函数极限的一点思考

倪梓原，丁 卫*

（南通大学理学院，江苏 南通 220019）

函数极限的相关知识在高中阶段的学习过程中就有所涉及，但大学的数学思维方式与高中存在着很大的区别，极限是其中典型的标志之一。对极限定义的理解和应用困扰着一届又一届的大学生，不仅影响了数学学习的进程，还影响了学生的学习热情。与此同时，极限的定义在大学数学分析和学习中又是极为重要的，是学习其他数学知识的基础，例如后面的导数、定积分等定义都蕴含极限在里面。因此，对于每一位大学生来说，极限的定义是必须掌握的知识，教师要将理论化的知识具象化，帮助学生更直观地理解极限的相关概念。我们先给对极限的基本定义进行分析，接着对极限的相关定理和应用进行讲解。

1 极限的基本定义

从本质上来说，极限就是指在一组函数关系中将自变量变化任意数值，相应地，因变量会产生什么样的变化。赋予自变量某种动态变化的趋势，因变量会随之无限向一个既定的数值靠近，而这个数值就是对极限的界定。具体来说，极限可以划分为数列形式和函数形式，不管是何种形式，都是极限定义的解释，但是在实际应用过程中仍然存在着不同之处，下面就先给出数列极限的定义。

上面给出的定义就是数列定义的标准型，等学生对这一定义的理解比较深入之后能够发现，在这条定义中的可以对其中有些地方做出修改，从而扩大定义的适用范围，也让定义使用起来更加方便，例如可以将“任意的”调整为“任意的”，在这里就意味着是一个任意大于0的数；“存在正整数N”也可以调整为“存在正数N”等等。总之，随着对定义理解程度的加深，就能够根据需求对定义的内容作出相应的变化和调整，进而用定义解决问题就越顺手。理解该定义的关键就在于是如何说明“正整数”的存在性，因此一个最直接的手段就是，取任意的，算出一个。

2 定理分析及应用

类似的，将柯西准则由数列极限向函数极限扩展，也证明存在函数收敛的柯西准则，这两个柯西准则通过归结原则能够得到统一。但是，大学生在大学阶段的学习过程中，态度和意识方面存在一定欠缺，尤其是对于那些刚接触极限定义不久的学生而言，要想熟练地理解、掌握这两个定理的应用技巧并将其在理论推导和实际解题中进行应用，还需要费点功夫，做大量的相关练习，毕竟本身柯西准则这种极限证明方法就具有一定代表性，证明过程也更为很复杂。受到这些因素的阻碍，将导致初学者将极限学习看成是非常困难的一件事情。为此，本文想要在极限定义和相关定理的基础上，拓展一些关于函数极限的其他知识，希望能通过对这些知识的阐述让学生能够更加深入地理解函数的定义，也为理解极限的相关概念增添更多的趣味性，让教学内容更宽泛一点，更深入一点。

值得一提的是，函数极限的相关定理及思考方式在大学数学的其他领域也能得到非常广泛的应用，是帮助学生建立数学思维方式和解题思路的重要步骤，根据实践教学了解，在高中阶段的数学学习过程中，就对极限的相关定理和思考方式有过介绍，但涉及的深度较浅，难以让学生对此形成全面认知，有必要加深对极限定理的阐述。

为此，我们在极限的定义中引入如下具体的函数条件。若定义在零点附近的函数 满足如下三个条件，则称其在零点附近满足条件，

通过本文讲述的极限定义，以及在此基础之上证明的定理，我们得到了某种可以在特殊情况下验证极限是否存在的有效方法。此方法在实际解题过程中，比其他的方法更加简便，可以快速地证明函数的极限是否存在并确定具体的极限值。不过有一定的局限性。实践证明，在大学阶段的数学学习中，本文介绍的极限证明方法和求值方法是切实可行的，并且按照这种方法和思路，能够更加快捷和准确地求出函数的极限值，提高了学生的解题速度和准确性。综合上述分析，在高等数学的学习过程中，函数极限是其他领域学习的基础知识，只有对此有了充分地掌握和了解后，才能顺利完成高等数学的学习，不仅是帮助学生应对考试和日常联系，还有助于帮助学生培养数学思维，培养对数学学习的兴趣。