Frobenius扩张上的投射余可解Gorenstein平坦模①

2022-07-09 07:35高娜娜杨刚
关键词:结论命题定义

高娜娜, 杨刚

兰州交通大学 数理学院, 兰州 730070

文献[1]在研究交换Noether环上的有限生成模的概念时, 引入了G-维数为0的模, 并由此给出了Gorenstein局部环的等价刻画. 受文献[1]思想的启发, 文献[2]引入了任意环上的Gorenstein投射模、 Gorenstein内射模和Gorenstein平坦模的概念. 之后许多学者对这3类模做了深入研究和推广. 文献[3]证明了在任意环R上, Gorenstein投射(Gorenstein内射)模类是投射(内射)可解类, 在凝聚环R上, Gorenstein平坦模类是投射可解类, 并由此进一步研究了Gorenstein投射、 Gorenstein内射和Gorenstein平坦维数. 为了研究所有Gorenstein投射模都是Gorenstein平坦模, 文献[4]引入了投射余可解Gorenstein平坦模的概念.

环与模的扩张是环与模范畴中的主要研究内容. Frobenius扩张作为一种特殊的环扩张首先由文献[5]引入. 之后, 文献[6-7]对Frobenius扩张进行了进一步的研究. 文献[8]研究了Frobenius扩张上Gorenstein投射模的性质. 受此启发, 本文主要讨论Frobenius扩张上投射余可解Gorenstein平坦模的性质.

本文中R均指有单位元的结合环. 除非特别声明, 本文中的R-模均指左R-模. P (R)表示投射模类.

1 投射余可解Gorenstein平坦模

定义1[4]如果存在投射R-模的正合列

使得

且对任意内射Rop-模I, 有I⊗RP正合, 则称R-模M是投射余可解Gorenstein平坦模.

以下将投射余可解Gorenstein平坦模简记为PGF模, 以PGF(R)表示投射余可解Gorenstein平坦模类.

引理1[3]如果P (R)⊆X, 且对任意短正合列

其中X″∈X, 则X′∈X当且仅当X∈X, 称X是投射可解类.

引理2[1,4]投射余可解Gorenstein平坦模类关于直和、 直和项、 扩张封闭. 投射余可解Gorenstein平坦模类是投射可解类.

命题1若M是投射余可解Gorenstein平坦模, 则存在正合列

其中P是投射R-模,G是投射余可解Gorenstein平坦模.

证由投射余可解Gorenstein平坦模的定义可得.

定义2[9]如果下列等价条件之一成立:

(a) 函子A⊗R-和HomR(A, -)是自然等价的;

(b) 函子- ⊗RA和HomRop(A, -)是自然等价的;

(c)RA是有限生成投射模, 并且AAR≅(RAA)*=HomR(RAA,R);

(d)AR是有限生成投射模, 并且RAA≅(AAR)*=HomRop(AAR,R);

则称环扩张R⊂A是Frobenius扩张.

以下关于Frobenius扩张的例子参见文献[9].

例1(i)对有限群G, Z⊂ZG是Frobenius扩张;

(ii) 设H是群G的子群, 并且H在G中具有有限的指标n, 其左陪集代表系为g1=e,g2,…,gn,Z是整数环,A=Z[G]是整群代数,R=Z[H]是A=Z[G]的子代数, 则R⊂A是Frobenius扩张.

引理3[10]设环扩张R⊂A是Frobenius扩张,M是A-模. 则:

(i) 若M是投射A-模, 则M是投射R-模;

(ii) 若M是内射A-模, 则M是内射R-模;

(iii) 若M是投射R-模, 则A⊗RM是投射A-模.

对于投射余可解Gorenstein平坦模, 我们有如下结论:

命题2设环扩张R⊂A是Frobenius扩张,M是A-模. 若M是PGFA-模, 则M是PGFR-模.

证设M是PGFA-模. 则存在投射A-模的正合列

使得

且对任意内射Rop-模I, 有I⊗RP正合. 注意到Pi是投射A-模, 则Pi是投射R-模, 故P也是投射R-模的正合列.

令I是内射Rop-模. 则I⊗RA≅HomRop(A,I)是内射右A-模, 故有HomRop(A,I) ⊗AP正合. 由

I⊗RP≅(I⊗RA)⊗AP≅HomRop(A,I)⊗AP

有I⊗RP正合. 因此,M是PGFR-模.

命题3设环扩张R⊂A是Frobenius扩张,M是R-模. 则M是PGFR-模当且仅当A⊗RM(HomR(A,M))是PGFA-模.

证充分性 设A⊗RM是PGFA-模. 由命题2知A⊗RM是PGFR-模. 注意到RM是A⊗RM的直和项, 因此M是PGFR-模.

必要性 若M是PGFR-模, 则存在投射R-模的正合列

使得

且对任意内射Rop-模I, 有I⊗RP正合. 因为Pi是投射R-模, 所以A⊗RPi是投射A-模. 因此,A⊗RP是投射A-模的正合列, 且

设I是内射右A-模. 则由引理3知,I是内射Rop-模. 又由

I⊗RP≅(I⊗AA) ⊗RP≅I⊗A(A⊗RP)

易得I⊗A(A⊗RP)正合. 故A⊗RM是PGFA-模.

2 投射余可解Gorenstein平坦维数

定义3定义R-模M的投射余可解Gorenstein平坦维数记为PGfdRM,

其中Pi∈PGF(R)}

若不存在正合序列

其中Pi∈PGF(R), 则记PGfdRM=∞.

引理4令M是R-模, 则以下结论等价:

(i)PGfdRM≤n;

证注意到投射余可解Gorenstein平坦模类是投射可解类, 类似于文献[3]的命题2.7, 引理4可证.

以下结论类似于文献[3]的命题2.19:

引理5设R是环, {Mi}i∈I是一簇R-模. 则PGfdR(⨁i∈IMi)=sup{PGfdRMi:i∈I}.

证由投射余可解Gorenstein平坦模类关于直和封闭, 显然

PGfdR(⨁i∈IMi)≤sup{PGfdRMi:i∈I}

要证

PGfdR(⨁i∈IMi)≥sup{PGfdRMi:i∈I}

只要证: 若Mi是M的直和项, 则

PGfdRMi≤PGfdRM

当PGfdRM=∞时, 结论显然成立. 设

PGfdRM=n<∞

由归纳假设, 当n=0时, 由PGF(R)关于直和项封闭, 若M是PGFR-模, 则Mi是PGFR-模, 故PGfdRMi= 0. 假设当PGfdRM=n-1时成立, 即

PGfdRMi≤n-1=PGfdRM

下证结论对n成立. 设M=M1⨁M2, 并且PGfdRM=n, 取M1,M2的投射分解, 有正合列

其中P1,P2是投射模, 做直和

其中P1⨁P2是投射R-模, 故

PGfdR(K1⨁K2)=PGfdRM-1=n-1

由假设知

PGfdRKi≤n-1

PGfdRMi≤n=PGfdRM

结论得证.

证设

分别是M′和M″的投射分解. 由马掌引理有以下行和列正合的交换图:

如果记

那么由以上交换图可得序列

正合, 其中

若PGfdRM″<∞,PGfdRM<∞. 不妨设PGfdRM″≤m, 且PGfdRM≤m. 则由引理4知,Km和K″m均是投射余可解Gorenstein平坦模. 从而由正合序列

可得K′m是投射余可解Gorenstein平坦模. 由引理4知,PGfdRM′≤m.

若PGfdRM′<∞,PGfdRM″<∞. 不妨设PGfdRM′≤m, 且PGfdRM″≤m. 则由引理4知,K′m和K″m均是投射余可解Gorenstein平坦模. 从而由正合序列

可得Km是投射余可解Gorenstein平坦模. 由引理4知,PGfdRM≤m.

若PGfdRM′<∞,PGfdRM<∞. 不妨设PGfdRM′≤m, 且PGfdRM≤m. 则由引理4知,K′m和Km均是投射余可解Gorenstein平坦模. 从而由正合序列

可得PGfdRKm≤1. 由引理4知,PGfdRM≤m+1.

综上所述, 命题4得证.

命题5设环扩张R⊂A是Frobenius扩张,M是R-模. 则PGfdR(A⊗RM)=PGfdA(A⊗RM)=PGfdRM.

证由命题2, 有

PGfdR(A⊗RM)≤PGfdA(A⊗RM)

由命题3, 有

PGfdA(A⊗RM)≤PGfdRM

PGfdR(A⊗RM)≤PGfdA(A⊗RM)≤PGfdRM

因为RM是A⊗RM的直和项, 故由引理5得

PGfdRM≤PGfdR(A⊗RM)

即PGfdRM=PGfdR(A⊗RM), 从而有

PGfdR(A⊗RM)=PGfdA(A⊗RM)=PGfdRM

定义4[8]如果满足:

(a) 环扩张R⊂A是Frobenius扩张;

则称环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张.

以下关于可分Frobenius扩张的例子参见文献[8-9]:

例2(i) 令F是域,A=M4(F). 设R是A的子代数, 其F-基由下列幂等元和矩阵的单位元构成:e1=e11+e44,e2=e22+e33,e21,e31,e41,e42,e43, 则R⊂A是可分Frobenius扩张;

(ii) 对有限群G, Z⊂ZG是可分Frobenius扩张.

定理1设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张,M是A-模. 则M是PGFA-模当且仅当M是PGFR-模.

证必要性 由命题2可得.

充分性M是PGFR-模, 则存在R-模正合列

对任意I是A-模,I也是R-模, 有I⊗A(A⊗RP)≅I⊗RP, 故I⊗A(A⊗RP)正合, 即A⊗RM是PGFA-模. 由环扩张R⊂A是可分扩张, 有AM是A⊗RM的直和项, 因此M是PGFA-模.

命题6令环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张,M是A-模, 则PGfdAM=PGfdRM.

证由命题2, 若M是PGFA-模, 则M是PGFR-模, 故PGfdRM≤PGfdAM. 设

PGfdRM=m<∞

则存在R-模正合列

其中Gi是PGFR-模. 由命题3知,A⊗RGi是PGFA-模(i=1,2,…,m), 则存在正合列

那么PGfdA(A⊗RM)≤m. 由环扩张R⊂A是可分扩张知AM是A⊗RM的直和项, 故由引理5知

PGfdAM≤PGfdA(A⊗RM)≤PGfdRM

结论得证.

推论1设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张,M是A-模, 那么M是PGFA-模当且仅当A⊗RM(HomR(A,M))是PGFA-模.

证由命题3和定理1可得.

定义5定义R的左整体PGF维数记为lPGFD(R),

lPGFD(R)=sup{PGfdRX:X是任意左R-模}

命题7设环扩张R⊂A是可分Frobenius扩张. 则lPGFD(R)=lPGFD(A).

证对于任意左R-模M, 由命题5知

PGfdA(A⊗RM)=PGfdRM

因此有

lPGFD(R)≤lPGFD(A)

下证lPGFD(R)≥lPGFD(A). 任意A-模N, 由命题6知PGfdAN=PGfdRN. 故有

lPGFD(R)≥lPGFD(A)

综合可得

lPGFD(R)=lPGFD(A)

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