解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径

廖芳婷

与圆锥曲线的弦及其中点有关的问题称之为圆锥曲线中点弦问题．中点弦问题在解析几何试题中比较常见，侧重于考查圆锥曲线与直线的位置关系、弦长公式、中点坐标公式、直线的斜率以及韦达定理，下面谈一谈解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径．

当遇到中点弦问题时，应很快联想到韦达定理，将圆锥曲线的方程和直线的方程联立起来，构造一元二次方程，建立方程两根之间的关系式，这是解题的关键．

二、采用点差法

点差法是解答中点弦问题的常用方法．运用点差法解题，要先设出或明确圆锥曲线的方程、弦的两个端点的坐标、弦的中点坐标；然后将弦的两个端点的坐标代人圆锥曲线的方程中，并将两式作差；再根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解．

运用点差法解题，可以达到设而不求的效果，大大减少计算量．但点差法的适用范围比较窄，只有在已知直线的方程、圆锥曲线的方程、弦中点的坐标三者中的两者时，才可运用此方法求解．

三、运用导数法

借助导数法来求解圆锥曲线中点弦问题，需要先对圆锥曲线的方程进行求导，得到曲线在某点处的切线的斜率，就能将其看作中点弦的斜率，再根据中点坐标公式求解，

本题运用导数法求解十分简单、便捷，但需明确曲线的切线的斜率与曲线在某点处的导数之间的关系，据此建立关系式，即可快速解题，

总之，在求解圆锥曲线中点弦问题时，同学们要注意将中点与韦达定理、中点坐标公式、直线的斜率公式相关联起来，从中寻找到解题的突破口，灵活运用上述三种方法解题，这样才能有效提升解题的效率．

（作者單位：江苏省阜宁县实验高级中学）