对杨学枝猜想17的证明及加强

山西省太原市第三实验中学校 (030031) 董立伟

文[1]中给出了有关不等式的22个猜想. 笔者经过研究得到猜想17的一个证明，并对这一猜想做了加强.

1 猜想17及其背景

这一猜想源于如下不等式(记作引理).

文[1]第270页给出了引理的一个证明，此处不再赘述. 以下借助于数学归纳法给出猜想17的一个证明.

2 猜想17的证明

(1)当n=1时显然成立. 当n=2时，由二元均值不等式及引理，也成立.

因此，对任意正整数k，当n=2k时，不等式成立.

综上，对任意n∈N+，原不等式成立，当且仅当a1=a2=…=an时取等号.

3 猜想17的加强

事实上，从对猜想的证明及引理出发，可以得到该猜想的一个加强.

命题中不等式的前半部分可由n元均值不等式直接得到. 以下证明不等式的后半部分.

(1)n=1时显然成立.n=2时，由引理也成立.

因此，对任意正整数k，当n=2k时，不等式成立.

由上述两个式子，得

综上，对任意n∈N+，命题成立，当且仅当a1=a2=…=an时取等号.