利用分类讨论思想研究二次函数与等腰三角形结合问题

田　雯

利用分类讨论思想研究二次函数与等腰三角形结合问题

田雯

（苏州市田家炳实验初级中学，江苏苏州215000）

二次函数与等腰三角形结合问题是二次函数与几何综合下的一大问题专题，这一类问题的解答关键之一在于学生对等腰三角形的分类讨论，学生需要在解题的过程中考虑几何知识与代数知识的相互转换。教师在教学实际中需要重视问题的展示与学生的引导，帮助学生研究问题，提炼方法。

分类讨论；二次函数；等腰三角形；问题探究

函数几何题目是中考中的常考问题，其对学生多种数学思想的掌握程度有较深度的考查。为了帮助学生有效地掌握这一类题目的解法，教师需要想办法构建有效的教学过程，让学生结合分析进行获得实际解题技能的有效发展。为此，教师在教学开始前需要明确教学的目标是帮助学生掌握二次函数背景下等腰三角形的分类讨论问题的方法与步骤，让学生掌握几何问题与代入问题相互转化的转化思想。

一、分类讨论思想的价值简析

分类讨论是一种逻辑方法。在分类讨论中进行分类的原则主要为三点：1.分类的每一部分是相互独立的；2.一次分类按一个标准；3.分类讨论应逐级进行。这三点原则是实现有效分类的关键。当学生掌握了分类讨论的思想，其就可以实现多种情况问题的有效解决。而本文讨论的二次函数与等腰三角形结合的问题，其分类主要体现在等腰三角形坐标的三种情况，若学生缺乏分类讨论思想的有效认知，其在解答相关题目时就很容易出现“漏考虑”的情况。而为了帮助学生实现这一类题目的有效解答，教师就需要结合实际例题的展现，帮助学生认识题目中涉及的多种情况，并引导学生进行分类计算。

二、实际的教学开展方法

（一）结合目标展示，展现教学内容

二次函数与等腰三角形结合问题是中考的常考问题，这一问题相较于其他题目而言具有较强的综合性，学生需要熟练地掌握几何和代数知识，并能有效地将相关知识进行转换应用。为了确保自己的专题教学切实有效，教师在进行正式内容的教学前需要结合教学目标展示的方式为学生简要地展现本课所要讲授的教学内容，帮助学生明确所要学习知识内容的构成。这样一来，在教师完成相关内容的简介后，学生就可以明确本课需要学习哪些知识，了解他们又需要掌握到哪些程度。

例如，在教学实际中，教师就可以使用多媒体教学工具展示的方式为学生展现本课所要学习的二次函数与等腰三角形内容。其中，教师首先需要为学生简要地展示中考对于相关问题的考查频次，让学生认识到这一类问题在中考中的重要性；其次教师可以进行这一类题目的简要解析，让学生明确这一类题目考查的是二次函数和等腰三角形两方面知识，解决这一类问题则需要融合二次函数和等腰三角形的知识内容；最后，教师则需要为学生简要地介绍一下这一类题目的分类考查情况，让学生对其达成一个基本的内容认知。这样，通过简单的教学展示和展现引导进行，学生就可以对当课的主要学习内容有一个认识，其学习动力也可以在一定程度上得到提升与调动。

（二）运用媒体工具，做出分类解析

教学工具的有效选用会对教学的效果产生直接的影响。教师需要预先考虑要使用的教学工具，构建教学流程的设计。通过分析可以发现，二次函数与等腰三角形问题是涉及函数与几何两方面的综合问题，而这两方面知识又都具有较强的抽象性，需要在教学的过程中进行绘图展示，相应的教师就可以选择使用多媒体绘图软件进行教学展示，为学生清晰地展现多种情况。在明确了所用的教学工具后，教师可以使用多媒体教学工具从分类讨论的概念解析入手，引导学生认识分类解析的价值。点明本课专题教学的内容与重点，引导学生认识分类讨论对于二次函数与等腰三角形综合问题的解答价值。

例如，在教学实际中，教师可以先为学生系统地解释数学思想的概念，让学生明确数学思想对数学解题和数学学习的重要价值。在学生达成系统的认识后，教师就可以再使用多媒体展示的方式为学生展示本课教学涉及的分类讨论、方程、数形结合三方面数学思想。在教学展示过程中，教师需要对分类讨论思想进行强调，让学生明确分类讨论思想是实现二次函数与等腰三角形综合问题解答的关键这一重要信息。当学生对分类讨论有了深刻的认知，教师就可以通过多媒体展示的方式展现一道例题，引导学生认识分类讨论在相关问题中的解答体现。

（三）给出分析例题，引导学生探究

二次函数与等腰三角形题目的问法较多样，较为常见的主要有三种：形成等腰三角形的关键动点在坐标轴上；形成等腰三角形的关键动点在抛物线上；求形成等腰三角形的关键动点是否存在，并探讨存在或不存在的情况。这三种问法从难度上来看依次递增，相应的考虑到学生的基本认知规律，教师在进行教学题目展现时也可以依次进行展现。对于动点P在坐标轴上这一情况，教师可以给出一个动点P在x轴上的例题，借助该例题和其变试题引导学生对等腰三角形的分类方法进行认知，确定问题的基本解决思路。在进行该类题目的教学解析时，教师要尽可能鼓励学生发散思维，拓宽解题的有效思路。

例如，教师在教学实际中就可以向学生展示如下习题，引导学生进行探究思考：

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x2+（k-1）x+4的图像与y轴相交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB=6。

（1）求点A与点B的坐标；

（2）求此二次函数的解析式；

（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标。

解析：在该题目中，第（1）和第（2）的问题是简单的函数坐标系求解，这两个问题并不是二次函数与等腰三角形专题问题的重点，且难度也较低，所以教师可以让学生根据所学知识进行求解。而在第三个问题中，教师需要强调的重点是点P在x轴上时会出现的情况。通过研究可以明确，当△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，此时点P的位置会出现三种不同的情况。

简略过程：

在展示了上述题目后，教师就可以引导学生对该题目的解答流程进行简要概况和思考，让其尝试着分析动点P在x轴上时解题的有效方法。而为了进一步帮助学生进行了解和认知，教师还可以在该题目中做出拓展，变更条件，让学生尝试着求出P点在y轴上时的几种坐标情况。

问题变式：如果点P在y轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标。

（四）改变题目条件，实现深度思考

在完成上述题目的教学展示后，学生对点在x轴上这一种情况的题目解答方法已经有所认知，为了进一步揭示二次函数与等腰三角形题目的解题思路，教师就可以变更题目的基本条件，为学生展示复杂性较高的第二种条件：动点P在抛物线上。在展现了相关问题后，教师就可以引导学生进行进一步的深度思考，想办法引导学生进行总结归纳。在完成P在抛物线上的展示后，为了进一步引导学生实现全面认识，教师还可以给学生展示P点在二次函数对称轴上的情况。

例如，在实际的教学中，教师就可以为学生做出如下的题目展示：

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像交于点A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3），D为抛物线的顶点。

（1）求此二次函数的表达式；

（2）求△CDB的面积；

（3）若对称轴右侧的抛物线上存在点P，使△PDC是等腰三角形，此时点P的坐标是多少？

解析：在该题目中，教师仍可以让学生独立完成（1）（2）两个问题，确保学生正确解答即可，针对第三个问题，教师要引导学生对该题目涉及的两种情况“以CD为底边”和“以CD为一腰”进行分类讨论，进而解出对应的题目。

简略过程：

由（1）得二次函数的表－式为-x2+2x+3，可以得到D点的坐标为（1,4），对称轴x=1，

若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧抛物线上，故通过抛物线对称性可以明确，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P的坐标为（2,3）

在上述题目的教学展示中，教师需要让学生明确分类讨论的重要性，并引导学生对每个情况下出现的数值进行分析，根据题意进行排除。除了P点在抛物线上的情况，教师还可以为学生展示P点在二次函数对称轴上的题目，帮助学生加以认知。

具体习题：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1,0），B（3,0），与y轴交于点C，直线y=x+2与y轴交于点D，交抛物线与E，F两点，点P为线段EF上一个动点（不与E，F重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q。

（1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线对称轴上存在点P，使△MAC为等腰三角形，请求出P点坐标。

问题：第一问易求得抛物线解析式为y=-x2+2x+3，第二问则需要分类讨论线段AC为底和线段AC为腰的两种情况。

简略过程：

改变问题内容，达成理解探究（动点P是否存在）中考情况是中考中考查较多的一种情况，这一情况的问法一般为：问在x轴（抛物线）上是否存在点P，使得△PBC是等腰三角形（BC为抛物线上的两个点，题目中会给出相关的信息），如果存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由。在展示这一类问法时，教师需要结合教学的进行让学生明确，这一类问题的易错点是P点坐标漏求，而从题目总体上分析，P点存在的题目数量较多，也有少量题目会出现P点不存在的情况。

例如，在实际的教学中，教师就可以为学生展示如下题目：

如图，已知抛物线y=ax2+bx-3，与x轴交于A（1,0）、B（-3,0）两点，与y轴交于点C。点P是线段BC上一动点，过点P做x轴的垂线交抛物线于点D。

（1）求抛物线表达式；

（2）连接CD、DB。当△BDC的面积最大时，求△BDC面积的最大值以及此时点P的坐标；

（3）是否存在点P，使得△PCD为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

解析：第一问中易求得抛物线的表达式为y=x2+2x-3。第二问则引导学生巩固作答即可。在第三问中，教师可以引导学生对P点的存在性论证，而后通过计算的方法加以验证并求出相应的坐标。在这一问题中，也存在DC=PC、PC=CD、PC=PD三种情况。

（五）结合教学内容，引领学生总结

总结是实现学生知识归纳与内化的重要途径。在教学实际中，教师需要当教学内容完成后，让学生对当课所学的知识内容与解题方法进行研究分析，尝试着将相关的知识内化吸收。而为了帮助学生进行归纳，教师可以在学生归纳完成后用多媒体展现的方式展示当课讲授的关键内容，并针对性地点明哪些知识内容是重点，需要学生特别进行记忆。

例如，在实际的教学完成后，教师就可以针对性引导学生进行课堂小结。在其中，教师可以做出以下提问：“同学们，通过这一课的学习，你们都掌握了哪些内容呢？”而后教师就可以再根据学生做出的回答引导学生进行回顾总结。一般而言，总结的内容包含包涵过程与方法，即以下三点内容：1.根据题目中抛物线条件，准确计算；2.根据条件，对等腰三角形进行分类讨论；3.数形结合，选择适当方法灵活解题。

（六）给出中考真题，开展解题训练

学生训练进行也是专题训练必不可少的构成部分，这一部分教师可以放在课上进行，也可以放在课下以作业的形式让学生完成。在教学实际中，为了确保学生练习题目的有效架构，教师需要利用课下时间预先准备一些中考真题，并将其进行分类设置。在教学展示的同时，教师也就选择性地给出部分题目引导学生巩固练习。当所有教学内容完成后，教师就可以把其他题目交给学生，让学生尝试着利用所学的知识进行解题训练。例如，在教学实际中，教师就可以利用课下时间访问一些资源网站，以各地的中考题为关键词搜集相关的中考题目，从中挑选出考查二次函数与等腰三角形相关知识的问题。

综上所述，分类讨论思想是实现二次函数与等腰三角形问题有效解决的重要方法，故教师在进行专题解题教学时，需要强调分类讨论思想的应尽可能地让的让学生进行实际解题分析。在教学实际中，教师就可以联系教学情况为学生分类的展出各种习题，引导学生加以分析认知。

[1] 杨文金.分类讨论思想精读[J].中学生数理化(初中版.中考版),2015(06):2-4.

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