对数感与量感的辨析

吴立宝 高博豪 郭衎

摘要：数量感是指快速理解、估计和产生数量，并对数量进行表征，以及理解数量间关系的能力。它去情境化分化为数感，强调抽象后的数值部分%卩情境化分化为量感，强调具体化的物理意义。数感与量感是一组对立统一的概念，由定性的思维形式在计算形式、求解策略、对象表征三个方面表现出一定的共性，又由各自的特征在外在表现、内在价值、問题表征、发展方向四个方面有所区别。关键词：数量感;数感;量感

数量感是指快速理解、估计和产生数量，并对数量进行表征，以及理解数量间关系的能力。"本能的数量感是感性且有局限的，例如，人类未经学习无法借助数量感直观感受较大的数量。学生的数量感经过后天的培养可以趋于理性化，从而可以用数学的思维解决问题。刘炜等通过测试发现，数量感可以是摆脱物理特征的抽象数量方面的感知，也可以是空间频率、背景密度等方面的客观实在维度的感知。?因此，数量感有向更为抽象的数及运算（数感）分化的趋势，也有向更为实用的物理量科学表达（量感）分化的趋势。

《义务教育数学课程标准（2022年版'（以下简称“2022年版课标）在数感的基础上新增量感的概念，并将数感与量感作为数学核心素养的两个独立的具体表现。数感是形成抽象能力的经验基础，主要是指对数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。量感是形成抽象能力和应用意识的经验基础，主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。?从数量感出发，逐步理清数感与量感的关系、共性与区别，有助于教师深人理解二者的含义，从而采取有针对性的教学策略，培养学生的数感与量感。

一、数感与量感的关系

刘炜等认为，人类对数量表征的结果会产生一定的自主理解，这种感知能力最初来源于外界的真实刺激;同时研究发现，数量感不会因具体物体的个别属性而受到干扰，例如改变两个物体的大小与颜色，人类对其数量的感知结果仍然是两个。！Wagner和Davis认为，数量感是人类本能基础上对物体数量的感知能力，包含数字和占位符两部分，数字是从数量中去掉占位符之后的抽象结果，这里的占位符可以是数量单位、长度单位等。"由此可以看出，数量感具有适度的抽象性和源于现实两个主要特征。上述特征为数量感向数感与量感分化提供了基础。

实际上，直到19世纪，皮亚诺算术公理体系确立，人们才真正区分开数量与数。数量感向内去情境化，分化为对数及其运算结果以及相互关系的感知。例如，人类对数的认识是在对数量认识的基础上忽略掉情境因素抽象而来的。学生借助数感进行数的认识及数的运算时，依据的是抽象后的定义与法则，而非现实意义。数量感向外加情境化，则分化为对物理量及其基于度量单位的度量结果的感知。例如，人类将数量感与度量单位结合，迁移感知与表达各种物理量的大小。学生依据量感进行目标测量或估测的结果是数量在物理意义上的表现结果（如2米是同方向上2个1米的长度和'此时需要依据现实意义，而非单纯的运算。上述两个分化方向，即数感和量感两大方向。

“数感”一词最早出现在丹齐克的著作《数：科学的语言》中。丹齐克认为，数感是对数集的感知能力，体现在对数集中数增减变化的明确感知。?对数感的解释主要有以下两种观点：一种是行为取向的观点，认为数感是对数和运算的一般理解，体现在计算求解问题上$另一种是认知取向的观点，认为数感是基于内心的近似表征系统（ANS）产生的认知结果的外显'，这种能力是借助语言表达近似结果的（。在义务教育阶段，数感包括数的意义、数的表示、数的关系、数的运算、数的估算、数的问题解决六部分。?量感是指对客观事物大小的认识：在感知度量单位的基础上，通过一定的测量工具进行测量或估测，借助大脑估算与心算，最终可以感性或理性地表达物理量的大小。量感强调对客观物理量及其变化结果的感知，包括量的感性体验、量的理性认知、量的测量判断、量的合理辨析、量的单位转换、量的计算应用六部分。

总之，数感与量感均来源于数量感，它们的关系可用下页图1来表示。

二、数感与量感的共性

总体来看，数感与量感在思维形式上具有高度的相似性。曹才翰、章建跃认为，计算包括精确计算、心算、估算三部分。精确计算主要指笔算，笔算的步骤是理性且严谨的：在理解算理的基础上，借助算法一步步从问题出发，最终求得标准的计算结果。与精确计算不同，心算与估算则更多依赖于经验，是直觉作用下的感性认知，表现为计算规则内化后，熟能生巧地得到较为准确的运算结果。因此，借助于心算、估算的思维模式属于直觉判断，是定性（而非定量）的思维形式。！这种定性的思维形式是数感与量感共性的起源，具体表现为计算形式、求解策略、对象表征二个方面的共性。

（一）计算形式方面的共性

在运算过程中，数感多表现为对数及其关系的理解，通过估算而非复杂计算，快速且近似地求解，并结合自身的经验，对估算结果给出合理的解释。"其中，数量关系估算法是小学常用的一种估算方法。#例如，不计算比较下列式子的大小，在（  ）中填写“<”“>”或“=”：33+2（  ）33+3。观察发现，左右两边的式子都有数字33，因此，左右两式最终的大小取决于33加上的那个数的大小。因为2<3，所以33+2<33+3。上述判断是基于数感的估算，而非计算得到35<36，从而得到比较结果。

在计算形式方面，量感与数感高度相同。比如，根据量感判断目标物体的重量时，往往将问题转化为借助日常经验与所学知识进行估算，从而得到合理的估测结果。一个例子是：借助日常生活经验，知道1袋鸡蛋大约有8个，整体重量大约是，5千克（1斤），进而形成0.5千克的感知印象;之后，遇到与1袋鸡蛋重量相近的物体时，不通过称重或计算，便能快速估计出目标物体的重量大约是0.5千克。再如，依据量感进行单位转换时，往往借助经验的直觉进行心算。以“1千克=1000克”的转换为例，表现为“大”单位转换为“小”单位，进律是1000，那么直接在数字1后面添三个0即可;反之，则表现为将小数点向左移动三位，而不是采用具体乘或除以1000的精确计算数值来感知换算结果。

（二）  求解策略方面的共性

利用数感解决问题，往往倾向于采用“尝试一归纳一应用”的策略。该策略的特点是高实效性，即可以借助直觉快速求解。具体表现为解决问题时，尝试用简便的方法简化处理，在验证结果准确性的基础上归纳，并把归纳后的结果作为认知的支撑点，在练习的过程中强化，从而逐步减少思考的成本，使之变为一种直觉，并在未来解决问题时应用。例如，计算0.25X4时，借助严谨的笔算得到其结果为1。数字1起到了提醒的作用，因此，在遇到含有0.25X4部分的计算时，会尝试跳过笔算，直接将得数1作为直觉结果进行表征。同类的问题还有1.25X8=10等小数乘法结果为整数的特征化计算。

在求解策略方面，量感与数感具有共同之处。比如，借助量感的经验性，可以尝试将目标物体的长度与自己身体的部位对比。例如，对比发现，书桌的长度有一个半自己的胳膊那么长，自己的胳膊长大约是0.5米，因此，书桌的长度在0.75米左右。在这一尝试的基础上，可以通过测量判断结果的正确性一一借助尺子测得书桌的长度为0.8米，与自身感知的结果相近。从而便可以此归纳，将目标物体的长度与自己的胳膊相关联，借助胳膊的长度快速求得结果，省却严格的参照测量求解的步骤。

（三）  对象表征方面的共性

就数感来看，其对象表征往往不是一个精确的数值，而是在误差范围内可以接受的近似值，表现为投人的思考程度与输出的结果精确度的权衡。借助数感解决问题具有一定的实效性，因此，可以省却大量的思考成本，得到一个在误差范围内可以接受的结果。这种基于数感的结果往往对计算起到导向及验证的作用。例如，计算24X0.55时，会在头脑中将问题近似表征为24的一半是12，从而对最终的计算结果作出感性的判断：若结果与12的偏差过大，则是错误的。

近似性也是量感的一大特征，其核心在于，通过过程近似和结果近似的方式，简化解决问题的过程，使结果在合理的误差范围内快速呈现。过程近似，如将水瓶忽略瓶嘴部分近似为标准圆柱进行体积估测，将球近似为其外接正方体进行体积估测。结果近似阐述为将精确且复杂的测量结果通过合理简化，以简单明了的方式进行表征，降低后续测算的难度。如将4.02厘米用4厘米简化处理，有利于快速感知数量结果。

三、数感与量感的区别

数感和量感又在各自特征方面呈现出很多的不同。具体来说，可从外在表现、内在价值、问题表征与发展方向四个方面概括它们的区别，如表1所示。

（一）  外在表现方面的区别

外在表现方面，数感与量感的主要区别在于：数感是纯粹的内在认识活动，没有外在的动作成分，即数量感的思维部分，因此具有内隐性;量感是内在认知活动与外在动作活动的结合，如估测与实测相结合，即数量感的操作验证部分，因此兼具内隐性与外显性。

数感表现为借助内心的近似表征系统，通过对数字的理解以及心算与估算，得到表征后的结果。陈炳建认为，用数思考是数感的基本表现形式。！若把数感视为一种技能，应是纯粹的心智技能，体现在通过人脑进行认知、估算与反馈，并以观念上的结果作为认知的结果。此时，个体可能并没有实质的动作，但是在头脑中已经进行了多次估算并整理了结果。因此，数感具有观念性、内隐性、简缩性等特征。例如，学生坐在座位上不动，是已经在头脑中完成了11X12=11X10+11X2=110+22=132的一系列简算。

量感的表现有以下两个模式：其一，通过量的理性认知，在原有知识与经验的基础上，使用度量单位，通过“数+单位”的形式形成结果的表象，此时量感也表现出与数感类似的内隐性;其二，2022年版课标明确提出培养学生选择合理的测量工具进行测量的能力，测量属于动作技能，比如选择尺子测量目标物体的长度，测量过程可以拆分为选择尺子、对齐零刻度、目标读数等环节展开动作，这种动作技能具有明显的对象客观性、执行外显性、结构展开性等特点。因此，量感的表现往往是感知与操作并举，动脑与动手并行。

（二）  内在价值方面的区别

在内在价值上，数感与量感的区别主要在于：数感侧重于抽象能力及其思維价值，强调借助数量关系体会数的抽象过程以及运算法则，即数量感中数的部分;量感强调抽象思维的应用价值，即解决有关数量关系的实际问题。

数感致力于逐步揭示数量感背后蕴含的数的关系，是逐步用数表示事物规律的过程。因此，数感的对象是高度抽象的数、符号，不依赖具体的物理因素，对数、符号及其关系的判断是完全基于逻辑的。罗素赞成柏拉图的思想，认为符号是省略了定义后的“或者”“不是”“一切”“某些”之类的话语，并且不指向现实世界的任何事物。体现在数感上，从数量3个、长度3米、重量3千克中，都可以抽象出3的概念，而围绕数感的估算与计算，都是基于3这个数的。脱离现实背景的数的运算并无实际意义（如3+2=5，而3天+2小时$5天），因此，数感最终指向抽象能力的培养。

量感是借助测量或估测，产生对事物可测量属性的直觉认知，以解决实际问题。因此，量感的对象是客观存在的事物，其最终的培养目的也在于解决实际问题。梁培斌认为，必要的测量经历有利于学生形成量感，从而进一步培养估测能力，这种能力最终指向学生应用意识的培养。"例如，测出一个正方形的边长是3厘米，依据正方形的面积公式，求得该正方形的面积是9平方厘米。实质上，此时的运算具有一定的物理意义，合理地解决了现实应用中难以直接测量面积的问题。因此，量感最终指向抽象思维的应用意识的培养，以及应用价值的感悟。

（三）问题表征方面的区别

问题表征方面，数感是数量关系问题中数及运算的表征"强调如何通过合理的运算求得标准的数值结果，是数量感在运算规律方面的体现;量感可作为数量关系问题中判断是否合乎情理的原则，强调如何通过物理意义构建合理的算式（运算步骤'是数量感在逻辑判断方面的体现。

数感表现为借助数、计数单位、进制等抽象的概念，结合运算法则，合理地输出结果（仍为数'也就是，将问题归结为“怎么算”。量感表现为通过对量的物理意义的理解，构建实际物理含义与算式之间的对应关系，从而确定合理的运算步骤（选取哪些量进行怎样的运算'也就是，将问题归结为“算什么”。例如，对“物体运动距离是10米，运动时间是2秒，以及其他已知量，求物体运动速度”的问题，借助量感的经验性及转换性，构建“速度等于距离除以时间”的运算逻辑，以此列出速度的计算公式^即用10米除以2秒。此时的运算步骤是符合客观现实的，通过量纲检验可以验证其合理性。在此基础上，借助数感，将后续问题表征为距离的数值与时间的数值如何做除法，即10除以2如何依据法则求得运算结果。此时，关注的是利用乘法口诀进行数值求解，而不考虑计算的实际意义。直观地看，量感与数感的区别便在于单位是否参与运算，量感强调单位必须参与运算，而数感则不然。

（四）发展方向方面的区别

在发展方向上，数感最终指向数的感知能力以及运算速度与准确度的提升，强调数量感中合理估算部分的发展;量感最终指向对物理量认知的逐步理性化、辨析化，以及测量与估测准确性的提升，强调数量感中客观实在维度辨析部分的发展。

数感的发展方向有以下两个维度：一是数的关系，如互质关系、最大公约数关系、平方关系等认知的发展，在基本活动经验的基础上形成快速而准确的感知能力%二是数的运算，如四则运算等在快速、准确方面的发展。数感好的学生对数的关系及数的运算具有敏锐感。例如，给出数字169，可以快速反应它是13的平方数;给出数字12和15，可以迅速反应二者的最大公约数为3;提问“3X5等于多少”，能够借助乘法口诀快速回答15，而非进行5！5！5=15的计算。

量感的发展方向也存在两个维度：一是提升测量与估测的能力%二是提升理解与选择度量单位的能力，进而准确感知物理量的维度与大小。量感好的学生对客观事物的物理属性具有敏锐感。例如，可以快速判断一个桌面具有长度、面积、体积、重量等物理属性，可以合理进行测量，通过“数字+单位”的方式表达感知结果，并理解长度、面積、体积之间的关系。

四、结语

数感与量感是由数量感分化而来的两个概念。在教材内容安排以及教学活动设计中，二者往往同时出现：数感为量感提供理性支持，增加量感的科学性与严谨性;量感为数感提供可靠的抽象来源，为深人理解数及其关系提供良好的支撑点。但是，数感与量感也有所区别，混淆二者的概念对培养学生的数感与量感是不利的。结合2022年版课标，教师需要准确把握数感与量感的共性与区别，在教学过程中对症下药，并逐步深化二者的融合，最终助力学生数感与量感清晰且有深度的发展，从而助力学生数学核心素养的发展。

（吴立宝，天津师范大学教育学部，教授，博士生导师。主要研究方向：教师教育与数学教育。高博豪，天津师范大学教育学部。主要研究方向：数学教育。郭衔，北京师范大学数学科学学院，副教授，博士生导师。主要研究方向：数学教育。）