考虑热效应的局部缺陷角接触球轴承动态特性研究

雷春丽， 刘 凯， 宋瑞哲， 薛 伟， 李建华

(兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050)

数控机床是装备制造业的“工作母机”，其性能水平直接决定着国民经济工业的发展[1]。目前，我国高档数控机床与基础制造装备已经被列为《国家中长期科学和技术发展规划纲要》16个国家科技重大专项之一[2]。电主轴是数控机床的核心部件，而角接触球轴承是决定主轴寿命和承载能力的关键部件，其性能直接决定着电主轴的性能、质量和可靠性[3]。角接触球轴承长时间工作在多场耦合作用环境中，易造成疲劳剥落、点蚀甚至胶合等故障。局部缺陷作为滚动轴承故障的主要表现形式，对轴承振动性能有显著影响，在轴承高速运转时轴承易处于“高温”状态下，滚动体及其内外圈会发生热膨胀，同时缺陷形貌也会发生热变形，使描述二者间的接触关系变得更为复杂。由此可见，角接触球轴承高速运转时产生的高速效应、热效应对具有局部缺陷的角接触球轴承的动态特性有着显著影响，有必要针对这一问题展开全面探究。

近年来国内外学者对具有局部缺陷的滚动轴承做了大量深入的研究。Kong等[4]提出了一种基于赫兹接触应力分布的球轴承振动模型，预测了滚动体与缺陷区域的接触力变化，并分析了滚动体经过缺陷区域的振动响应特性。Petersen等[5]研究了具有局部缺陷的滚动轴承内部载荷分布，但他们仅仅将缺陷等效为轴向贯穿剥落。常斌全等[6]准确地分析了滚动体进出缺陷时的多事件位移变化过程，并建立了局部缺陷轴承动力学模型。刘静[7]分析了波纹度缺陷和局部剥落缺陷对滚动体与滚道表面之间接触刚度的影响规律，并基于时变位移函数，考虑了不同表面形貌特征，建立了考虑滚动体与内外滚道之间和外圈与轴承座之间相互影响的局部缺陷表面轮廓简化模型，但没有研究内部载荷分布的变化。关贞珍等[8]建立了轴承内、外圈和滚动体局部损伤故障非线性动力学模型，并进行了动力学仿真与分析。Li等[9]考虑了离心力和陀螺力矩对高速工况下滚动体受力平衡关系的影响，建立了外滚道具有局部缺陷角接触球轴承的力学模型。Liu等[10]建立了考虑自然缺陷几何特征的接触模型和缺陷滚动轴承模型，模拟了不同缺陷尺寸和工况下滚动轴承的接触载荷分布和刚度。Niu等[11]提出了一种球体含缺陷角接触球轴承动力学模型，该模型考虑了球的三维运动。Nabhan等[12]采用三维有限元模型预测了轴承滚道上有局部故障球轴承的振动。故障边缘轮廓定义为矩形函数，同时还讨论了故障区域的接触力。本课题组考虑热效应、离心效应以及弹流润滑的影响，分别建立了角接触球轴承油膜刚度和综合刚度模型，研究了不同因素对动态参数的影响规律[13-15]。但未考虑球轴承有局部缺陷的情况。本文以外圈具有局部缺陷的角接触球轴承为研究对象，考虑离心变形、热变形等影响因素，建立局部缺陷角接触球轴承拟静力学模型。研究角接触球轴承在不同因素影响下的动态特性。为轴承的优化设计提供必要的理论依据。

1 力学模型描述

1.1 轴承变形计算

1.1.1 轴承离心变形计算

当轴承高速运转时，轴承内部包括内外圈和球滚动体都受到离心力作用，产生径向离心变形。由于轴承装配原因，轴承外圈安装在轴承座孔内，因轴承外圈变形较小故将外圈离心变形忽略。内圈因离心效应所产生的径向变形量δ1为[16]

(1)

式中：ρi为轴承内圈材料密度；Ei为轴承内圈材料弹性模量；Di为内沟道直径；di为轴承内圈直径；νi为轴承内圈材料泊松比。

1.1.2 轴承热变形计算

电主轴在高速旋转时，电机损耗发热和轴承摩擦发热导致主轴和轴承温度升高，并通过热传导和热对流致使轴承内部温度逐渐升高，所以轴承各零部件产生热膨胀。根据Harris提出薄壁圆环零件热变形计算方法可以得到轴承内圈、外圈和滚动体的热变形

ui=αidiΔTi

(2)

uo=αodoΔTo

(3)

ub=αbdbΔTb

(4)

式中：ui，uo，ub分别为内圈、外圈和滚动体热变形；αi，αo，αb分别为内圈、外圈和滚动体材料的热膨胀系数；ΔTi，ΔTo，ΔTb分别为内圈、外圈和滚动体温升；di，do，db分别为内圈、外圈和滚动体的直径。

由式(2)～式(4)可知，轴承在高速运转时，由温升引起的径向变形量δ2为

δ2=ui-2ub-uo

(5)

轴承的轴向变形量主要与其配置方式有关，不同配置方式会产生不同的轴向变形量。因此，当配置方式为面对面装配时由温升而引起的轴向变形量δa为

(6)

式中：αh，αs分别为球轴承轴承座和转轴材料热膨胀系数；Lh，Ls分别为球轴承外圈与轴承座孔、转轴与球轴承内圈的有效接触长度； ΔTh，ΔTs分别为轴承座温升和转轴温升。

1.2 轴承外圈局部缺陷尺寸表征与深度计算

1.2.1 轴承外圈局部故障尺寸的表征

本文在计算轴承内部载荷分布过程中，考虑热效应和离心效应的影响，对轴承外圈局部故障尺寸表征，如图1所示。图1中：h为给定的缺陷深度；R为热膨胀后滚动体半径；r0为热膨胀后外滚道底环向半径；φfa为缺陷所在角度； Δφfa为环向缺陷跨越的角度；rb为外沟道曲率半径； Δφfc为轴向缺陷跨越的角度。

图1 轴承外圈局部故障尺寸表征Fig.1 Dimension characterization of partial fault of bearing outer ring

1.2.2 滚动体与滚道接触缺陷深度计算

建立含深度为h的矩形凹坑的缺陷模型，在实际情况中，滚动体进出缺陷区域以及滚动体-滚道接触变形释放和重新获得是一个渐变的过程[17]。因此，需要计算出滚动体与滚道的接触缺陷深度，用于描述这个渐变过程。

当保持架位于初始X位置时，第j个球体的方位角为

(7)

式中：j为第j个滚动体；ωc为保持架转速；N为滚动体个数。

图1(b)中滚动体与滚道的接触缺陷深度可以表示为

(8)

图1(c)中滚动体与滚道的接触缺陷深度可以表示为

(9)

当缺陷较长且较宽滚动体可以完全接触到缺陷底部时，滚动体与滚道的接触缺陷深度可以表示为

d(φ)3=h

(10)

结合式(7)～式(10)可以得出滚动体与滚道的接触缺陷深度

(11)

1.3 外圈缺陷球轴承拟静力学模型的建立

为保证建模的合理性，作出如下假设：①忽略保持架和密封等对轴承静力平衡的影响，轴承只受轴向力作用；②滚动体在轴承内部均匀分布，忽略滚动体奇偶数目对轴承内部载荷分布的影响，且滚动体在滚道上运动为纯滚动；③滚动体与内、外滚道接触满足Hertz接触理论；④本文研究针对轴承运转过程中产生的早期缺陷，故障尺寸不足以导致轴承失效。

角接触球轴承内圈相对外圈产生位移后，外圈滚道曲率中心、内圈滚道曲率中心和球滚动体中心三者之间的相对位移关系，如图2所示。从图2几何关系可得到

图2 轴承内部变形和位移Fig.2 Internal deformation and displacement of bearing

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2= [(fi-0.5)Db+δij]2

(12)

(13)

式中的各项参数的详细计算公式见Li等的研究。

经过对角接触轴承球滚动体进行受力分析，可得到以下方程

(14)

式中：Qij，Qoj分别为轴承内、外圈接触载荷；Fcj为球滚动体所受离心力；Mgj为陀螺力矩，其具体表达式为

(15)

(16)

为求得整个轴承轴向、径向和角变形量还需要联立求解以下方程

(17)

(18)

(19)

根据上述轴承内部受力变形以及非线性方程组，编写计算程序，采用Newton-Raphson迭代求解轴承动态特性参数，计算流程图，如图3所示。

图3 动态特性参数求解流程图Fig.3 Solution flow chart of dynamic characteristic parameters

2 考虑热效应的局部缺陷球轴承时变接触刚度计算

当滚动体经过缺陷区域时，滚动体与滚道的接触刚度发生了变化。滚动体和滚道的接触形式由滚动体与曲面的点接触，变化成为球与线的点线接触，因此滚动体与局部缺陷边缘之间的接触点数目随滚动体的角位置变化而变化[18]。考虑到实际情况下，点线接触会承受较高的接触力，使得缺陷边缘会变得较为平滑，因此接触刚度的过渡也是平滑过渡。对于正常的滚道与滚动体点接触，其载荷位移关系式为[19]

(20)

式中：Qc为接触载荷；Kp为载荷变形系数；δ为弹性变形量。

本文所计算的接触载荷均是由1.3节计算所得，对于局部缺陷处的滚动体与滚道的接触，在产生相同位移的条件下，缺陷区域的接触载荷等于滚动体与无损滚道的接触载荷减去缺陷部分所卸载的载荷。因此，缺陷区域处的接触载荷可表示为

(21)

式中的二重积分区域为缺陷部分所承受的载荷，积分区域D为

(22)

通过公式推导可得出缺陷处的接触刚度为

(23)

式中，a，b，δ分别为正常载荷Qi在无缺陷滚道上所引起的正常接触椭圆的半长、半宽和接触变形。

滚动体与外圈和内圈的接触刚度串联组成的等效接触刚度Kn，其公式表示如下

(24)

式中：Kn为等效接触刚度；Ki为滚动体与内滚道接触刚度；Kd为滚动体与具有缺陷的外滚道接触刚度。

3 结果分析

3.1 模型验证

为了验证本文拟静力学模型的准确性，开展轴承动态参数的对比验证，包括接触角以及接触载荷。轴承参数，如表1所示。轴承外载荷为Fx=889.84 N，轴承转速为15 000 r/min。对比结果，如表2所示。

表1 7011C轴承参数Tab.1 7011C bearing parameters

表2 动态参数对比验证Tab.2 Comparison and verification of dynamic parameters

由表2可知，采用本文模型得到的轴承参数与李震等的研究中的结果对比十分吻合，且误差的绝对值不超过7.6%。根据上述动态参数的对比验证，表明了本文模型的准确性。

同时，为验证本文时变刚度模型的正确性，根据文献[21]中球轴承的参数，计算当转速为1 000 r/min时的刚度值，计算所得结果与文献试验测得值进行对比，如图4所示。

图4 轴向刚度对比Fig.4 Comparison of axial stiffness

由图4可知，采用本文模型计算所得的轴承轴向刚度与Kraus等的研究中的结果相差较小，最大误差的绝对值小于9.82%，验证了本文模型的正确性。

3.2 各参数的计算分析

本节对具有局部缺陷角接触球轴承的动态特性进行研究，选取型号为H7013C作为研究对象，轴承的具体参数如表3所示。

表3 H7013C轴承参数Tab.3 H7013C bearing parameters

滚动体陷入缺陷区域的最大接触深度，如图5所示。

图5 滚动体陷入局部缺陷深度Fig.5 Depth of roller falling into local defect

由图5可知，滚动体滚入缺陷的边缘是平滑的曲线而不是直角。因此，滚动体不是直接落入缺陷底部，滚动体经过缺陷区域过程中，其接触变形的获得与释放是一个渐变的过程。当固定轴向角度为30°，改变环向角度分别为1°，2°，4°。从图5可知，滚动体进入和退出缺陷的位置角在逐渐增大，滚动体陷入缺陷的深度逐渐增大。当固定环向角度为4°，改变轴向角度为10°，20°，30°。从图5可知，滚动体陷入缺陷深度在不断增大。此外，经过对比固定轴向角度和固定环向角度所得的曲线，可得缺陷的轴向跨度角在很大程度上决定了滚动体与滚道的接触缺陷深度。

本课题组建立了电主轴热态特性仿真模型，得到轴承温升的变化规律，并通过试验验证了模型的正确性[22]。本文通过仿真模型计算得到轴承在24 000 r/min内各零件温升，进而求得轴承径向和轴向热变形量分别如图6和图7所示。

图6 球轴承各部件温升Fig.6 Temperature rise of various parts of ball bearing

图7 球轴承热变形量Fig.7 Thermal deformation of ball bearing

由图6可知，随着球轴承转速的增大，球轴承各部件的温升逐渐升高，在相同转速下外圈、滚动体和内圈温升量依次增高。

由图7可知，随着转速增大，滚动体和内、外圈的热变形量均呈增大趋势。这主要是因为随着转速增大，内圈、外圈和滚动体温升都在升高，这使其产热量增大，热膨胀使得球轴承部件变形量逐渐增大。其中外圈变化大于滚动体和内圈，这是因为外圈直径大于滚动体和内圈。

3.3 多因素对轴承动态特性参数的影响规律

3.3.1 不同因素对局部缺陷轴承内部载荷的影响

将表1数据代入求解流程图中，研究轴向、环向角度对轴承接触载荷的影响。取Fa=600 N计算出单个滚动体最大的接触载荷，如图8所示。

图8 热变形对局部缺陷轴承载荷分布的影响Fig.8 Effect of thermal deformation on load distribution of locally defective bearing

由图8可知，随着转速的增大单个滚动体所承受的最大载荷逐渐增大，考虑热变形后滚动体所受载荷大于未考虑热变形时所受载荷。因此在计算局部缺陷轴承动态参数时考虑热变形是非常有必要的。

固定环向角度改变轴向角度的单个滚动体所受最大载荷图，如图9所示。当固定环向角度为5°，轴向角度分别取10°，90°时，随着轴向角度的增大载荷都有所增大，这是因为当滚动体陷入缺陷后其所受载荷部分卸载，其他滚动体加载单个滚动体所受的最大接触载荷增大。固定环向角度为5°时，因陷入缺陷而卸载的滚动体只有一个；当轴向角度为10°时，滚动体未完全卸载还具有承载能力；当轴向角度为90°时滚动体完全卸载，失去承载能力。由此可以得出轴向角度决定滚动体陷入缺陷的深度从而影响轴承内部载荷。

图9 固定缺陷区域环向角度改变轴向角度Fig.9 Fixing the circumferential angle of defect area and changing the axial angle

固定轴向角度改变环向角度后单个滚动体所受最大载荷，如图10所示。由图10可知，随着转速的逐渐增大，当固定轴向角度为90°，环向角度分别取5°，45°时，随着环向角度的增大载荷都有所增大。这是因为当滚动体陷入缺陷后其所受载荷卸载，滚动体完全空载，其他滚动体所受的接触载荷就增大。当缺陷环向角度只有5°时，缺陷处可容纳的滚动体至多一个，而随着缺陷处环向角度的增大其可容纳的滚动体数量也在增加。当缺陷的环向角度为45°时，缺陷处可容纳的滚动体至少有一个至多有两个。由此可以得出环向角度因决定陷入缺陷的滚动体数量从而影响轴承内部的接触载荷。

图10 固定轴向角度改变环向角度Fig.10 Fixed axial angle changing circumferential angle

3.3.2 热变形对缺陷区域接触刚度的影响

取转速n=16 000 r/min，轴向力Fa=600 N，将考虑热变形和不考虑热变形的内、外圈接触载荷代入，计算出缺陷环向角度为1°和2°时，缺陷处等效接触刚度如图11(a)所示，局部放大图如图11(b)所示。

图11 热变形对缺陷处接触刚度影响Fig.11 Effect of thermal deformation on contact stiffness at defects

由图11(a)和图11(b)可知，考虑热变形的缺陷处刚度的初始值更高且在不同的角位置处考虑热变形的等效接触刚度都较大，当滚动体进入缺陷后考虑热变后的等效接触刚度下降速率更快。因此在计算缺陷处等效接触刚度时考虑热变形是非常有必要的。

3.3.3 缺陷尺寸对接触刚度的影响

为研究轴向、环向角度对轴承等效接触刚度的影响，考虑热变形后，分别取轴向固定、环向改变和环向固定、轴向改变两种情况计算得出如图12所示缺陷区域的等效接触刚度。

图12 缺陷区域等效接触刚度Fig.12 Equivalent contact stiffness of defect area

从图12可知，当滚动体进入缺陷区域时其等效接触刚度降低而后滚出缺陷区域时逐渐恢复。当固定环向角度为1°改变轴向角度为10°，20°，30°时，可看出随着轴向角度的增大，当滚动体滚入缺陷后其等效接触刚度逐渐减小。这是因为当缺陷区域轴向角度为10°和20°时滚动体未接触到缺陷底部，轴承仍具备承载能力，当轴向角度为30°时滚动体陷入缺陷底部，等效接触刚度降为零。当固定轴向角度为30°时，改变环向角度为1°，2°，3°，可看出随着缺陷区域环向角度的改变，轴承等效接触刚度变化趋势并未改变，只是随着环向角度的增大，滚动体滚入缺陷的位置角发生改变。因此通过对比可以得出：滚动体轴向接触角度相比于环向角度而言很大程度上决定了滚动体在缺陷处的等效接触刚度。此外，本文计算所得缺陷区域等效刚度变化趋势与文献[23]中变化趋势一致，再次验证了本文时变刚度模型的正确性。

4 结 论

本文建立了考虑热效应且外滚道具有局部缺陷的角接触球轴承的拟静力学模型和接触刚度模型，研究了热效应、高速效应、缺陷轮廓对角接触球轴承动态特性的影响得到如下结论：

(1) 滚动体滚入缺陷的边缘是平滑的曲线而不是直角。因此，滚动体不是直接落入缺陷底部，滚动体经过缺陷区域过程中，其接触变形的获得与释放是一个渐变的过程。同时可以看出，缺陷的环向跨度角与轴向跨度角相比，缺陷的轴向跨度角在很大程度上决定了滚动体与滚道的接触缺陷深度。

(2) 考虑热变形后局部缺陷对轴承内部载荷分布的影响大于未考虑热变形的影响。轴向角度决定滚动体陷入缺陷的深度、等效接触刚度从而影响轴承内部载荷。环向角度决定陷入缺陷的滚动体数量从而影响轴承内部的接触载荷。

(3) 考虑热变形后缺陷处刚度的初始值更高，进入缺陷后等效接触刚度下降速率更快。将热变形代入等效接触刚度计算可以得出轴向接触角度很大程度决定了滚动体在缺陷处的等效接触刚度。