如何解答直线与圆锥曲线问题

李海艳

直线与圆锥曲线问题具有较强的综合性，且运算量较大，侧重于考查直线的方程、直线的斜率、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式、圆锥曲线的方程、平面几何图形的性质等.常见的命题形式有求直线的斜率、求直线的方程、求圆锥曲线的方程、判断直线与圆锥曲线的位置关系、求圆锥曲线中弦的长度等.本文主要探讨下列三类直线与圆锥曲线问题的解法.

一、直线的斜率问题

解：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

因为直线y=kx-1与y轴交于点P，

所以点P（0，-1）

消去y得（3+4k²）x²-8kx-8=0，Δ>0

则（-x₁，-1-y₁）=3（x₂，y₂+1）

所以x₁=-3x₂

设出直线与圆锥曲线的两个交点的坐标，将直线和椭圆的方程联立，通过消元，构造关于x的一元二次方程，即可根据韦达定理建立方程，通過解方程即可求得直线的斜率.求直线的斜率，需重点研究直线与圆锥曲线的方程以及交点的坐标.

二、弦中点问题

∵AB的中点为M（-4，1）

∴x₁+x₂=-8，y₁+y₂=2

∴正确答案为选项C.

该题是与弦中点有关的圆锥曲线离心率问题，需首先设出交点A和B的坐标，将其代入椭圆的方程中并作差，求得直线的斜率的表达式，便可根据中点的坐标建立关于a、b的等式，求得椭圆的离心率.运用点差法解答中点弦问题，关键是将两个交点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并作差，据此建立关系式.

三、弦长问题

（1）求椭圆M的方程;

（2）设直线l的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

综上可见，无论是求直线的斜率、解答中点弦问题，还是解答弦长问题，都需重点研究直线与圆锥曲线的方程，可将两个方程联立，构造一元二次方程，也可将交点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两个方程作差.