一类分数阶微分方程的再生核数值方法

刘 蕊，周永芳

（河北工业大学 理学院，天津 300401）

0 引言

分数阶微分方程边值问题广泛地应用于数学、工程、化学等领域中。但是由于它的解析解很难求解，因此，其数值解研究尤为重要。学者们提出了各种数值方法求解分数阶微分方程的数值解，包括Adomian分解法[1]，有限差分法[2]，同伦分析法[3]，谱方法[4-6]等。近年来，再生核理论广泛应用于各种数学、物理和工程问题中。学者们提出了在再生核空间中求解不同分数阶微分方程的数值方法。Mohammed Al-Smadi等[7]求解了时间分数阶边值问题，将再生核空间法和迭代法相结合，在再生核Hilbert空间中提供了分数阶边值问题的近似解，并且用归纳法分析了这种方法的收敛性和稳定性。Omar Abu Arqub[8-9]考虑了在ABC分数阶导数意义下的分数阶微分方程，文献[8]利用再生核空间研究了分数阶积分微分方程的近似解，文献[9]利用再生核空间法和算子不动点理论研究了Riccati分数阶微分方程和Bernoulli分数阶微分方程的近似解，计算速度快。Hossein Beyrami 等[10]在梯度网格上研究了带有弱奇异核的分数阶积分微分方程的近似解，在再生核空间中给出了误差估计，并讨论了近似解的稳定性。Esmail Babolian等[11]在再生核空间中考虑了利用再生核空间法求解线性和非线性微分方程数值解产生的误差。ZhongChen等[12]在分数阶导数意义下的加权再生核空间中考虑带有弱奇异核的分数阶微分积分方程近似解，收敛速度快，同时计算精度高。文献[13-14]中考虑了下列分数阶微分方程边值问题的近似解：

式中：Dα为Caputo分数阶导数，1＜α≤2；a0,a1,b0,b1为常数；b(t),c(t)为充分光滑函数；f(t)为给定的函数，且

作者利用打靶法将边值问题转化为初值问题，并将方程转化为带有弱奇异核的分数阶积分方程求解方程的近似解。本文将在再生核空间中讨论这类分数阶边值问题的近似解。

1 预备知识

定义1（Riemann-Liouville分数阶积分）对于区间[0，1]上的连续函数y(t)，有

式中，Γ(·)为Gamma函数。

引理1 若K(s,t)∈C(D)，那么存在且在[0，1]区间上连续，并且有

具体的证明过程参见文献[15]中的定理2.3。

定义2（Caputo分数阶导数）对于区间[0，1]上的连续函数y(t)，有

式中，m=[α]+1，[α]为小于α的最大整数。由式（1）中1＜α≤2 知，m=2。

定义3（再生核空间）设H为Hilbert 空间，H中的元素是集合X上的复合函数，对于任意的y(t),z(t)∈H，定义内积为

若存在一个关于t的函数Rs(t)，使得对于任意的函数y(t)∈H，有

则称Hilbert空间H为再生核空间，其中函数Rs(t)为再生核空间H的再生核函数。

定义4 Hilbert空间W1[0,1]={y(t)|y(t)为绝对连续函数，y′(t)∈L2[0,1]}。

在W1[0,1]空间中，定义内积为

式中，y(t),z(t)∈W1[0,1]。范数为

在文献[16]中，得到W1[0,1]空间的再生核函数rs(t)的表达式为

定义5 Hilbert空间W2[0,1]={y(t)|y(i)(t)(i=0,1,2)为绝对连续函数，

在W2[0,1]空间中，定义内积为

式中，y(t),z(t)∈W2[0,1]。范数为

Hilbert 空间W2[0,1]为再生核空间。设Rs(t)为W2[0,1]的再生核函数，那么根据W2[0,1]空间的内积定义，可以得到如下等式：

利用分部积分，可以得到

由再生核函数Rs(t)∈W2[0,1]，Rs(t)满足W2[0,1]空间的边值条件

由y(t)∈W2[0,1]，y(t)同样满足W2[0,1]边值条件，那么

于是有再生核空间W2[0,1]的再生核函数Rs(t)所满足的条件：

再由函数的连续性以及跳跃条件，可以得到

W2[0,1]的再生核函数Rs(t)的一般形式为

式中，ci,di,i=0,1,…,4,5 由式（2）～式（4）共12个方程唯一确定。

下面引入算子L:W2[0,1]→W1[0,1]，由定义2

将方程（1）的边值条件齐次化，则方程（1）可以表示为如下算子方程：

式中，y(t)∈W2[0,1]，当y(t)∈W2[0,1]时，f(t)∈W1[0,1]。记L*为L的共轭算子。

定理1 (LRs)(i)(t)∈W2[0,1],i=0,1,2。

式中，M1,M2,M3为常数。那么就有下列不等式成立：

接下来证明(LRs)(t)满足W2[0,1]的边值条件。

综合可得，(LRs)(t)∈W2[0,1]。

由文献[16]中定理6.3知，若Rs(t)为W2[0,1]的再生核函数，那么无论是关于变量s还是关于变量t，总有函数

证明成立。

引理2 算子L:W2[0,1]→W1[0,1]为有界线性算子。

证明 显然L为线性算子。下证算子的有界性。

由再生核的性质，可以得到(Ly)(i)(t),i=0,1可以表示为

那么由Schwarz不等式可以得到

那么就有

证明成立。

那么∀i=1,2,…，有

证明成立。

式中，γij为正交化系数。

2 方程的精确解和近似解

定理2 方程（5）的精确解y(t)可以表示为

证明 根据引理5，y(t)∈W2[0,1]，有

通过对方程级数形式的精确解（6）截断，得到方程（5）的近似解为

证明成立。

3 收敛性分析和误差估计

证明 根据引理5，y(t)∈W2[0,1]，当i=0,1,2 时，有

证明成立。

式中：h=max|tj+1-tj|,j=1,2,…,n-1；a为确定的实数。

证明 取t∈[tj,tj+1]，其中j=1,2,…,n-1

那么

根据上式可以得出结论

同理可得，y(t)∈W2[0,1]，那么存在a2为常数，使得

由定理3可以得到，对于任意ε＞0，当时，有

证明成立。

4 数值算例

在这部分内容中，所有数值结果由Mathematic 11.0 计算所得。应用本文提出的算法，在[0,1]上取=1,2,…,n。由式（7）知道，方程的近似解为

对n取不同的值，求解下列分数阶微分方程边值问题的近似解。数值结果说明了算法的有效性。

例1 考虑下面分数阶微分方程边值问题的数值解

式中：t∈[0,1],α=1.1；f(t) 是使得方程的解为y(t)=-0.3t3+0.1t+1 的函数。数值结果见表1，其中en=|yn(t)-y(t) |，分别取n=10,20。

表1 算例1 数值结果Tab.1 Numerical result for Example 1

例2 考虑下面分数阶微分方程边值问题：

式中：t∈[0,1],α=1.2 ；f(t) 是使得方程的解为y(t)=-0.65t3+0.4t+3 的函数。数值结果见表2，其中en=|yn(t)-y(t) |，分别取n=10,25。

表2 算例2 数值结果Tab.2 Numerical result for Example 2

5 结论

本文主要介绍了在再生核空间中求解分数阶微分方程边值问题近似解的数值方法，利用再生核空间的良好性质获得了这类方程级数形式的精确解，通过截断方程级数形式的精确解获得了方程的近似解，并在再生核空间中证明了所提方法的收敛性，给出了误差估计。这种方法同样可以应用于其他线性分数阶微分方程数值解的求解。今后将进一步在再生核空间中研究非线性分数阶微分方程数值解法，同时提高再生核空间数值解法的精确度。