优化奇异谱分解方法在轴承故障诊断中的应用

马朝永，申宏晨，胥永刚，张坤

(1.北京工业大学,北京 100124；2.北京市精密测控技术与仪器工程技术研究中心，北京 100124)

滚动轴承是机械设备重要的基础部件，也是很容易发生故障的部件。基于振动分析的轴承故障特征提取方法取得了长足发展并在实践中得到广泛应用[1]。奇异值分解将包含信息的矩阵分解至一系列正交子空间中，通过选取合适的奇异值提取信号中的特征成分。奇异谱分析源于奇异值分解，其在时间序列上构建特定矩阵[2]，将原始序列分解为若干可解释分量的总和并从复杂信号中提取特定分量[3]。文献[4]将奇异谱分析应用于滚动轴承故障诊断，通过选取信号的主成分重构信号从混叠强噪声的信号中提取故障特征[5]，嵌入维数的选择是奇异谱分析的重点与难点。

奇异谱分解(Singular Spectrum Decomposition，SSD)可以对非线性非平稳时间序列进行自适应分解，能够自适应地设置轨迹矩阵的嵌入维数并用于重构分量的特征向量组，从而有效提取机电设备振动信号中的故障特征[6-7]。文献[8]以优化后的最小熵解卷积调整对信号进行预处理，提出了改进的奇异谱分解方法，降低了模态分量中的噪声并增强了所提取分量的信噪比。文献[9]提出了增强型奇异谱分解方法，对振动信号进行微分处理以提高信噪比，并将每个奇异谱分量集成在一起获得增强的奇异谱分量从而增强故障特征。文献[10]利用奇异值差分谱对信号重构过程进行改进，提高了奇异谱分解的降噪能力。上述研究虽在降低噪声、增强分量的信噪比上做出了努力，但都没有从理论上解决奇异谱分解存在的模态混叠问题。

因此，以奇异谱分解本身的迭代过程为框架，依据迭代过程中划分的频段及重构分量时特征向量的选择来改变嵌入维数的确定准则，提出了优化奇异谱分解 (Optimized Singular Spectrum Decomposition,OSSD)，并尝试将其应用于滚动轴承的故障诊断。

1 奇异谱分解基本原理

奇异谱分解是一种非线性非平稳信号处理方法，能够自适应地提取具有物理意义的奇异谱分量。实现步骤如下：

1)若原始信号的离散形态为x(n)，n=1,2,…,N，其中N为信号长度；令z(n)为待处理信号，当迭代标签j=1时，z(j)(n)=x(n)。

2)将z(j)(n)频谱中峰值最大的频率设置为主峰频率fmax，构建一个具有叠加高斯函数的谱模型拟合功率谱密度的轮廓并估计主峰带宽2Δf。

3)当j=1时，若fmax远小于采样频率fs，首次迭代截取的频段可以视为趋势项。此时，令嵌入维数M=N/3，M为正整数且满足11或不满足上述条件时，令M=1.2fs/fmax。

4)令轨迹矩阵P(M×N)的第i行为pi={(z(j)(i),…,z(j)(N),z(j)(1),…,z(j)(i-1)}，i=1,2,…,M。

如果令A={1,2,3,4,5}，嵌入维数M=3，则轨迹矩阵P可表示为

(1)

左侧主矩阵对应于奇异谱分析中使用的标准轨迹矩阵。P形式的优点是增强了时间序列z(n)的振荡成分，保证迭代剩余分量的能量呈递减趋势。将矩阵P的右下角元素搬移至左上角，得到改进后的轨迹矩阵Q为

(2)

各对角线元素相同且数量相等，其缘由是重构过程中的对角线平均法需要轨迹矩阵如此的新定义。另外值得注意的是，当首次迭代的序列确定为大趋势项时，轨迹矩阵应为奇异值分解的标准形式，而不是新定义的形式。

5)对于矩阵Q，存在一对正交矩阵U和V使Q=USVT，其中S为对角矩阵，则矩阵Q可表示为Qi的组合，即

(3)

式中：σi为第i个奇异值；ui为矩阵U的第i行；vi为矩阵V的第i行。

7)从待处理信号z(j)(n)中去除获得的分量序列g(j)(n)，得到残余项y(n)为

y(j)(n)=z(j)(n)-g(j)(n)。

(4)

计算所得残余项与原始信号之间的标准均方误差可得

(5)

(6)

若不满足，令z(j+1)(n)=y(j)(n)，j=j+1，重复步骤2—步骤7。

奇异谱分解的重点步骤为奇异谱矩阵构造时的参数确定以及分量重构时特征向量组的选择，这2点决定了奇异谱分解对信号有用分量的提取效果。奇异谱分解的流程如图1所示。

图1 奇异谱分解流程

2 优化奇异谱分解

原始奇异谱分解中，嵌入维数的取值与每次迭代时捕获的主峰频率成反比，使得部分频段提取时的嵌入维数太小，进而导致用于重构的特征向量中包含大量不属于期待频段的能量。另外，获得的主峰频率组及其频段在实际应用中会有相互重叠或过窄等问题。

为解决上述问题，采用基于顺序统计滤波器[11]获得主峰频段[fimin,fimax]，此时对应的带宽为Hi=fimax-fimin。当迭代时获得的带宽Hi较小时，令嵌入维数变大，所获取奇异值的个数会增加，在左特征向量中能够更精准地选择频段[fimin,fimax]内的所有特征向量组并获得更精确的重构分量；反之，当带宽较大时，令嵌入维数变小，参与重构的奇异值和左特征向量中的特征向量组会相对减少。优化奇异谱分解以迭代过程中划分的频段以及重构分量时特征向量的选择为依据确定新的参数，不仅可以使轨迹矩阵的构造更加合理，还可以使分量的重构更加准确。嵌入维数重新确定为

M=jfs/Hi，

(7)

式中：Hi为第i次迭代时获得的频带宽度；j为正整数。在第1次迭代过程中，首先令j=1，执行(7)式并判断构造的M值是否超过N/10；若M不大于N/10，增加j并再次执行 (7) 式，直至M值超过N/10时将当前值确定为固定值，在随后的迭代中不再更新j值。另外，每次迭代中的M值不得大于N/3。

上述过程为信号处理过程确定了固定的计算公式，可以使分解过程中的矩阵构造与分量提取具有一致性。由于绝大多数信号在第1次迭代时获得的带宽都相对较窄并有N/10的限制，此时计算获得的M不会太小，后续迭代时即使获得带宽较大时也不易获得很小的M值，不会导致无法达到理想的重构效果，亦不会计算出很大的M值，避免造成不必要的运算过程。经多次试验发现，以N/10为限定最小值的参数不仅合理，还可以在保证较好重构效果的同时节省一定的运算时间。

在处理强噪声信号时，奇异谱分解获得的模态分量的频谱可能会跨越期待的频段边界，产生能量泄漏，不仅影响后续提取过程，而且影响故障诊断效果。在此，通过仿真信号展示优化奇异谱分解的优势。

s=sc+η，

(8)

sc=1.2[sin(50πt)+0.8sin(100πt)]·

sin(1 600πt)+sin(1 600πt)，

式中：sc为仿真信号，采样频率fs=4 096 Hz，采样点数N=1 024；η为噪声，信噪比为-8 dB，能量集中在800 Hz附近。

仿真信号sc、加噪信号s及其频谱如图2所示。由于信号中包含了强噪声，从时域波形上无法分辨仿真信号的类型与特征；频谱中800 Hz处峰值较大的频段包含了sc中的绝大部分能量。优化奇异谱分解的目的是提取该频段能量并减少能量泄漏，使最终获得的分量中包含更少的噪声。

图2 仿真信号、加噪信号及其频谱

分别采用奇异谱分解与优化奇异谱分解处理加噪信号s，结果如图3所示，频谱分割为9个频段，蓝色虚线为划分的各频段的边界。迭代过程中各奇异谱分量(Singular Spectrum Component,SSC)的主峰频率与M值见表1。

图3 加噪信号的奇异谱分解处理结果

表1 奇异谱分解迭代过程中主峰频率及其M值

分析图3及表1可知：

1)在奇异谱分解中，SSC1，SSC3，SSC6和SSC7分量都包含一部分期待频段之外的成分。其中，SSC1与SSC3分量都包含800 Hz附近的信息，SSC6分量在左边界之外有严重的能量泄漏，这部分能量应当属于SSC7分量，出现了模态混叠现象。这种频段划分方法虽然在划分频段时避免了模态混叠，但提取的分量却出现了与理论频带不同的情况。同时，SSC1，SSC3，SSC6,SSC7分量对应的嵌入维数分别为6，4，3,4，较小的M值导致了不合适的重构分量。另外，SSC4和SSC9分量处于频率较高的范围，其频谱几乎都位于期待频段内，二者的嵌入维数均为341，由M=N/3计算获得。

2)优化奇异谱分解获得的9个分量的能量均集中于期待频段内，几乎没有能量泄漏。迭代过程中的M值相对较大，且不存在相同的M值，基于(7)式获得的M值不仅增加了构造矩阵的灵活性，也增强了矩阵与频段内信息的契合度，能量泄漏与模态混叠现象得到明显抑制。优化奇异谱分解采用了基于顺序统计滤波器的频谱分割法划分频谱来获得主峰频段[11]，避免了奇异谱分解可能出现预设频段交叉的问题。

无论是奇异谱分解还是优化奇异谱分解，800 Hz处的分量都作为第1个分量进行提取，2种方法所得SSC1分量的波形如图4所示：奇异谱分解所得SCC1分量中的噪声较大，难以发现原信号中的调制特征；优化奇异谱分解所得SCC1分量中虽然也包含噪声，但可以明显看出与原信号相同的周期性波峰。为量化优化奇异谱分解的优势，计算了2种方法所得SSC1分量的信噪比。奇异谱分解所得SCC1分量的信噪比从原始的-8 dB增至-1.903 dB，优化奇异谱分解所得SCC1分量的信噪比则增至3.591 dB，说明优化奇异谱分解在边界确定的前提下可以提取出更精确的分量。

图4 SSC1分量的时域波形

3 工程应用

采用美国凯斯西储大学轴承数据中心的轴承外圈故障数据进行验证。滚动轴承型号为SKF6203，电动机转速为1 730 r/min，外圈滚道面上人为制造的故障直径为0.534 mm，故障轴承和加速度传感器位于风扇端，采样频率fs=12 kHz。经计算，轴承外圈的故障特征频率fe为88.02 Hz。原始信号数据长度为121 351，为更贴近在线监测系统的应用，将该信号进行截断，只取其中2 048个数据，截取后信号的时域波形及其频谱、包络谱如图5所示。时域波形中无明显周期性冲击成分，包络谱中只有外圈故障特征频率，需进一步处理得到更准确的诊断结果。

图5 外圈故障轴承振动信号的时域波形、频谱与包络谱

采用SSD和OSSD分别处理该信号，获得的峭度指标最大的分量均为SSC7，即频段为[2 121，3 182] Hz的分量。SSC7分量的时域波形、频谱与包络谱如图6所示，由图可知：

图6 SSC7分量的时域波形、频谱与包络谱

1)SSD获得SSC7分量迭代过程中的嵌入维数M=4。在时域中，难以发现类似轴承外圈故障的周期性冲击成分；在频谱中，不仅高频部分存在模态混叠，2 000 Hz附近也存在能量泄漏现象，说明该分量中包含了大量噪声，另外，逐次迭代提取分量时的模态混叠也对SSC7分量造成了很大的影响，带走了处于该频段内的部分能量，导致该分量的幅值较低；在包络谱中，没有发现轴承外圈故障特征频率及其谐波，难以判断该轴承是否存在故障。

2)OSSD获得SSC7分量迭代过程中的嵌入维数M=124。时域波形中出现了明显的冲击，相邻冲击的时间差Te与外圈故障特征频率吻合，可初步判断该轴承外圈可能存在故障；该分量的频谱集中于期待频段内，几乎没有能量泄漏；在包络谱中存在轴承外圈故障特征频率及其2，3倍频，可以判定该轴承外圈存在故障。

采用快速峭度图处理外圈故障轴承振动信号，结果如图7所示：信号分为4个等级共7层，峭度最大的频段位于第4层左数第9个区域，其中心频率fc=3 187 Hz，带宽Bw=375 Hz，频带范围[3 000,3 375] Hz。该分量的时域波形中有较明显的周期性谐波，但并非冲击样式，包络谱中只有外圈故障特征频率的幅值较为突出，同时存在其他频率成分的干扰，提取效果并不理想。

图7 外圈故障轴承振动信号的快速峭度图处理结果

综上分析可知，优化奇异谱分解方法能够使重构分量的频谱与划分的频段基本吻合，达到较高的分解质量并抑制模态混叠和能量泄漏现象，提高强噪声背景下滚动轴承故障信号的处理效果。

4 结束语

提出了一种优化奇异谱分解方法，用于对强噪声信号进行自适应分解，新的嵌入维数确定方法不仅提高了模态精确度，减少了分量的能量泄漏，也抑制了模态混叠现象。仿真和试验信号的分析表明优化奇异谱分解方法合理、可靠、高效，弥补了原始奇异谱分解方法的缺陷，能够有效应用于滚动轴承的故障诊断。

优化奇异谱分解方法适用于噪声较强的滚动轴承振动信号处理，能够得到较为清晰的故障特征信息，但奇异谱分解时仍需要进行大量的矩阵运算，如何优化该算法的分解过程以适用于长数据的分析是下一步的研究方向。