梯形中位线定理的推广模型

江建华

模型 如图1，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AEBE=mn，则有EF=mBC+nADm+n.

证明 如图2，过点D作DN∥AB交EF于点M，交BC于点N，则有AD=EM=BN，

因为AD∥EF∥BC，

AEBE=mn，

所以MFNC=DFDC=AEAB=mm+n，

所以MF=mm+nNC，

所以EF=EM+MF=BN+mm+nNC

=（m+n）BN+mNCm+n

=m（BN+NC）+nBNm+n

=mBC+nADm+n，

注 当m=n时，此时模型即为梯形的中位线定理EF=AD+BC2.

例1 设O为坐标原点，点A，B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB，连接AB，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）

（A）12.（B）22.（C）32.（D） 1.

解 如圖3，分别过点A，B作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，设，OE=a，OF=b，直线AB交y轴于点D，由抛物线解析式为y=x2，则有

AE=a2，BF=b2.

因为∠AOB=90°，

所以∠AOE+BOF=90°，

又∠AOE+∠EAO=90°，

所以∠BOF=∠EAO，图3

又∠AEO=∠BFO=90°，

所以△AEO∽△OFB，

所以AEOF=EOFB，

即a2b=ab2，

化简得ab=1.

由模型可得

OD=aBF+bAEa+b=ab2+a2ba+b=ab=1，

所以点D坐标为（0，1），即直线AB过定点D，

因为∠DCO=90°，DO=1，

所以点C是在以DO为直径的圆上运动，

所以当点C到y轴距离等于此圆半径12时，点C到y轴距离最大.

故选（A）.

例2 如图4，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点F的坐标;

②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M，N两点.

证明当直线l绕点F旋转时，1MF+1NF是定值，并求出该定值;

（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标.

解 （1）因为顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），

所以B（2，-1），

将点O，点A，点B坐标代入抛物线

y=ax2+bx+c，

得c=0，4a+2b+c=-1，16a+4b+c=0，

解得a=14，b=-1，c=0，

所以y=14x2-x.

（2）①设F（2，m），Gx，14x2-x，

因为G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离相等，

所以（2-x）2+m-14x2+x2

=14x2-x+22，

整理得mm-12x2+2x=0，

因为距离总相等，所以m=0，

所以F（2，0）;

②如图5，设CE=m，DE=n，MC=a，ND=b，

由题意可得

MF=MC=a，

NF=ND=b，

因为MC∥EF∥ND，

所以MFNF=CEDE，

所以ab=mn，

即an=bm，①

由模型可得

EF=an+bmm+n=2，②

将①代入②得

an+anm+n=2，bm+bmm+b=2，

即anm+n=1，bmm+n=1，

所以1a=nm+n，1b=mm+n，

所以1MF+1NF=1a+1b=nm+n+mm+n=1，

所以1MF+1NF=1是定值.

（3）如图6，作点B关于y轴的对称点B′，作点C关于x轴的对称点C′，连接B′C′交x轴，y轴分别于点P，Q，则此时四边形PQBC的周长最小，因为点C（3，m）是该抛物线y=14x2-x上的一点，

所以C3，-34，因为B（2，-1），

所以B′（-2，-1），C′3，34，

设直线B′C′的解析式为

y=kx+b，

所以-2k+b=-1，3k+b=34，

所以k=720，b=-310，

所以直线B′C′的解析为

y=720x-310，

当x=0时，y=-310;

当y=0时，x=67，

所以Q0，-310，P67，0.