注重“四性”理解，发展运算能力

■ 宋显庆

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）提出，运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。

运算能力发展的主要知识内容载体为数与代数，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》把这部分内容分为数的认识、数的运算和常见的量。在此基础上，“新课标”根据主题结构化的特征做了相应的整合，整合后的内容分为数与运算和数量关系，把常见的量融入综合与实践，原来的探索规律、式与方程、正比例、反比例全部归整为数量关系。这样调整以后，更加凸显了知识学习主题结构化的三个基本特征，即整体性、一致性和阶段性。数学学习的最大价值就是应用，解决现实问题以凸显实践应用性。教学中，突出“四性”的理解有助于学生学习和运算能力的发展。形成整体性和一致性教学理解需要教师有足够的数学学科知识储备和主动实践的意识。

一、阶段性与实践应用性理解：数与代数教学要尊重学生发展规律，要联系生活实际合理解决问题

“新课标”认为，阶段性理解主要从学业要求的阶段性、思维水平的阶段性、核心素养的阶段性分别提出具体的要求，体现的是学生运算能力培养的发展性，在教学过程中，教师应该合理把握教学内容的度；实践应用性反映的是学生对所学数学知识的灵活运用，在解决现实问题时能够选择合理的运算策略快速准确地解决问题。

教学过程中，教师需要充分尊重学生的认知水平，有效利用学生的生活经验，找到合理的教学支架，引导学生利用多元化的学习方式展开学习，体悟自主学习和迁移类推思想。在解决实际问题的教学中，教师要引导学生根据已学知识来解决现实问题，要充分体现知识在现实生活中的应用价值，让学生感受数学学习的重要性，发展学生解决问题的关键能力和培养学生的应用意识。

“新课标”同时要求，实践应用要关注学科知识的主题性应用和跨学科知识的项目化应用。“双减”背景下，为了提高课堂教学效率和作业效率，教师可以从主题性应用和跨学科项目化应用角度，开发一些实践性作业供学生选择使用，以发展学生综合实践应用能力。

二、整体性理解：数的认识是基础，意义、性质、关系、运算是一个整体，突出结构化认知

运算能力的发展离不开相应基础知识、技能的学习和理解，教学中，教师要站在学生核心素养发展的高度进行知识、技能的教学，要突出学生的整体性理解，要为学生运算能力的发展奠基。数的认识要加强从意义的理解这个角度去整体认识数，无论整数、分数还是小数，不同数域内数的性质、关系以及运算之间都有着本质的内在联系。教学中教师既要帮助学生理解不同数的特点与区别，更要帮助学生寻找其本质理解。另外，对于数的运算方法及解决问题策略的选择也要突出整体性认识，方法突出多样性，但本质理解要突出一致性，做到异中求同抓本质，同中求异显灵活。基于以上的整体性理解，运算能力发展的基本架构可以用图1 来表示。运算能力的发展历经基础知识、基本技能的掌握和理解等知识的形成，再到进行应用解决问题的知识输出的过程，体现的是学生能力的逐步形成与发展的过程。

图1

比如四则运算，加法是最基本的运算，减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。在学习过程中，学生看似学了四种不同的运算，但是实际上就是一种运算，其他运算只是加法运算的变式而已。教学中教师突出数学内容的整体性，既能增强学生学好数学的信心，又能发展学生的数学推理能力，这也是学生数学核心素养发展的重要体现。

我们来看一个具体案例，在“加法的认识”教学中，教材中从两只小猴子摘桃子数量的多少引入，提出问题：“比一比，谁摘的桃子多？”搭建学生学习新知的“支架”，之前学习1～5 的认识时，学生已经理解了数字表示基数的具体含义，教师设问旨在唤醒学生已有认知。接着，教师利用学生已有的生活经验，进一步启发学生思考：“如果要两只小猴子摘的桃子一样多，怎么办？”让学生初步理解加法的含义，初步感受到通过加法可以建立两个量之间的相等关系。这种本质含义的理解显然通过死记硬背是无法达到的，需要引导学生充分利用已有的关于数的意义的知识，量的大小即个数（计数单位的初步印象）、多少关系的理解与数字符号的抽象表达，再结合现实的生活情境和学生已有的生活经验才能达到整体的构建效果，才能促进学生对加法含义的真正理解。

三、一致性理解：从数的认识到数的运算，要突出计数单位参与运算的一致性

小学阶段的数学运算实际上就是数字符号的计数单位意义在十进制下的累加规则和记录方法，以追求正确、灵活、合理、简捷为显著特征，但是教学要凸显一致性理解，淡化技能技巧的机械化和重复性的训练，落实“双减”政策，向课堂要质量。

数的认识的一致性理解是学生认识数、记录数、运算数的重要基础。教学中，一方面要加强与学生紧密联系或者熟悉的真实情境的创设，让抽象化的理解更加具体，有助于学生加深对数的意义的理解与掌握，帮助学生建立数与现实生活中数量的一一对应关系，发展符号化意识。比如10以内、20 以内甚至100 以内数的认识，教学中，教师要引领学生从具体数量与数字符号的对应逐步走向十进位值的符号化理解，尤其要突出数字符号在不同数位所表示的数量意义，凸显规则的价值，以培养学生的数感，发展学生的抽象思维。“新课标”明确指出，学生“能够在真实情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序”。意义的理解其本质就是数字加计数单位来表示数量的意义及价值体现。如自然数的教学，教师要让学生理解几个几、几个十、几个百、几个千等计数单位的逐步扩大，实际上是根据现实需要，在一定的规则下，能够用有限的数字符号来记录无限的数量。

比如，在教学“10的认识”时，教师可以利用前面已有的知识经验和生活经验，从现实数量的对应或者利用加法的意义帮助学生明白10的组成和现实意义，教师要引领学生去理解10 跟以前学过的1～9这9个数字符号的不同，因为10是第一个利用两个数字符号来记录数量的数。因此，帮助学生初步理解这样记录的意义和价值是重要的，也是数字化认识的一次重要的飞跃。教学中，教师可以通过具体情境结合生活实例引入十进制，同时帮助学生初步理解数位的意义，也就是位值制，初步理解数字放在不同的数位上可以表示不同的量。

【教学片段】

10的认识（人教版数学教材一年级上册）

师：教室里有几个小朋友？

生：9个。

师：现在又进来1 个，教室里的小朋友数量是多少？

生：10。

师：哪里还有10？找一找、数一数。

……

师：“10”可以怎样表示？用你们喜欢的方式表示。

师：同学们有很多想法，但是为什么书上要用原来学过的数字1和0表示10呢？

生：继续创造不同的符号，但是如果有很多物体时，比如11,12……就得使用更多的符号，比较麻烦也不容易记忆。

师：说得太好了，现在我们只需要用0～9这10个数字就能表示出所有的数。请大家试着从0～9中选两个数字组成一个新的数。

师：我用1 根木棒或1 个物体来表示1 个10 可以吗？

生：不行。因为1根木棒、1个物体只能表示1。

生：可以，但这1根木棒或1个物体要放在十位上。

（学生展示想法）

师：科学家们根据同学们的想法，研究发明了我们现在看到的计数器。

（学生观察计数器）

师：在计数器上同学们看到了什么？

生：个位和十位。

图2为甲烷水合物生成过程中温度-压力与相平衡曲线关系图。图2中所示曲线分别为273.75 K、273.85 K和273.95 K 3种水浴温度下甲烷水合反应过程的实验结果和由CSM-HYD软件计算的相平衡理论数据拟合曲线。由图2可知，在AB阶段，釜内的p-T体系处于相平衡区域之外，尚未达到甲烷水合反应的相平衡条件，此时釜内处于甲烷相和水相的二相混合状态。

师：在个位上拨1颗珠子表示什么？

生：1个1。（1）

师：在十位上拨1颗珠子表示？

生：1个10。（10）

师：都是1颗珠子，为何表示的数却不一样呢？

生：因为它们的位置不一样。（渗透位值制）

师：那在个位上拨9颗珠子它表示什么？

生：9个1。（9）

师：个位有几颗珠子就表示什么？

生：几个1。

师：9个1再添上1个1就是什么？

生：10个1。

师：10个1也就是1个10。

师：1 个10 在计数器上怎么表示？（渗透十进制）

生：在十位上拨1颗珠子。

师：十位上有几颗珠子就表示什么？

生：几个10。

师：10和我们以前学的数有什么不同？

生：10是两位数，我们原来学的0～9都是一位数。

生：10是由我们原来学过的1和0组成的，它比1和0都要大。

生：10 里面的1 放在十位表示1 个10，如果在个位就表示1个1。

师：如果一个数的十位和个位都是1，这个数是多少？

生：11。

师：你们还可以举出更多的这样表示的数吗？写在草稿纸上。

问题讨论虽然结束，但教师的最后一个问题具有开放性，学生可以根据所学的知识举出更多的数，学生数数的经验是很丰富的，有的学生甚至可以数到100。通过上述教学，学生就会慢慢理解原来数出来的数就是这样表示的，会有一种豁然开朗的感觉。

数的运算的一致性理解就是对运算的意义及计数单位参与计算的规则的理解，这种理解不可能一蹴而就，需要持续的关注和有效的引领。小学阶段数的运算主要包括整数、小数、分数的四则运算，要加强对横向（不同数领域）与纵向（同一数领域）运算的联系与区别的理解，要突出理解数的运算的本质就是计数单位的“累加”。

在数的运算教学中，横式计算是基础，也是算理，可以通过基本算理解决一些简单问题。笔算是另外一种更为简便的计算方法，尤其在解决稍微复杂的计算时相当有效，方法、方式是可以多样的，但是本质理解还是要以口算基础，即基本算理；更为复杂的计算当然还可以通过计数器等高科技手段来解决，而这种方式就完全看不见算理，只以追求结果和解决问题为目的，强调的是高效率。而运算教学的数学育人价值并非追求这样的结果，更多的体现在追求这种结果的过程中，发挥数学教育的育人价值，渗透严谨的逻辑推理思维，发展解决问题的高效能力，这就是数学课程核心素养的重要体现。

结合以上“四性”的教学理解，基于学生运算能力发展的课堂教学，教师要充分发挥学生学习的主动性，采取探究式、启发式等课堂教学方式，让学生在自主探究、合作交流的过程中学会主动学习。教学中，教师要引领学生去理解和关联相关知识，让学生在逐步形成知识体系的过程中，学会自主关联，学会迁移类推，学会思考，学会用数学的方法解决现实问题。体现的是学生对基础性知识的理解掌握、结构化认知、创新综合性应用，发展的是学生的关键能力和必备品格。