用裂项相消法解题

洪联平

在解题中运用裂项公式，把每一项分式用裂项变形为两个分式之差的形式， 然后相加把相同的式子抵消，可以使这类看似复杂的问题得到非常简洁的解答.用裂项相消法解题，要注意裂项后那些项抵消了，那些项没有抵消，下面举例说明.

1 常用变形公式

1.1n（n+1）=1n-1n+1;

2.1n（n+k）=1k1n-1n+k;

3.1（n-1）n（n+1）=121（n-1）n-1n（n+1）;

4.1n+n+1=n+1-n;

5.1n+n+k=1k（n+k-n）;

6.1（n+1）n+nn+1=1n-1n+1.

2 应用

例1 求和：11×2+12×3+13×4+…+12020×2021.

解 原式

=1-12+12-13+13-14+…+12020-12021

=1-12021=20202021.

例2 11+2+12+3+13+4+…+12020+2021.

解 原式=2-1+3-2+4-3+…+2021-2020=2021-1.

例3 化簡：b-c（a-b）（a-c）+c-a（b-c）（b-a）+a-b（c-a）（c-b）+2b-a-2c-a.

解 b-c（a-b）（a-c）=1a-b-1a-c，

c-a（b-c）（b-a）=1b-c-1b-a，

a-b（c-a）（c-b）=1c-a-1c-b，

原式=1a-b-1a-c+1b-c-1b-a+1c-a-1c-b+2b-a-2c-a=2b-c.

例4 解方程：x4+x8+x24+x48+…+x2020×2022=2021.

分析 解一元一次方程，去分母找最小公分母太复杂， 但若采用采用裂项法，就会使解题过程简洁.

14=121-12，

18=12×4=1212-14，

124=14×6=1214-16，

148=16×8=1216-18，

…

12020×2022=1212020-12022.

解 可以变形为

121-12+12-14+14-16+16-18+…+

12020-12022x=2021.

即121-12022x=2021，

x=4044.

例5 解方程1x（x+1）+1（x+1）（x+2）+…+1（x+2011）（x+2012）+1x+2012=2012.

分析 在解分式方程时.若按照常规思路将分式方程化为整式方程，求解麻烦且容易产生增根，若采用裂项法，就会使解题过程简单，且不会产生增根.

解 原方程可化为

1x-1x+1+1x+1-1x+2+…+1x+2011-1x+2012+1x+2012=2012，

所以x=12012.

例6 解方程：1x+1（1+2）x+1（2+3）x+…+1（2010-2011）x=12011.

解

1x1+11+2+12+3+…+12010+2011

=12011.

对括号内各无理分式的分母进行有理化，得

1+2-1+3-2+…+2011-2010

=x2011.

2011=x2011，x=2011.

例7 若某整数k满足

121+2+132+23+143+34+…+1（k+1）k+kk+1=23.

解 由

1（n+1）n+nn+1=1n-1n+1，

左=1-12+12-13+13-14+…+

1k-1k+1=1-1k+1，

原方程化简为1-1k+1=23，

解得k=8.

例8 设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212，则S最接近的整数是多少？

解 当n为整数时，有

1+1n2+1（n+1）2

=1+1n2-2n+1（n+1）2

=n+1n2-2·n+1n·1n+1+1（n+1）2

=n+1n-1n+12

=n+1n-1n+1

=1+1n-1n+1，

所以S=1+11-12+1+12-13+…+1+12020-12021

=2020+1-12021

=2021-12021，

故与S最接近的整数是2021.

例9 设S=113+123+133+…+120203+120213，则4S的整数部分是多少？

解 当n=2，3，…，2021时，

1n3<1n（n2-1）=1（n-1）n（n+1）

=121（n-1）n-1n（n+1），

所以

S<1+1211×2-12×3+12×3-13×4+…+

12020×2021-12021×2022

=1+1211×2-12021×2022<1+12×11×2

=54，

由于1<S<54，4<4S<5，

所以4S的整数部分等于4.