基于量子Fisher 信息的耗散相互作用光-物质耦合常数的估计*

牛明丽 王月明 李志坚

(山西大学理论物理研究所,物理电子工程学院,量子光学与光量子器件国家重点实验室,极端光学协同创新中心,太原 030006)

量子参数估计在量子度量学中有着重要的应用,量子Cramer-Rao 下界表明量子参数估计精度极限与量子Fisher 信息是直接相关的.本文利用量子参数估计理论对光场与原子失谐很大(大失谐)的Jaynes-Cummings模型耦合常数进行估计.制备探测初态为Qubit 系统与光场的直积态,光场分别为Fock 态、热态和相干态,分别计算了这三种探测态经大失谐Jaynes-Cummings 模型哈密顿量演化后复合系统以及Qubit 和光场系统的量子Fisher 信息.通过分析发现,复合系统的量子Fisher 信息随平均光子数单调递增,Qubit 基态与激发态的等权叠加态为最优探测态,此时量子Fisher 信息达到最大值;当探测态的光场为Fock 态和热态时,关于被估计参数的信息都包含于Qubit 系统;对于大失谐Jaynes-Cummings 模型耦合常数的估计,光场为热态或相干态时耦合常数的估计精度高于光场为Fock 态时的精度.

1 引言

量子度量学是统计推断和量子力学相结合后在精密测量领域的最新研究前沿.量子度量学领域一个最重要的应用就是量子参数估计[1,2].在量子力学中,需要通过描述一些不可直接观测的感兴趣的物理量来研究量子系统的物理性质.如量子信息协议的设计需要知道量子态的纠缠内容[3,4],电磁场强度以及微弱惯性力可被映射到相位上进行估计[5−7],处于不同相的混合系统可用来对耦合强度进行估计[8,9].人们需要借助间接测量,从一个或多个适当的可观测的量的测量来推断不可直接观测的物理量的值[10,11],因此存在估计参数的问题,这需要运用量子估计理论[12−16].在估计参数值时,需要定义表示概率分布之间无穷小距离的Fisher 信息,并通过Cramer-Rao 定理给出估计子可达到的最终精度[17−21].通常一个量子参数估计的过程包括:探测态的制备,探测态与待测系统相互作用(即参数化过程),对演化后的输出探测态的测量,以及基于测量结果对待测系统参数值估计[2,10,22,23].相位的估计过程包括:N粒子探测态制备、相位累积、可测物理量的测量以及相位估计[24].

作为量子参数估计的基本理论,量子Cramer-Rao 下界(QCRB)表明量子参数估计精度极限与量子Fisher 信息[25](QFI)有着直接关系,在估计多个参数的情况中,QFI 对应为量子Fisher 信息矩阵(QFIM)[11,26,27].在所有可能的量子测量中,最大的Fisher 信息称为QFI[24],QFI 给定了量子力学所允许的量子估计的精度极限.QFI 越大,精度越高[28].因此本文将对量子参数估计问题的研究转换为对QFI 的研究.为了尽可能提高测量和估计的精度,必须寻找那些使得QFI 最大的态.基于QFI 进行量子参数估计的相关应用有很多:基于噪音猫态对表征噪音猫态的参数以及位移参数进行估计[29]、存在相位扩散情况下的相位估计问题,以及相移高斯态的最终量子极限精度[7,30,31]、量子信道中噪音参数的估计以及建立估计热损耗通道中残余噪声的最终精度[32]、通过估计两个有损耗玻色子通道的损耗参数解决两个点状源之间间隔的估计问题[33]、利用一维量子Ising 模型的临界性推导出随温度变化的耦合常数的最佳量子估计量[34]、非线性系统中量子光力学的最优估计[35]、基于Fisher 信息的光机械耦合强度的估计[36]、Jaynes-Cummings (J-C)模型耦合常数的最优量子估计[37]等.

当J-C 模型在光场与原子失谐很大(大失谐)的情况下,原子不会发生直接跃迁,只存在原子与光场的“耗散”相互作用.大失谐情况下的J-C 模型在量子力学的许多应用中都有着很重要的作用,如产生薛定谔猫态[38].本文利用量子估计理论研究大失谐J-C 模型耦合常数的估计问题,将对此估计问题的分析转换为对不同的探测态经大失谐J-C模型哈密顿量演化后对应系统的QFI 的分析.制备探测初态为Qubit 系统与光场的直积态,光场分别为Fock 态、热态、相干态,分别计算了这三种探测态经大失谐J-C 模型哈密顿量演化后复合系统以及Qubit 和光场系统的QFI.

2 大失谐J-C 模型

J-C 模型描述一单模辐射场与一个自旋为–1/2 的二能级系统的相互作用,哈密顿量描述为

在相互作用绘景中,单模玻色场频率ωf与原子跃迁频率ωq之间失谐很大的J-C 模型,有效哈密顿量形式为

式中χ=λ2/Δω,其中λ为耦合强度,失谐量Δω=ωq−ωf;原子跃迁算符;泡利算符=|e〉〈e|−|g〉〈g|;分别为辐射场的产生湮灭算符.当相互作用时间为t,相对应的时间演化幺正算符为

式中,Ω=χt,参数Ω为本文将要估计的物理量.

假设在时刻t=0,制备探测态为一个纯态,且Qubit 与光场之间没有关联,即探测态为

且|Ψ0〉=|ψq〉⊗|ψf〉.t=0 时,Qubit 系统处在一个基态|g〉和激发态|e〉叠加的纯态,形式为

光场系统分别处于Fock 态ρf=|n〉〈n|、热态ρf=和相干态ρf=|α〉〈α|.系统随时间的演化表示为

分别对Qubit 或光场自由度进行部分求迹,得到演化后Qubit 系统和光场的约化密度算符即

3 量子估计理论

量子度量学是结合量子资源和量子特性提高测量精度的科学,一个重要的应用就是量子参数估计.量子参数估计理论中,Cramer-Rao 下界(CRB)表明Fisher 信息直接关系着参数估计的精度[17−20],CRB 的形式为

式中,V(Ω) 为无偏估计参数的方差,F(Ω)为Fisher信息,N为对系统的测量次数.Fisher 信息用来描述一个可观测随机变量X携带关于未知参数Ω的信息量的多少,定义式为

式中p(x|Ω)为当被估计参数值为Ω时,测量结果为x的条件概率.

在量子力学中,根据玻恩定则p(x|Ω)=tr[ΠxρΩ],

其中{Πx}为正定算符值测量(POVM) 算符,ρΩ为与被估计参数Ω有关的待测系统.引入由Lyapunov 方程定义的对称对数导数LΩ,

Fisher 信息可以重新表示为

在所有可能的量子测量中,将F(Ω)最大化,可以得到

H(Ω)称为QFI,H(Ω)满足的CRB 称为QCRB:

式中H(Ω)给出了估计未知参数Ω精度的最终极限.

假设待测系统的密度算符的谱分解形式为

式中cn和|ψn〉分别为密度算符的本征值和本征矢,则Lyapunov 方程的解LΩ可写为

其中cn+cm≠0.根据∂ΩρΩ=+cn|∂Ωψn〉〈ψn|+cn|ψn〉〈∂Ωψn|),得出QFI 可写为

当初态ρ0经过一个与未知参数Ω有关的幺正操作,即

其中|Ψ0〉是探测态,G可看作未知参数Ω的厄米生成元.在这种情况中QFI 与未知参数Ω无关,是厄米算符G在初态中涨落的4 倍[30],即

相应的量子Cramer-Rao 不等式写为

当系统的量子态ρ与参数{λ1,λ2,λ3,···,}有关时,QCRB 由量子Fisher 信息矩阵(QFIM)给出:

其中C为估计子的协方差矩阵,H−1为QFIM 的逆矩阵.协方差矩阵元和QFIM 矩阵元分别定义为

(24)式中,Lµ为第µ个参数对应的对称对数导数.

4 应用

在这一部分,制备探测初态为Qubit 系统与光场的直积态,光场分别为Fock 态、热态和相干态,分别计算了这三种探测态经大失谐J-C 模型哈密顿量演化后复合系统以及Qubit 和光场系统的QFI.

4.1 Fock 态光场

当光场处于Fock 态|ψf〉=|n〉,相应的探测态为

根据(6)式,ρ0经(3)式演化时间t后,系统的密度矩阵变为

根据(20)式计算出Fock 态时未知参数Ω对应的QFI 为

再计算Qubit 和光场两个子系统对应的QFI,

根据(17)式得到Hq1(Ω) 为

通过计算,得出ρf1(Ω)=|n〉〈n|=ρf以及Hf1(Ω)=0.综上,当光场为Fock 态情况时的QCRB 为

从(27)式、(30)式和图1 可以看出,光场为Fock 态时H1(Ω)随平均光子数单调增加.当θ=π/2,原子初态处于基态与激发态的等权叠加态,H1(Ω)总是取最大值,即H1(Ω)=(1+2n)2,且被估计参数的方差最小为V(Ω)=1/(1+2n)2,因此使QFI 最大的Qubit 态的最佳制备对应于基态与激发态的等权叠加态;当θ=0或π,H1(Ω)最小,即H1(Ω)=0,被估计参数的方差趋于无穷大,此时原子初态处于激发态或基态,并不是最优探测态,因此不在我们关注范围之内.Hq1(Ω) 和Hf1(Ω)直接表明关于未知参数Ω的所有信息都包含在Qubit 系统中,而光场不包含任何关于未知参数Ω的信息.

图1 光场为Fock 态时QFI 随不同变量的变化(Hq1(Ω)=H1(Ω))(a)平均光子数 ;(b) θFig.1.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a Fock state (Hq1(Ω)=H1(Ω)):(a) The average photon number,;(b) θ.

4.2 热态光场

考虑在温度T时与腔壁处于热平衡状态的单模热光场,即光场遵从热平衡辐射规律:

经(3)式演化时间t后的系统可表示为

根据(17)式,计算出光场为热态时未知参数Ω对应的QFI 为

当玻色场为热平衡态时的平均光子数为

此时QFI 重新表示为

计算子系统对应的QFI 为

由(36)式、(40)式和图2 可知,当光场处于热态时,QFI 的情况与Fock 态的情况相类似.当θ=π/2,即原子初态处于基态与激发态的等权叠加态,H2(Ω)总是取最大值,即H2(Ω)=1+,参数Ω的最小方差V(Ω)=,因此Qubit 态对应于基态与激发态的等权叠加态的初态为最优探测态;当θ=0或π,H2(Ω) 最小,即H2(Ω)=0,被估计参数的方差趋于无穷大,此时原子初态处于激发态或基态,并不是最优探测态,因此不予讨论.Hq2(Ω)和Hf2(Ω) 直接表明关于未知参数Ω的所有信息都包含在Qubit 系统中,而光场不包含任何关于未知参数Ω的信息.

图2 光场为热态时QFI 随不同变量的变化(Hq2(Ω)=H2(Ω))(a)平均光子数 ;(b) θFig.2.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a thermal state (Hq2(Ω)=H2(Ω)):(a) The average photon number,;(b) θ.

4.3 相干态光场

当光场初态处于相干态,则相应的探测态为

密度矩阵演化为

根据(20)式计算出复合系统对应的QFI 为

则H3(Ω) 对应的QCRB 为

光场子系统对应的QFI

则Hf3(Ω) 对应的QCRB 为

由(43)式、(44)式和图3 可看到,当光场为相干态时,QFI 的情况与Fock 态和热态的情况类似,当θ=π/2,即Qubit 系统初态为基态与激发态的等权叠加时,H3(Ω)取最大值H3(Ω)=+1,参数Ω的最小方差为V(Ω)=,此时的初态为最优探测态,因此使QFI 最大的Qubit 态的最佳制备对应于基态与激发态的等权叠加态;而当θ=0 或π,即Qubit 系统初态为基态或激发态时,H3(Ω)取最小值H3(Ω)=,此时被估计参数的方差最大为V(Ω)=,此时参数估计的精度受到限制,所能达到的最大估计精度极限为散粒噪声极限.

图3 腔场为相干态时QFI 随不同变量的变化 (a)平均光子数 ;(b) θFig.3.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a coherent state:(a) The average photon number,;(b) the θ.

4.4 结果

图4 比较了光场分别为Fock 态、热态和相干态时QFI 随平均光子数和θ的变化.从图4(a)可直观地看出,H(Ω) 随平均光子数单调递增,且热态情况(H2(Ω))优于相干态情况(H3(Ω)),相干态情况优于Fock 态(H1(Ω)).从图4(b)可看出,H(Ω)随θ也在单调增加,且光场处于热态和相干态时的QFI 均优于Fock 态情况的QFI.当θ=0 时,QFI 最小,Fock 态和热态情况H1(Ω)=H2(Ω)=0,即参数Ω的最大方差趋于无穷大,但相干态情况H3(Ω)=,参数Ω的最大方差为.当θ< π/4.6,相干态情况的QFI 比热态情况的大,当θ> π/4.6,相干态情况的QFI 比热态情况的小.综合分析,随和θ同时增长,三种情况的H(Ω)均在单调增加,θ=π/2 取最大,且热态情况和相干态情况的QFI 均优于Fock 态情况.但当θ< π/4.6,相干态情况的QFI 优于热态情况,当θ> π/4.6,情况相反.再具体分析每一种情况中复合系统的QFI 与子系统的QFI.发现Fock 态情况和热态情况类似,Qubit 子系统的QFI 等于复合系统的QFI,光场子系统的QFI 为零,换句话说,光场子系统不包含任何关于待估计参数的信息.但相干态情况中,情况并非如此,光场子系统的QFI 与平均光子数成四倍关系.综上所述,在三种不同的探测态情况中,量子Qubit 态处于基态与激发态的等权叠加态时,此时的探测态为最优探测态;当θ取某一值,光场对应于热态时的初态为最优探测态.

5 结论

综上,大失谐J-C 模型哈密顿量的耦合常数不是可观测量,估计耦合常数时需要利用QCRB 和QFI 计算的精度界限.这具有根本意义,因为它对应于寻找量子力学对物质处于不同态的可区分性施加的最终极限.本文通过制备探测初态为Qubit系统与光场的直积态,光场分别为Fock 态、热态、相干态,基于QFI 对大失谐J-C 模型的耦合常数进行估计.分别得出光场为Fock 态、热态、相干态时复合系统的QFI 以及子系统的QFI,并进行分析比较,发现三种不同光场的复合系统的QFI 取决于平均光子数和Qubit 内态.在大失谐J-C 模型耦合常数的估计问题中,Qubit 基态与激发态的等权叠加态为最优探测态,此时QFI 取最大值,利用热态或相干态情况中的探测态进行估计得到的精度要比Fock 态情况的高.本文的研究结果为大失谐J-C 模型耦合常数的估计提供了方法和依据.