由“分数乘法（三）”的教学谈几种数学思想的渗透

刘万兴

[摘 要]数学思想是人们对数学理论与内容的本质认识，它揭示了数学知识中普遍存在的规律，在小学数学课堂教学中，必须渗透数学思想。在教学中渗透数学思想，也体现了现代数学教育观和数学素养的新内涵，对提高学生创新思维能力和核心素养具有相当重要的作用和意义。结合北师大2011课标版小学数学五年级下册“分数乘法（三）”的课堂教学，通过实例阐述极限思想等5种数学思想的渗透。

[关键词]数学思想;数形结合;建模;极限;化归;数学文化

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）11-0096-03

中小学数学课程在提升学生核心素养、促进学生全面发展方面有着其他学科不可替代的重要作用，是学校课程教育的重要组成部分。小学数学课堂教学不仅要让学生掌握当代生活和课内外学习中不可或缺的数学知识和数学技能，还要注意培养学生数学思维能力和科学创新能力。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课程标准”）中指出，数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。学习数学，不仅要学习数学的结果，还要学习数学结果形成过程所蕴含的数学思想方法。这就要求教师必须在数学课堂教学和日常数学活动中不断地渗透数学思想。

一般来说，数学思想就是指人们对数学的相关理论与内容在本质方面的认识和看法，是从一些比较具体的数学认识过程当中提炼出来的观点。这些观点在很大程度上揭示了数学在发展过程中较为普遍的一些规律，直接支配着人们在数学方面的实践活动。就当下数学界的观点来说，数学思想包含函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想、归纳推理思想、极限思想等。此外，数学文化作为数学发展中的重要组成部分，也应该作为一种数学思想，值得师生引起重视。

在教学中渗透数学思想，也体现了现代数学教育观和数学素养的新内涵，对不断提高学生创新思维能力和核心素养具有相当重要的作用和意义。这里结合北师大2011课标版小学数学五年级下册“分数乘法（三）”的课堂教学，谈一谈极限思想、数形结合思想、化归思想、模型思想和数学文化思想等5种数学思想在小学数学课堂教学中的渗透策略。

一、在课堂教学中渗透极限思想

极限思想是在长期的社会实践中产生的。要溯源的话，较早的文献可以追溯到战国时期著名思想家庄子的《逍遥游》一文和《天下》一文。 “上下四方有極乎”“无极之外，复无极也”是庄子在宏观上对极限思维进行的阐述。魏晋南北朝时期的著名数学家刘徽的割圆术，其实也蕴含着极限思想，不过是建立在直观基础上的。极限思想在数学中是不可或缺的，在小学阶段渗透极限思想，对学生后续的数学发展有着非常重要的作用。

在执教“分数乘法（三）”的过程中，笔者引用《天下》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”创设数学情境，让学生理解这段话的意思，然后用纸条代替棰，提出问题：每次拿走纸条的一半，剩下的部分占这张纸条的几分之几呢？学生通过思考分析，掌握了[12]的[12]可以列式为[12]×[12]，了解了剩下部分占整体的几分之几。分子为1，分母越大，则分数越接近0，但永远也不会为0，，这说明纸条理论上是永远也拿不完的，让学生初步感受和体会极限思想。

类似的例子在小学数学教学中还有很多，比如“圆的面积”教学中，把圆形纸片对折后剪开，然后再沿半径方向等分，分的份数越多，拼起来的图形就越接近长方形，从而推导出圆的面积公式。还有循环小数的教学、梯形面积公式的推导等例子。

小学生一般比较擅长形象思维，但随着年龄增长，他们的思维方式也会不断提升和转换，因此教师在课堂中也引入极限思想，从形象思维过渡到抽象思维，让学生用极限思想去观察现实问题、思考和理解现实问题、解决现实问题，从而提高数学思维能力，提升数学理解能力、数学核心素养和综合能力，为将来进一步学习数学做好铺垫。

二、在课堂教学中渗透数形结合思想

数与形作为数学的研究对象由来已久，作为现代数学中最基本的研究对象，它们是紧密联系的。我们通常把这个联系叫作数形结合。通常在数学中加上一定条件就可以实现数与形的相互转化。

数与形反映了数学中的事物在两个方面不同而又有联系的属性。数形结合在日常教学中一般有两种情况，一种是借助数学图形来研究数量关系，另一种是借助数量关系来研究图形特征。概括起来，就是我们常讲的把抽象思维和形象思维有机结合起来，把复杂的问题变得简单，把抽象的问题变得具体，以简单的问题和具体的问题为基础，从而达到优化解题过程的目的。

在“分数乘法（三）”一课的教学过程中，笔者首先让学生理解“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话，并出示图1。

通过纸条展示数学中的形，让学生逐步理解1的[12]，[12]的[12]，[14]的[12]……引导学生在数形结合中逐步掌握“求一个数的几分之几用乘法计算”和“分数单位乘分数单位的分数乘法”。

其次，在教学[34]×[14]时，笔者出示面积模型，让学生通过折一折、涂一涂、说一说，直观了解[34]×[14]是多少，如图2。

先将单位“1”平均分成4份，涂出其中的3份，表示[34]。在此基础上再将每1份平均分成4份，每个涂色部分分成的4份中取1份，表示每个涂色部分的[14]，也就是[34]的[14]。从图上可以直观地看出[34]×[14]=[316]。

再次，笔者引导学生探究分数乘法。4×4=16，表示单位“1”被平均分成16份，也就是分母乘分母，深色部分表示3个1，也就是分子乘分子，引出[3×14×4 ]这个关键步骤，为下一步总结分数乘分数的计算方法做好铺垫。这样一来，学生通过直观的形，看到了具体的数，通过数形结合明白了分数乘分数的算理，突破了这节课的难点。

在小学数学教学中，教师要学会充分利用图形形象、直观、便于分析这三个优点，把数与形紧密结合起来，让学生快速、准确地解决数学问题。

三、渗透化归思想

课堂上，学生动手折的过程中还出现了如图3所示的情况：

这个图形其实先是将单位“1”平均分成4份，取其中的3份，也就是单位“1”的[34]，然后把3份中的每1份又平均分成4份，其中的1份就是[14] 的[14，]即每一份深色部分占单位“1”的[116] ，一共有3个[116]，也就是[316] ，从而引出[14] ×[14] ×3，涉及分數单位乘分数单位的分数乘法。新的分数乘分数的知识通过这样的分解，巧妙地转化成了已经学过的分数乘整数的计算。

这就是常说的转化思想。研究和解决数学问题常常就是将数学问题通过某种变换和转化，把复杂的数学问题转化成相对简单的数学问题，把比较难解决的数学问题转化成相对容易的数学问题，把还没有解决或还没有学过的数学问题转化成已经解决或已经学过的数学问题。前面提到数与形的相互转化和后面将要提到的实际问题与数学模型的相互转化，都是这种思想在教学中的体现。

鸡兔同笼问题中假设兔子抬起两只前爪或者鸡将翅膀尖着地，平行四边形的面积、梯形的面积、三角形的面积计算公式的推导等都是经典例子。在教学中不断变更问题，先对已知成分进行变形，转化成已经学习或掌握的熟悉内容进行研究，都是化归思想在小学数学教学中的具体体现。化归作为一种重要的数学思想，是学生学习数学的过程中最基本的思维策略和有效的思维方式。在小学数学教学中培养学生运化归思想来思考问题和解决问题，不但能够巩固旧知识，促进对新知识的理解和掌握，而且对提高学生思考和解决问题的水平、提升学生自信心有着非常重要的作用。

四、渗透模型思想

一般来说，人们描述一个实际现象的时候，为了让描述具有科学性、逻辑性、客观性和可重复性，就会选用一种大家都觉得比较严谨的语言，这种语言也包括数学语言。数学语言当中，针对或参照某种事物的特征或数量关系，近似地表达出数学结构，就是我们所说的数学模型。通常，数学模型的建立是有一定要求的，在建模的过程中，我们要学会将一个现实的问题经过大脑的分析，转化成一个数学问题，再选用合适的数学思维方法去解决。这不但是一种思考问题的方法，而且是一种运用数学语言的方法，经历抽象、简化从而建立能解决实际数学问题和现实问题的一种非常有效的手段。

对小学数学教学和学习来说，建立数学模型的过程，其实就是一个数学化的过程。在本课小结时，笔者出示《九章算术》的相关材料，说明分数乘法运算在中国古代著作《九章算术》中有记载，其法则是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”，用现代文翻译过来就是“分母相乘作积的分母，分子相乘作积的分子”。然后，笔者出示[ba]×[dc]，引导学生建立[ba]×[dc=b×da×c]=[bdac]（a、c均不等于0）这样一个数学模型，从而使分数乘分数的计算法则“两个分数相乘，分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母”上升到数学模型的高度。这样能够帮助学生初步形成建模意识，形成模型思想，提高他们对数学以及与数学相关的其他学科的兴趣和应用意识。

五、渗透数学文化思想

“分数乘法（三）”一课的教学中，既渗透了《庄子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，又引入了《九章算术》中关于分数乘分数的计算方法。在课堂教学中，将教学内容与中国几千年来优秀的数学和哲学思想结合起来，让优秀的中华传统文化得到充分的发扬，从而让学生感悟中国丰富的传统文化，让学生的数学文化素养得到有效提升。

当然，在小学数学课堂教学中，教师一定要精心设计教学方案，把握机会对学生进行数学文化的渗透，努力让学生在数学学习的过程中切实感受到数学文化的魅力，对数学文化产生认同和共鸣，体会数学的独特文化品位，体察到其他社会文化和数学文化之间的互动，增强对数学的兴趣，提升综合能力。

六、结语

数学思想和我们一般所说的数学概念和解题技能是不同的，数学技能一般通过一定时间的训练就能够掌握，但是数学思想需要教师在教学中长期渗透才能够形成。培养学生的思维能力是数学教学的核心目标之一，在日常教学中不断地渗透数学思想不仅可以锻炼学生的思维能力，还可以提高学生观察、理解和解决现实中的问题的能力。

教师要不断加强理论修养，不断引入源头活水，在课堂中渗透数学思想，用数学这门学科具有的魅力引导学生逐步走上数学学习、数学研究的道路，使学生在潜移默化中日积月累，通过提升数学素养达到学好数学的目的，让学生即使忘却了学习的数学知识，还能用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去观察、理解、解决现实中的问题。

【本文系甘肃省定西市“十四五”规划课题“基于核心素养下的数学有效课堂教学策略研究”的阶段性成果（课题编号：DX[2021]GHB0332）。】

（责编 杨偲培）