在思中教，在辨中学，让课堂充满思辨力

朱月兰 彭飞

[摘  要] 数学思辨能力是重要的数学基本素养. 数学思辨，即用数学的思想方法、知识、语言去理解、描述和解决各类问题的一种数学思维能力. 要培养学生的数学思辨能力，教师需要充分理解教材，遵循学生的认知规律，设计有思辨力的课堂教学.

[关键词] 核心素养;思辨力;初中数学

数学思辨，即用数学的思想方法、知识、语言去理解、描述和解决各类问题的一种数学思维能力. 数学思辨能力的提升有助于数学核心素养和关键能力的培养.数学是锻炼思维的体操，而作为构建数学体系、获得数学结论、构成数学思维的重要形式，理性思维不仅能够促使学生把握事物发展的脉络，应用所学知识条理清晰地解决实际问题，而且能培养学生的创造性思维和解决问题的能力[1].

数学思辨能力是重要的数学基本素养，要培养学生的数学思辨能力，教师需要充分理解教材，遵循学生的认知规律，设计有思辨力的课堂教学. 下面笔者以“相似三角形的性质2”的教学为例，设计一节有思辨力的数学课堂，以期抛砖引玉.

教学内容分析

本节内容是苏科版九年级数学下册第六章第五节的第2课时，是在学生已经学习完相似三角形判定的基础上学习的. 通过这节课的学习，学生需要对相似三角形的定义、判定和性质有全面的了解. 从知识的前后联系来看，相似三角形可以看作是全等三角形的拓展，相似三角形的性质研究也可以看成是全等三角形性质的进一步拓展、研究.此外，相似三角形的性质不仅是研究相似多边形性质的基础，还是今后解决圆类综合题中线段关系的有效工具.

笔者仔细研读新的课程标准后发现，新的课程标准不仅要求学生掌握几何结论，更重视学生演绎推理能力的培养和提升. 从这个角度来说，这节课需要培养学生有条理地思考和有条理地表达的能力，即教师要在课堂上引导学生会思、善辨，让他们逐步提升数学素养.

学生学情分析

这节课是在学生学习了“相似三角形的判定”“相似三角形的对应角相等”“相似三角形的对应边成比例”“相似三角形周长之比等于相似比”“相似三角形面积之比等于相似比的平方”等知识之后展开的，学生已经有了一定的知识、方法储备，也已经养成了一定的观察与分析问题的能力，这为本节课的教学提供了基础. 但初中生还处于识记、感性等阶段，所以他们在转化与化归、逻辑推理等能力和素养方面还有待提高.

教学目标设置

教材基于學生知道相似三角形的性质，提出了这节课的学习任务：理解相似三角形的性质，经历探索相似三角形性质的过程，并在探索过程中积极发展学生的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性，同时力图在学习过程中逐步达到学生的情感态度目标.在以上分析的基础上，根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，现针对这节课提出如下四维目标.

1. 知识技能

经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质;利用相似三角形的性质解决一些实际问题.

2. 数学考虑

在观察、猜测、证明及综合运用的活动中，培养学生合情推理和演绎推理的能力，让他们明晰地表达出自己的想法.

3. 问题解决

提高学生分析问题和解决问题的能力，让学生体验解决问题方法的多样性，培养他们的创新意识;让学生学会与别人合作、交流.

4. 情感态度

引导学生积极参与课堂活动，增强好奇心和求知欲;在学习的过程中，让学生体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立学习自信心;培养学生养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度.

教学重、难点

通过探索得出相似三角形对应线段之比等于相似比，利用相似三角形对应线段之比与相似比相等的性质解决问题.

教学方法

这节课的教学方法以问题串的形式为主，即把多个问题串起来，由浅入深，逐步引导学生思辨，同时融入探究式教学、小组合作学习、多媒体教学等教学手段.

教学过程

1. 复习回顾

问题1 由△ABC∽△A′B′C′，可以得到哪些性质？

设计意图 旨在帮助学生回顾相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比叫相似比，并在三角形相似的基础上回顾相似三角形周长之比等于相似比，为接下来探索“相似三角形中三条重要线段是否成比例，对应线段之比等于什么”做铺垫.

2. 探索新知

问题2 如图1所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′两点分别为BC，B′C′上的点. 若AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，设△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那么■的值是多少？证明你的结论.

设计意图 从学生熟悉的直角三角形入手，学生从感性的角度得出线段的比值为三角形的相似比. 接着，教师引导学生从理性的角度进行证明，并示范证明过程，总结证明的方法（两角相等且夹边成比例），同时教师运用多媒体将核心词“对应”进行展示与板书，引发学生浅层次的思与辨.

问题3 如图2所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′两点分别为BC，B′C′上的点. 若AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，设△ABC与△A′B′C′的相似比为k，你能求出的值吗？你能证明吗？

设计意图 问题中的三角形为斜三角形，在“问题2”的基础上进行了升级.学生从观察、感性的角度仍会觉得线段之比为相似比. 三角形虽然由直角三角形变成了斜三角形，但证明方法不变.在“问题2”示范与总结的基础上，学生可以给出严谨的证明过程. 从“问题2”到“问题3”，由静到动、由“直”到“斜”，思维上升，能引发学生进一步的思与辨.

问题4 如图3所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′两点分别为BC，B′C′上的点. 若D，D′两点分别是BC，B′C′的中点，设△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那的值仍然等于k吗？你能证明吗？

设计意图 “问题4”抛出的三角形为斜三角形，学生能从教师的语言暗示中、感性的直觉思维中，猜测出线段之比仍为相似比. “问题4”与其他问题相比，证明方法发生了变化，思维要求也在不断提升. 在实际教学中，我们能清晰地看到，学生仍然想证明△ABD∽△A′B′D′，但至于如何证明，他们显得有些吃力. 由于需要转化思维方法，所以学生所思与所辨陷入困境.

问题5 对于“问题4”，在证明△ABD∽△A′B′D′的过程中，我们发现不能继续应用“两角相等，夹边成比例”来解决问题，你们还能用其他方法解决这个问题吗？

设计意图 通过小组合作探究，类比前面的探究过程，教师培养学生的主动探究意识，提高他们的合作交流能力. 通过教师的引导、学生的合作交流，学生能够自主地发现要证明两个三角形相似，还可以通过“两边成比例，夹角相等”来证明. 解决该问题能很好地发展学生思的深度、辨的能力，能提升学生理性认识问题的素养.

问题6 已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，D为BC边上一点. 要在△A′B′C′中找点D的对应点D′，该如何找？请说明理由.

（学生讨论、交流后选出一个学生代表到黑板上演示如何找点D′的位置）

设计意图 “问题6”既是前面几个问题的总结，又是前面几个问题的应用与延伸. 学生通过交流，可以得到点D′的大概位置. 在具体说明需满足的数量关系时，则需要教师点拨. 随着该问题的解决，问题从三角形的高、角平分线、中线等特殊情况过渡到了一般情况，学生的思维得到了不断的升华，不仅获得了线段比与相似比之间的关系，还获得了由特殊到一般、由浅入深的学习方法. 这样能潜移默化地提升学生的数学素养.

3. 数学应用

例1 （1）已知两个相似三角形的中线之比为2∶3，那么它们的对应角平分线之比为_____，周长之比为_____，面积之比为_____.

（2）若两个相似三角形的面积之比为16∶9，那么它们的对应高之比为_____，对应中线之比为_____.

变式 如图4所示，在△ABC中，D，E两点分别在AC，AB上，∠ADE=∠B，AF⊥BC，AG⊥DE，垂足分别为F，G. 若AD=3，AB=5，则=_____.

设计意图 例1的第（2）问，要求对应线段之比，得先从条件中找出相似比，再应用定理得到答案. 变式的题设条件未涉及相似，但通过对条件的分析并结合图形可知实际为两相似三角形对应高之比. 教学时，教师应引导学生根据题目条件得到两个三角形相似，再找出相似比，进而解决问题.

例2？摇如图5所示，AF是△ABC中BC边上的高，D，E两点分别在AB，AC上，且DE∥BC，DE交AF于点G. 若DE=6，BC=10，GF=5，求点A分别到DE，BC的距离.

变式1？摇如图6所示，AF是△ABC中BC边上的高，P，Q两点均在BC上，点D在AB上，点E在AC上. 若四边形DEPQ是正方形，BC=12，AF=8，求正方形DEPQ的边长.

变式2 如图7所示，AF是△ABC中BC边上的高，P，Q两点均在BC上，点D在AB上，点E在AC上，四边形DEPQ是矩形. 若BC=48，AF=16，DQ∶DE=5∶9，求矩形DEPQ的面积.

设计意图 一题两变式的设计能让学生感受到“题目条件不断变化，但解题思路和方法不变”，体会到运动变化中的“守恒”. 在例题、习题中体现思辨的过程，不仅是这节课知识的学习过程，还有助于学生在未来的学习和生活中解决问题.

4. 归纳、小结

（1）一个定理：相似三角形的对应线段之比等于相似比.

（2）兩种思想：类比思想、方程思想.

课后反思

数学思辨能力是一种综合的数学思维能力，包括数学思考、推理、判断、交流等能力，数学思辨能力的强弱既是衡量学生数学素养高低的一个重要指标，也是新课改背景下数学课堂教学是否达到基本要求的一个标准.

1. 轻松的氛围，让课堂“活”起来，为思辨保驾护航

这节课是在他校借班公开课，听课的人数较多. 刚开始，笔者由于紧张、放不开，整个课堂的气氛比较紧张、稍显沉闷，某些问题留给学生思考的时间不够，故没能大范围地调动学生的学习积极性，学生的主体地位没有得到保证. 但随着课堂节奏逐步舒缓、有序、渐入佳境，学生的思维逐渐活跃了起来. 所以笔者认为，课堂要想充满思辨，教师首先要给学生营造轻松的学习氛围，要让学生在心理上接纳教师，毕竟“亲其师，才能信其道”;其次，教师在调动课堂气氛的时候，语言表达要通俗易懂、生动有趣，教态要自然;再次，教学过程中，教师要让学生多到讲台展示自己的解题思路、解题过程;最后，在学生展现自我的过程中，教师应不吝啬自己的表扬与肯定，多多激发学生的积极性，让他们感受到成功的喜悦，从而让课堂活起来、动起来.

2. 类比推理，在“变”中追求“不变”，提高思辨高度

为了体现这节课定理的完整性，笔者将第一课时的“相似三角形的对应高之比等于相似比”嫁接到这节课中，因此复习回顾环节笔者设计了“由三角形相似可以得到哪些结论”这一问题情境，然后引导学生思考：相似三角形除了对应角相等、对应边成比例而外，还有别的性质吗？并在对应边BC，B′C′上分别设计动点D，D′，当AD，A′D′分别是这两个三角形的对应高时，学生通过猜想很快得到结论“相似三角形的对应高之比等于相似比”. 至于如何证明，笔者则让学生独立完成，并概括相应的性质（性质1），同时用符号表示. 接着，在D，D′两点运动的过程中，笔者引导学生猜想相似三角形对应角平分线、对应中线之比的值，并尝试自行证明，总结相应的性质（性质2和性质3），同时用符号表示. 接下来，笔者为了引发学生思考问题“当动点在运动变化的过程中，是不是所到之处皆有这样的性质？”给出了如下问题：已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，D为BC边上一点. 要在△A′B′C′中找点D的对应点D′，该如何找？请说明理由. 学生在思考、解决这一问题（即问题6）的过程中，能加深对“对应”这一词语的理解. 最后，笔者通过例题和变式加深了学生对4种“比”之间的关系的认识，突出了“比”的“同一性”. 这节课通过运动变化的问题情境得到了这样的结论：对于两个相似三角形，就算对应边的长度、对应特殊线段的长度都发生变化，但它们的对应角不变，对应线段的比也不变. 学生能在此过程中体会到：以“不变应多变”，在“运动变化”中依然存在“守恒”！

3. 开展思辨教学，提升思辨能力，为学生深度学习与创造奠基

深度学习和创造，是对认识对象进行系统、深刻和完整的研究. 对于这节课，学生在研究“相似三角形对应线段之比等于相似比”这一性质时，笔者先从学生已有的知识（相似三角形对应边的比等于相似比）出发，到浅层次的高之比的探究，再深入到角平分线、中线之比的探究，最终到一般对应线段之比的探究，遵循了学生的认知规律——由浅入深，由特殊到一般. 这一过程不仅能让学生充分体会到数学知识之间的内在联系，还让他们经历了一个系统的、深刻的知识学习过程. 这节课，笔者除了教给学生相似比的有关知识、解决相似问题的常见方法而外，还指导学生如何学习——展开丰富的联想，找出相近或相似事物之间的联系与区别，以加深对问题的认识与理解. 在“互联网+”时代，网络学习的空间给教师学习、课前备课、课堂教学、课后反思等，学生的课前预习、小组合作、课后巩固、交流探讨、反馈评价等方面提供了很好的平台，给枯燥的数学课堂带来了活力[2]. 开展思辨的教与学还可以借助网络信息技术去进行探讨、探究，因为网络信息技术不仅方便学生查找更为丰富的学习资源，还能帮助学生准确作图、精确计算等，能为学生的联想、思辨提供一个很好的途径. 当然这节课在这方面还有些欠缺. 深度学习需要思辨，没有思辨，学生就只能机械模仿，无法提升创造能力. 学生只要掌握思辨的方法，提升思辨能力，就能为未来的深度学习与创造奠基.

结束语

数学学科需要思辨能力. 初中数学思辨能力是指，在初中數学学习过程中思考问题，对问题加以辨析、推理，进而解决问题的能力. 思辨能力包含抽象思维、逻辑思维、创新思维等思维方式，是初中数学学习不可或缺的能力. 新课程改革对数学思辨能力的培养非常重视. 思辨能力是学生学习数学知识所进行的思维活动中智力特征的表现，是培养学生学科核心素养的重要支点. 因此，对学生数学思辨能力的培养任重而道远. 作为教师，我们应在充分理解教材的基础上，结合学生的认知水平和认知规律，设计有思辨力的数学课堂，通过教学实例实践操作，促进学生内思，激发学生的学习和表达兴趣，培养学生的数学思维，提高学生的思辨能力.

参考文献：

[1] 孙玉梅. 用数学思辨引领学生深度学习[J]. 河南教育（教师教育），2021（08）：78-79.

[2] 彭飞，王平. 基于网络学习空间下高中数学教与学方式变革的案例、原则与策略——以苏教版必修5《等差数列的前n项和》为例[J]. 数学教学通讯，2021（12）：3-6+12.

作者简介：朱月兰（1983—），本科学历，中学一级教师，从事中学数学教学与研究工作.