借问考生错何处，题意暗指素养故

周颖颖

摘要：本文通过错例示范法，研究立体图形中的最短路径问题，分析学生产生错误的本质原因，从而启发教师在平时教学过程中，从五个方面重视学生数学学科素养的培养.

关键词：错例示范;最短路径;数学素养;

原题呈现与试题分析

【原题呈现】

在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4πcm，在图②所示的圆锥的侧面展开图画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.

图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成，O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上. 设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为_______（用含h，l的代数式表示）.

②设的长为a，点B在母线OC上，OB=b，圓柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

【试题分析】

本题是立体图形表面爬行的最短路径问题，需要学生将立体图形转化成平面图形，第一问也正是为这一点做好铺垫：将立体图形展开成平面图形，继而在平面图形上找到最短路径. 第二问是在组合的立体图形表面找最短路径，难点是将立体图形展开成平面图形，这里需要学生具有类比联想的能力：圆锥的平面展开图是一个扇形和一个圆，它们通过一个点连接，从而可以类比出本题的组合图形的平面展开图.而且还考察了学生的临界思想：展开后找最短路径转化成两条线段的和的最小值，当三点共线时最小.本题对学生的综合能力要求高，考察了学生的转化思想、化归思想以及临界思想.

二、解法与思路分析

解（1）如图①，AB即为最短路径.

（2）①h+l

②如图②，AB即为最短路径.

求最短路径的长的思路如下：

设切点为E，作AF⊥EC，连接OE，作BG⊥OE.

第一步，设EF=x，则=EC=a-x，于是∠EOC=              .

第二步，解Rt∆OBG可得BG=b·cos∠EOC ，OG=b·sin∠EOC ，

于是EG=l-b·cos∠EOC

第三步，由ΔAEF∽ΔEBG得，可求出x的值.

第四步，根据勾股定理求出AE和BE，则最短路径的长为AB=AE+BE.

特别地，若点B在O或者C处，易得最短路径长.

三、典型错例与错误分析

错例分析：有走直线的意识，但对组合图形中的圆锥展开图不清楚，平面展开图不会处理.

错例分析：有走直线的意识，但对组合图形的平面展开图不会处理.

错例分析：有走直线意识，掌握了圆锥与圆柱的展开图，但没有动态意识，认为两个图形只能靠C点连接.

错例分析：有走直线意识，掌握了圆锥与圆柱的展开图，有动态问题中的临界意识，但对B点的位置认识不准。没有意识到点C在扇形上的位置。

错误分析：有走直线意识，掌握了圆锥与圆柱的展开图，有动态问题中的临界意识，没有意识到点C在扇形上与点E构成的弧长等于EC.

四、教学启示

（一）在几何教学中，培养学生“降维式”思维方式

初中生更擅长解决平面几何问题，该题的难点是给出的图形是由圆柱与圆锥组成的立体几何问题.如何把蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的立体几何问题，转化为平面几何问题，是一大难点.大多数学生均能想到将立体几何展开，可这道题与以往的立体几何平面展开图不同：圆柱和圆锥的展开图如何合成一个图.这需要借鉴立体图形的平面展开图获得的经验产生联想.

（二）经历由“静”到“动”的思维过程，培养学生化归与转化的数学思想

在几何问题中，很多看似静态的问题，在尝试、分析、挖掘题目后其实本质是一个动态问题.如本题：圆锥的展开图扇形与圆柱的展开图矩形是通过一个点来连接的，这个点是任意的，这就相当于可以将扇形在矩形上滚动，是一个动态问题，在这个动态问题中找出最值.在平时的教学中，碰到此类问题，要鼓励学生去挖掘、去分析、去化归，以获取这类经验.

（三）利用最近发展域，培养学生类比猜想能力

两点之间线段最短，学生对这个结论是比较熟悉的。本题问的是蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，学生根据经验，猜想：线段最短，进而会去寻求何时为线段，从而想到使得点A，E，B在一条直线上时.至于猜想正确与否，题目中并没有要求证明，因为要用到高中的导数知识.“猜想——验证”是数学学习的重要方法，有时候猜想比验证更重要，如果在平时的教学过程中，有意识地利用学生已有的知识，引导其进行类比猜想，那初中生的猜想能力以及创新能力均能得到有效地发展，为后期的学习打下坚实的基础.

（四）强化临界意识，培养学生特殊与一般的数学思想

在教学中，学生面对一些“动态型”的应用问题常常会束手无策.如果能想象问题的动态情景，寻找临界条件，问题就能迎刃而解.比如本文中研究的这道题，求蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，就是一个动态问题.最终把其转化为：当点A，E，B在一条直线上时最短，此时点E的位置就是一个临界点.在教学的过程中，鼓励学生由一些特殊的情况进行大胆的猜想，再尝试用严格的数学方法进而论证一般情况，培养学生特殊与一般的数学思想，进而培养学生敢于质疑，勇于创新的科学品质.

（五）在日常教学与解题教学中，注重分析的过程，有大局观

平时解题过程中，学生倾向于想到一步，就求解一步，以“量”的形式解题，缺乏对题目的定性认识：这可求吗？为什么可求？要想提高学生的定性认识，我们在平时的教学中要有意识地去让学生定性的分析求解的过程，有哪些条件可求什么，进而可求什么，这样的分析方式;在代数教学时渗透各个公式中有几个未知量，知道其中几个量其余几个量就可求的思想;在几何教学中渗透“确定即可求”的思想：如三角形的两边及其夹角确定，三角形也随之确定，进而三角形的其他基本元素也是确定的，可求解的等等.