在几何初步知识学习过程中发展学习能力的几点思考

应佳成

(杭州市富阳区教育发展研究中心 311400)

几何基础知识是平面几何学习的起点，是第一次从数学内部研究几何图形，也是第一次学习如何对几何定理进行严格证明，是发展学生抽象、推理能力的重要内容，将对学生几何研究的方式方法产生根本性的影响．

事实上，学生在小学阶段已经对基本图形甚至对图形与图形间的关系有了一定的了解，但能力要求仅限于直观感知，对于相同的研究对象，中学阶段要如何展开研究呢？分析义务教育阶段课标不难发现，初中阶段几何基础知识教学的任务是经历“体、面、线、点”等概念的抽象过程，掌握几何图形的基本研究方式，积累研究经验，培养抽象能力、推理能力等素养[1]．对于这些基本能力的培养，笔者认为需要基于整体视角，为几何教学打好基础，需要解决好四个根本问题：教好几何基本事实、构建几何研究框架、渗透几何图形与代数表达相互表征的意识与基本方法、架构几何学习的具有一般性的研究逻辑，培育好几何学习的萌芽，让学生持续的学习能力得到发展．

1 教好基本事实，发展抽象能力

在几何基础知识学习阶段，集中涉及到几何内容的大部分基本事实，我们知道，初中阶段的几何学习是以基本事实为前提，在借助几何直观理解几何基本事实的基础上，从几何基本事实出发推导图形的性质和定理，培养学生几何直观、逻辑推理、理性思维和分析解决问题的能力．但是一线教学中，基本事实的教学并没有得到应有的重视，如何教好基本事实是本文阐述的第一个问题．

1.1 验证基本事实成立

比如初中阶段的第一个基本事实“两点确定一条直线”，作为几何学习阶段第一条基本事实，它的验证方式对今后的几何教学起到方向性的作用，首先需要解决的是该如何验证这条基本事实的正确性，在实际教学中老师们往往采取两种方式，一种是直观感知，但是这样的验证方式与小学并无差异，另一种是“敲钉子钉木条”等实际验证的方式，这样的方式不但有“应用基本事实”之嫌，更是没有脱离实际背景，没有抽象到数学内部．该如何用数学的方法呢？可以采取“画一画”等方法，引导学生思考“要确定一条直线，最少需要几个点？经过一个点能否确定一条直线？”，显然过一个点无法确定直线的方向，可以做出无数条直线，直线的确定受方向的控制．因此考虑通过增加点的个数来确定直线，可以发现增加一个点就能够做出唯一的直线，并且无需继续增加点的个数，在这一探究过程中，发现增加的点的作用是关键．

1.2 挖掘基本事实内涵

其次，要重视对基本事实内涵的挖掘，比如“两点确定一条直线”，内部蕴含的“方向”：在确定一条直线的过程中，两个点各有作用，如果将一个点视作确定位置，那么另一个点的作用就是确定方向，这其中不但可以得出“点(位置)+方向两个要素可以确定直线段”这一重要结论，更能说明作为直线的部分，射线和线段也有方向，直线和线段都有两个方向，但是射线仅有一个方向．

“两点确定一条直线”内还蕴含着“差异” ：点是位置的抽象化，由于位置存在差异，不同的点表示不同的位置，因此，连接两点的直线刻画了位置差异．在几何基础知识学习初始阶段，对位置、位置差异、差异大小的刻画是自然而然的需要，正是差异决定了方向．基于认知的角度看教学，理解差异的存在不困难，如何在差异和方向之间建立联系是关键，这需要设计具体的、可操作的情境引发认知冲突，帮助学生体验方向的存在，理解方向对刻画差异的关键意义．

2 构建研究框架，发展推理能力

从整体视角看，在数学学习中，每当接触一个新的研究对象，都要为其构建起研究框架，在这样的研究框架的指导下展开学习，几何学习作为初中数学学习的四大领域之一，几何基础知识是第一次真正意义上对几何对象展开系统的学习，作为第一次从数学内部展开研究的几何知识，学习方式的培养、学习思路的构建、整体视角的形成至关重要，也要为学生构建出几何学习方式，这是本文阐述的第二个根本问题．

基本事实是几何研究的根基，基于基本事实、结合几何直观构建研究框架是几何教学中需要解决好的问题．“线”是中学里第一个系统研究的基本图形，在线的学习中，教师需要关注对学生能力的要求有别于小学的直观感知，需要学习和使用符号表示线，理解“一条直线a上的两点A和B，这一对点A和B所成的点组叫做线段”[4]，理解作为数学的几何学研究的是更高的抽象，直线是进一步抽象的结果，射线和线段是直线上的部分，直线与射线、线段间是整体与部分的关系，确定出线的最优学习逻辑是：直线——射线——线段，让学生感受初中几何是基于知识逻辑的学习．

在构建出概念之后，作为数学对象，自然构建出“概念(定义、表示、分类)——性质(大小)——运算——特例”的学习框架，并在此基础上用好类比、迁移等方式，构建出“角”的学习路径，理解“角”的学习逻辑与“线”的学习逻辑保持高度一致，在教学中帮助学生体会到这种一致性，使学生对单元内容有整体把握，而非碎片化、散点式的学习．

将视角再提升一个维度，从知识领域看，在几何学习之前，学生已经有了代数研究的基础，形成了代数研究逻辑：“概念(定义、表示、分类)——性质(大小)——运算——特殊”，容易发现，几何基础知识的研究逻辑与代数的研究逻辑具有高度一致性，这样的认识有助于学生跨越知识领域形成数学整体观念，形成研究问题的框架意识，这样的整体观一旦形成，对学生思维方式将产生积极深远的影响，会在其它问题的学习中想办法去厘清内容框架结构，随着解决问题的经验不断积累，对思维产生的影响会不断叠加．

3 图形与代数相互表征，发展模型意识

从现代数学的发展趋势看，数学的研究越来越重视数形结合，教学中越来越倾向于用代数的方法研究几何问题．《普通高中数学课程标准(2017年版)》也显示了这种倾向，并且秉承了这样的理念：通过几何建立直观，通过代数予以表达．逻辑连贯地进行几何基础教学，重视将能力培养落实到课堂教学中，是培养学生数学素养和学习能力的根本途径，也是几何基础教学中需要精心呵护的思维萌芽，是需要处理好的第三个根本问题．

3.1 度量是几何图形与代数表达的根本

前文提到，两点之间存在差异，这样的差异如何表示？叠合的方法只能比较出相对大小，这是度量的雏形，但是需要有统一的标准能够对所有的线段加以比较，这样就自然而然产生了问题：如何数量化表示出差异的大小．从学生认知的角度看，利用刻度尺、量角器等工具“量出”线段的“长短”和角的“大小”是最直接的反应，但是工具背后是对“度量”的理解，“以线量线”是对线段与线段进行大小比较的基本原理，“以角量角”是对角与角进行大小比较的基本原理．在实际教学中，“叠合”是体验这一基本原理的关键内容，用叠合的方法可以比较大小、可以“复制”一个基本图形，这是体验“度量”的意义的关键环节．有了统一的标准，所有的线段和角也就有了“大小”．线段的长度和角的度数都是将差异大小数量化的结果，数量化为运算提供了基础，使得线段能够像数一样进行加减运算．将来向量可以像实数一样运算，表明代数化的过程对几何研究起到质的推动作用，而几何基础知识的学习恰恰是培养数形结合思想的萌芽阶段，需要好好把握．

3.2 数量运算是图形运算的实质

线段的长短和角的大小都与数的大小关系类似，是对图形的定量刻画，而“大小”与代数关系又密不可分．在实际教学中，在用好几何直观的同时，更要注意对图形中蕴含的代数关系的发现和表达，从具象的图形到抽象的代数关系，代数化处理几何基础知识有助于从数学整体的视角认识数学，可以加强学生对几何图形关系甚至是逻辑关系的理解，如果说数形结合的思维萌芽产生在代数(数轴学习)阶段，那么几何基础知识的学习就是加强数形结合理解水平的最佳素材．

来看线段和差的几何表征与代数表征：如果将线段a和线段b视为一维图形，线段之和仍旧是线段，其代数表征表示为两数之和a+b，在一维线段和差与两数和差之间建立起联系．如图1：

图1

图2

图3

事实上在后续学习中，经常还需要将代数公式进行几何表征，比如整式乘法与二维面积之间相互表征，仍旧可以在图形和数量之间建立关联，对于(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd这样的代数结构可以基于线段和的认识基础，逐步向面积过度：线段AB表示线段a与b的和，其长度记为a+b；线段AD表示线段c与d的和，其长度记为c+d；矩形ABCD的面积可以记为(a+b)(c+d)，巧妙实现图形与代数式的相互表征，如图4：

图4

初三阶段将要学习的比例线段等内容蕴含着线段的乘除、乘方、开方等关系，这都是从整体上理解数学知识之间的关联，具有深刻的数学内涵．代数关系对图形结构所进行的定量刻画在解题过程中有时能够起到四两拨千斤的作用，这样的数形结合思维的培养需要渗透于几何基础知识的教学中．反之，有了这样的学习经验，将来对于一些复杂的代数式也可以用简洁的几何图示表达，变抽象为具体，尽管能用几何图形解释的代数问题相当有限，但是这样的思考方式非常有助于提升直观理解水平．

需要说明的是，几何问题代数表达的根基在于数轴，在完成“线”的学习后，有必要反观曾经学习过的数轴，其本质就是一条存在方向的直线，数轴上表示互为相反数的点与原点之间可以形成方向相反、长度相同的有向线段.任意两点之间也可形成有向线段，作为代数系统中引入的直线，其几何特征以另外的形式呈现：用绝对值表示数轴上点与原点的距离、用正负号表示方向，其本质并没有发生改变，尽管数轴学习在代数部分已经完成，但是在几何初步知识的学习过程中非常有必要重新审视，在此处加深体会．

4 逻辑连贯的研究，发展学习能力

几何教学的根本任务是培养逻辑推理能力，在对几何基础知识深刻理解的基础上，可以进一步有逻辑地研究相交线和平行线，两直线相交能形成角，但是欧氏几何中平行线间没有交点，这就需要引入一条与平行线相交的直线形成角，使得角的思考逻辑在线与线的关系的研究中得以继承，体现数学的整体性和逻辑的连贯性，这是几何基础知识教学中需要着力解决好的第四个根本问题.

4.1 分析基本图形确定研究对象

首先，教师需要几何直观让学生知道，变化过程中的不变性是几何图形的性质，而相交线与平行线的性质都需要借助“角”刻画：“相交”自然形成的角，就是相交线的研究对象．由于两条直线平行没有公共点，无法用角去表现两条平行线的性质，引导学生自然联想引入第三条截线与两条平行线相交形成角，有了角，平行线的性质就可以借助角之间的关系来表现，由此确定“三线八角”是平行线的研究对象．无论是相交线还是平行线，用“角”研究“线与线的关系”根本上是转化化归思想的体现．

4.2 逻辑连贯地探究几何对象的性质

相交线的性质表现在两条直线相交所形成的四个角的位置关系和大小关系：将一条射线从一个位置绕端点转到另一个位置存在方向的差异，反之方向也相反，因此顺时针或者逆时针将一条射线旋转到另一个位置的差异是用角来刻画的．

那么如何在“方向”的视角下研究平行线的性质呢？结合几何直观，基于两个前提，其一，需要充分用好“两直线相交”的上位知识，当任意两条直线a和b被第三条直线c所截时，会形成三线八角，相交线的性质在交点所形成的角之间得以体现；其二，需要用运动的视角来看直线a和b，两条绕着交点转动的直线a和b存在平行的一瞬间(如图5和6)，这时两直线方向相同，即它们的方向差为零，而截线c的方向是唯一确定的，因而将直线a和直线b沿着相同的方向旋转相同的度数一定能够与截线c重合，说明两直线平行，所形成的同位角相等．再辅之以相交线的性质，平行线的性质可以一气呵成顺利得出．值得一提的是基于以上思路可以继续用方向差判断两直线平行，理性且逻辑清晰．

图5

图6

通过以上分析不难发现，两直线相交或平行的位置关系都是通过角的数量关系来刻画的．而利用角的关系刻画线的关系的过程中，一以贯之地使用“方向”这一思考逻辑，使得研究过程在数学思想方法的统领下，让几何学习有逻辑可以遵循，研究方法有了灵魂．

在几何基础的学习过程中，以方向为内部逻辑去认识研究对象，对提升学生的几何研究能力和理解水平具有奠基作用，如果这一关键基础不扎实将来仅凭大量解题无法代偿．

从整体的视角看，平面几何的研究主要是源于欧氏几何，事实上在今后的几何图形的研究都是建立在该公理体系之下的，这是更为宏观的视角的逻辑连贯．

5 总结

平面几何内容在培养学生的几何直观、抽象能力、推理能力中有不可替代的作用，教学既要立足基础，也要面向将来，为学生的长远发展谋利益，因此，教师要提高教学观点，引导学生感悟数学基本思想、积累数学基本活动经验、发展理性思维、提高发现和提出问题的能力、培育学生的数学核心素养，在思维方式、逻辑能力、空间观念的培养等方面为学生的长远发展做出努力．

有研究结论表明：教师对于学生在几何的学业成就的影响大于代数，分析这个差异的原因可能与代数、几何这两个数学领域思维方式的差异有关，即不同领域的数学学习可能受到教师水平差异的影响程度不同，相对程序化的代数学习受到不同教师水平差异的影响相对较小[9]．这对数学教师的职业素养提出了更高的要求．