对一类概率问题解法的探究

金毅

概率是高中数学中的重要模块.常见的概率问题主要有等可能事件的概率（即古典概型）、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n次独立重复试验的概率）等.解答这些概率问题的常用方法有定义法、公式法、间接法等.而对于n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率问题，仅利用公式、定义，无法顺利求得问题的答案，本文重点谈一谈解答此类概率问题的两种途径.

一、利用数列的通項公式

例1.甲，乙，丙，丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，依此类推.设经过n次传球后，球落在甲手上的概率为a_n.

（1）求a₁，a₂，a_n;

（2）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲，乙，丙，丁4人手上的概率是否相等，并说明理由.

二、利用函数的性质

例2.某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p，每件产品检验合格与否相互独立.现工厂要求将产品每k个（k≤5）一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验.设该工厂生产1000件产品，记每件产品的平均检验次数为X.

（1）求X的分布列及数学期望;

（2）当p=0.1时，求使该方案最合理时k的值及1000件产品的平均检验次数.

所以X的分布列如下：

当1≤k≤5，k∈N^*时，g（k）单调递减，

所以当k=4时，平均检验次数最少，该方案最为合理，此时g（4）=0.594，所以1000件产品平均检验594次.

在解答概率问题时，要学会将随机变量X看作变量，将n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率、期望看作函数式，借助函数的性质来解题.

可见，解答概率问题，不仅要掌握概率中的基本公式、定义，会判断事件的类型，还需将问题与数列、函数关联起来，利用数列的通项公式、函数的性质来辅助解题，这样才能有效地提升解题的效率.