单位圆在三角函数教学中的作用

摘要：将单位圆融入三角函数教学，能够令抽象难懂的三角函数知识变得形象直观，从而易于学生理解，简化教学过程，优化教学效果.

关键词：单位圆;三角函数;教学;辅助作用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0104-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：郭芳丽（1965.4-），女，陕西省西安人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

在初中，我们利用直角三角形学习了锐角三角函数；到了高中，为进一步研究任意角的三角函數，需要借助单位圆.单位圆简单直观，具有圆的对称性和旋转不变性，三角函数有了单位圆的加入，便展开了一系列行之有效的教学活动.

1 理解弧度制

在高中阶段，弧度制的学习是一个难点，为了突破这个难点，我们借助单位圆来直观理解.如图1，在单位圆中，长度为1的弧AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度角.“弧度制”是用弧的长度来度量角的大小，弧度制统一了角度与长度的单位.

在讲解角的集合与实数集对应关系的过程中，引入（如图2所示）单位圆模型：让单位圆M与数轴相切于原点O，把数轴看成一个皮尺， 对于任意一个正数a，它对应数轴上的点A，把线段OA逆时针方向缠绕到单位圆M上，点A对应单位圆上的点 A′，这样以MO为始边，经逆时针方向旋转以MA′为终边的圆心角α的弧度数为正数a；同样对于任意一个负数b，对应数轴上的点B，将线段OB顺时针方向缠绕到单位圆M上，点B对应单位圆上点B′，则以MO为始边经过顺时针方向旋转以MB′为终边的圆心角β的弧度数为负数b.

2 定义任意角的三角函数

如图3，在直角坐标系的单位圆中，用角α的终边与单位圆交点p（u，v）的纵坐标v、横坐标u分别定义角α的正弦函数和余弦函数，记作v=sinα和u=cosα；比值

vu定义为角α的正切函数，记作

vu=tanα，其中

α∈R，α≠π2+kπ，k∈Z.用单位圆定义任意角的三角函数与锐角三角函数的定义是一致的.

3 推导诱导公式

利用单位圆的对称性与几何直观易得：

（1）角α与-α的终边关于x轴对称，终边与单位圆交点的横坐标相等，纵坐标互为相反数（图4），即

cos（-α）=cosα=u，sin（-α）=-sinα=-v.

（2）角α与α±π的终边关于原点对称，终边与单位圆交点的横、纵坐标均互为相反数，即cos（α±π）=-cosα=-u，sin（α±π）=-sinα=-v（图5）.

（3）角α与π-α的终边关于纵轴对称，终边与单位圆交点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即

cos（π-α）=-cosα=-u，sin（π-α）=sinα=v（图6）.

（4）角α与π2-α的终边关于直线y=x对称，终边与单位圆交点坐标满足关系：角α的横坐标是角

π2-α的纵坐标，角α的纵坐标是角π2-α

的横坐标，即sin（π2-α）=cosα=u，cos（π2-α）=sinα=v（图7）.

（5）对于角α与α+π2

的三角函数关系（图8），应用平面几何知识结合图形可知：角α的横坐标等于角α+π2的纵坐标，角α的纵坐标等于角α+π2的横坐标的相反数，即sin（α+π2）=cosα=u，cos（α+π2）=-sinα=-v.

4 研究三角函数性质

如图9，在给定的单位圆中，设任意角x的终边与单位圆交于点P（cosx，sinx），当自变量x变化时，点P的横、纵坐标也在变化.根据正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的定义，易知以下基本性质：

（1）定义域是R;

（2）值域是［-1，1］；

（3）周期是2π；

（4）单调性：如图10，在单位圆中，当角x由

-π2增大到π2时，sinx的值由-1增加到1，当角x由π2增大到

3π2时，sinx的值由1减小到-1.因此，正弦函数在区间［-π2，π2］上单调递增，在区间［π2，3π2］上单调递减.由周期性可知，正弦函数在［2kπ-π2，2kπ+π2］（k∈Z）上单调递增，在区间［2kπ+π2，2kπ+π2］（k∈Z）

上单调递减.同样，如图11，余弦函数在［（2k-1）π，2kπ］（k∈Z）上单调递增，在［2kπ，（2k+1）π］（k∈Z）上单调递减.

5 绘制三角函数的图象

（1）先作出三角函数线：在图12中，设单位圆与任意角α的终边交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，过点A（1，0）作x轴的垂线，与角α的终边或终边的反向延长线交于点T，则有向线段MP，OM，AT就是角α的正弦线、余弦线和正切线.

（2）再借助正弦线和正切线绘出正弦函数和正切函数在一个周期内的图象（图13）.

6 证明同角三角函数关系

如图14，设任意角α的终边与单位圆交于点

P（u，v），根据三角函数定义有：u=cosα，v=sinα，tanα=vu（u≠0）.所以tanα=sinαcosα（α≠π2+ kπ， k∈Z）.由勾股定理知OM2+MP2=1，即u2+v2=1.所以sin2α+cos2α=1.

7 推证两角差的余弦公式

如图15，在单位圆中，设锐角α，β（α>β）的终边分别交单位圆于点A（cosα，sinα）， B（cosβ，sinβ），则两个单位向量OA，OB的夹角为α-β.

于是OA·OB=cos（α-β） .

又OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ，

所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

总之，将单位圆融入三角函数教学，不仅有很好的辅助借鉴意义，还事半功倍.

参考文献：

［1］吴勇.聚焦单位圆[J].语数外学习（数学教育），2012（09）：33.