涩难懂的数学逻辑转化为动态的课堂建构过程，从而提高学生的理解能力和创新意识。本文以人教版八年级上册三角形的概念与性质教学为例，设置“问题链”，使学生领会数学知识的发生发展过程，从而更好地接受课堂教学，提高教学效率，同时可以为教育领域其他学者研究“问题链”教学提供一些参考。

2 “问题链”中問题的教学功能

“问题链”的应用方式在教学中是应目标而变化的，不同的教学目标，所体现出来的教学功能也不同。唐恒钧教授按照教学功能，将“问题链”中的问题分为起点问题、延伸问题和提炼问题等三种基本类型，为“问题链”的设计应用提供了理论支持。

起点问题的首要任务是触发学习的产生，设置该问题的目的是希望能由此引发学生更多的思考;延伸问题是在起点问题的基础上，在数学思维方法的引导下生成的问题，其功能是将学习者的学习引向深入;提炼问题是在起点问题和延伸问题的基础上提出更具有普遍性、周延性的问题，使学习者对某一主题的理解更为全面而深刻。而在“问题链”的实施过程中，教师需要根据问题的教学功能选择恰当的呈现方式。在问题情境中，以教师为主提出起点问题;在思考脉络中，以学生为主提出具有多重可能性的延伸问题;在概括反思中，以教师为主提出提炼问题。

3 三角形的概念与性质的“问题链”设计与应用

以“三角形的有关线段”课程内容为例，记录课堂教学案例，分析“问题链”教学在课堂情境中的应用，把握“问题链”教学中问题的教学功能及应用，促进学生思维的转变，回归数学教学本质。

3.1 情境导入，初步认识

问题1 在小学我们已经认识了三角形，三角形看起来简单，但在实际生活中起着很大的作用。有哪位同学能起来说一下，生活中你见到什么物体上有三角形呢？

设计意图：从实际生活入手，学生有熟悉感，趣引“三角形”话题。

3.2 合作交流，探索新知

问题2 观察由房屋屋顶抽象出来的具体图形回答以下问题：（1）你能从图1中找出3个不同的三角形吗？并把它们画下来。（2）这些三角形的共同特征是什么？

让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是三角形。在学生充分交流后得出三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。

设计意图：教师提出起点问题（低起点）来探究新知，触发学习欲望，降低思考难度学生容易上手，让学生从感性到理性的认识，符合学生认知规律。

问题3 你所画的三角形是图中哪一个三角形？

引导学生在回忆角与平行线的表示方法的基础上思考、交流，通过类比得到：“三角形”的表示符号为“△”，可以把三角形顶点标上字母，用三个顶点字母来表示。得到图2中的三角形可表示为△ABC，读作“三角形ABC”;线段AB、BC、AC都是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点，∠A、∠B、∠C都是三角形的内角，简称三角形的角，△ABC的三边有时也用小写字母a、b、c来表示，如顶点A所对的边BC用a来表示。

设计意图：由学生不能明确指出所画三角形是屋顶框架图中的哪个三角形来引入三角形的表示方法。

问题4 你能表示出刚才所找出的三角形吗？图中以AD为边的三角形有哪些？图中以B为顶点的三角形有哪些？

设计意图：规范学生对三角形边和角的书写，在学生回答后让学生思考有无更好的表示方法，培养学生正确的数学思维。

3.3 动手实践，体会三边关系

问题5 在如图3所示的△ABC中，假设有一个小蚂蚁从点B沿三角形的边爬到点C，图中有几条线路可以选择？每条线路的长度是一样的吗？

学生回答后，教师追问：你能从中得到什么结论？初步引入三角形的三边关系，为接下来探究做铺垫。

设计意图：教师通过一个实际问题，希望引导学生形成数学问题思考的一般框架，并引导学生产生后续的思考，产生延伸问题。

问题6 选择5cm，6cm，8cm，13cm的小木条摆一摆，三根一组，共有几种组合？其中哪些可以组成三角形？哪些不能构成三角形？

学生七嘴八舌，发现5cm，6cm，13cm不能摆成三角形，教师顺势追问：为什么这三个小木条不能构成三角形呢？有的学生说5cm太短了，还有说是因为13cm太长，此时教师引导：你能看出三边有什么关系吗？得出结论5+6<13。

设计意图：该问题由起点问题延伸而来，在思维上具有关联性，属于正向推广思维，通过提前课外预设，经过数次动手操作，探索其可能存在的规律。

问题7 两边长度的和与第三边比较还能怎么比呢？

发现5+13>6，6+13>5。有了这些铺垫，引导学生将视角放到两边的长度和与第三边的比较上。

问题8 是否任意长度的三条线段都能首尾相连构成三角形呢？

学生发现有一组两边长度大于第三邊不能构成三角形，两组的也不能构成三角形，只有三组两边长度和大于第三边的才能构成三角形。这样学生能够深刻理解“任意”一词的含义。

设计意图：提出“怎样的三条线段一定能围成三角形”核心问题，贯穿了整节课的学习活动，使学生思维空间更为广阔。

问题9 两边长度的差与第三边之间有没有联系呢？

学生胸有成竹，类比刚才的方法得出结论，此时教师顺势追问：能否用我们之前学过的数与代数的知识来推导两边长度的差与第三边的关系呢？学生茅塞顿开，可以通过不等式移项来解决。

设计意图：留下悬念，让学生通过类比两边之和大于第三边得出结论的方法去寻找两边之差与第三边的关系，使问题变得自然，对于学生来说是有脉络的、自然的，教师的提醒提供了另一种解决思路，使学生联系旧知，学会融会贯通，改善知识结构。

问题10 猜一猜三角形的三边之间有什么数量关系呢？你能用什么方法证明自己的猜想是否正确？刚才的习题你都做对了吗？

教师出示答案，四条小木条里可以组成三角形的以及不能组成三角形的是哪几个组合，由学生验证结果，最后引导学生得出结论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

设计意图：通过前面一系列推导得出此问题，使其更具有一般化，且过渡自然，学生自然而然能得到答案，符合问题链阶梯式递进的结构。此时再让学生验证之前所做习题结果，属于数学思维的逆向反推。

3.4 例题讲解，巩固新知

问题11 已知三角形的两边长分别是25cm，10cm，第三边与其中一边长相等，则第三边长为多少？

问题12 已知三角形的三边长为整数：2，x-3，4，则共可以组成多少个不同长度的三角形？当x为多少时，所组成的三角形的周长最大？

设计意图：此题为巩固“三角形两边之和大于第三边”而设。利用方程来解，注意利用定理判断得是否合理，同时初步培养学生的逻辑推理能力。

4 问题评估及教学反思

教师设计“问题链”应用到课堂教学中，根据当堂的教学效果剖析问题的结构和问题的水平，判断“问题链”设计是否对课堂教学有驱动性。教师根据中学生给出的反馈可以判断学生的认知能力和思维水平以及难易程度的接受情况，从而根据其进行不断改进和优化，设计更为符合学生特点的“问题链”。

在“问题链”教学中，尽管教师在课前做了大量的准备工作，准备了尽可能详细的问题，而在实施过程中并不是完全由教师一一呈现在课堂上，需要根据不同的问题功能选择呈现方式，即教师提出问题，学生根据自己的思维脉络提出问题，由此可以看出，“问题链”教学并不是单一的模板，是需要与时俱进的，是处于一个动态的变化之中的，这样才能为数学的教学注入不断的生机与活力。

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参考文献：

〔1〕王先进.谈问题串的设计方法[J].数学通报，2012， 51（07）：17-19+23.

〔2〕黎栋材，王尚志.于无声处听惊雷——以一道高考试题例谈问题链教学[J].数学通讯，2015，83（12）：21-23.

〔3〕唐恒钧，黄辉.数学问题链教学设计与实施的三个关键[J].中学数学，2020，42（05）：78-80.

〔4〕吴丹红，唐恒钧.基于问题链的“函数单调性”教学探索[J].中学教研（数学），2016，39（05）：7-9.

收稿日期：2022-01-24

通讯作者：薛颖，教授，硕士研究生导师，研究方向：教育技术学中的远程教育和教学系统设计。