偏心量对偏心型渐开线柔性板弹簧性能影响分析

许 信，刘 波，董 皓，张君安

（西安工业大学机电工程学院，陕西 西安 710021）

1 引言

柔性板弹簧（之后简称板弹簧）是在弹性金属片上通过光化学腐蚀等方法加工出不同种类的型线，通过施加轴向力，它可以发生一定的轴向位移，同时也能保证其拥有极大的径向刚度[1]。课题所研究的用于纯电动汽车空调取暖方面的自由活塞自特林热泵的总体结构图，如图1所示。一部分为板弹簧，板弹簧用于支撑动力活塞和配气活塞，保持运动过程中活塞与气缸间的密封间隙，板弹簧性能的好坏直接关系到斯特林热泵的运行平稳性和输出效率。所以，针对板弹簧的性能研究有着重要的理论价值和工程价值。

图1 斯特林热泵总体结构图Fig.1 General Structure of Stirling Heat Pump

1981年，文献[2]首次将板弹簧用于低温制冷机，使得低温制冷机的无油润滑和间隙密封技术成为可能，之后，板弹簧在斯特林机领域获得了广泛的关注和应用。文献[3-4]针对国外柔性板弹簧利用CAD分析的前提下，给出了圆渐开线柔性板弹簧的设计方法，并且更进一步的对柔性板弹簧的性能进行了理论分析。文献[4]结合有限元分析与实验结果得到圆渐开线更适用于涡旋线的构造且偏心型渐开线板弹簧具有较优的应力分布等优点。

这里对多种不同偏心量的三槽偏心型渐开线板弹簧建立三维模型，通过推导计算分析了设计偏心型板弹簧时偏心量的取值范围。通过建立有限元分析模型，应用有限元软件对不同偏心量的板弹簧的轴向刚度、径向刚度进行了分析。并对所加工的不同偏心量下的板弹簧进行了轴向刚度实验。

2 偏心量取值范围的确定

设计三槽偏心型板弹簧时，需要构造偏心型渐开线，偏心型渐开线发生于三个不同的基圆上，这三个基圆的半径相同，相邻两个基圆圆心与板弹簧中心连线的夹角为120°，连线线段的长度为偏心量。偏心量有一定的取值范围，当偏心量过大时，会造成两个涡旋槽相交，使板簧损坏。因此，在偏心型板弹簧设计过程中，需要确定偏心量的最大值，从而得到偏心量的取值范围。偏心量的取值范围公式可以根据相邻两个涡旋槽之间的最小距离确定。

当相邻的两条偏心型渐开线的法线在同一直线上时，这一直线同两条渐开线交点的连线的长度，即为这两条渐开线之间的最长或最短距离，如图2所示。这里只需要求出最短距离公式，即线段EF的长度。根据线段EF的长度，可以求得最终要得到的偏心量的取值范围。假设长为l，基圆半径为r，偏心量为x。

图2 相邻两条偏心型渐开线示意图Fig.2 Schematic Diagram of Two Adjacent Eccentric Involutes

通过简单推导，很容易证明四边形ABCD是一个矩形，从而可以得到：

观察两条渐开线的转角，通过计算推导，可以得到：依据渐开线性质，可以求得以及的长度：

所以，相邻两条渐开线之间的最短距离公式：

为了保证板弹簧能够使用，两条偏心渐开线之间的最小距离应大于0，从而可以求得l＜根据此公式，可以准确的得到偏心量的取值范围，依据偏心量的取值范围，在设计偏心型板弹簧时可以节省很多时间。

3 板弹簧设计参数及三维模型

在偏心型板弹簧设计过程中，偏心量的大小对弹簧刚度有明显的影响。本次研究针对多个不同偏心量，其余参数全部相同的板弹簧进行有限元分析，总结得到径轴向刚度随偏心量的变化规律，为偏心型渐开线柔性弹簧设计提供参考依据。除偏心量外，板弹簧设计参数，如表1所示。

表1 板弹簧设计参数Tab.1 Design Parameters of Plate Spring

考虑到斯特林热泵复杂的工作状态，要求板弹簧要具备良好的弹性，抗导磁性，耐腐蚀性等要求。又考虑到铍青铜优越的弹性性能，是铜合金中性能最好的高级弹性材料，具有有色金属弹性之王之美称。

最终决定选择被青铜材料Qbe2作为板弹簧的材料。在板弹簧其余设计参数确定后，根据板弹簧设计参数，通过选取不同的偏心量，利用SOLIDWORKS软件建立了八种不同偏心量下的板弹簧三维模型，如图3所示。

图3 不同偏心量下板弹簧的三维模型Fig.3 Three Dimensional Model of Plate Spring with Different Eccentricity

4 板弹簧径轴向刚度的有限元分析

对板弹簧径轴向刚度进行分析时，采用了有限元分析方法[5-6]。有限元法己在有关板弹簧性能研究的诸多文献中引用，并被证实是一种有效的分析方法。这里采用ANSYS软件进行分析。

在有限元分析过程中，通过多次改变径向或轴向施加力，观察板弹簧的径向或轴向位移，发现所施加力与位移呈正比关系。分析不同偏心量下各板弹簧的轴向刚度时，在板弹簧中心孔的内表面上对板弹簧施加轴向力，进行求解，观察不同偏心量下板弹簧的轴向位移云图，结果，如图4所示。

图4 不同偏心量的板弹簧轴向位移云图Fig.4 Axial Displacement Nephogram of Plate Spring with Different Eccentricity

分析不同偏心量下各板弹簧的径向刚度时，在板弹簧中心孔的内表面上对板弹簧施加径向力，进行求解，不同偏心量下板弹簧的径向位移云图，如图5所示。

图5 不同偏心量的板弹簧径向位移云图Fig.5 Radial Displacement Nephogram of Plate Spring with Different Eccentricity

在不同偏心量下板弹簧轴向刚度分析过程中，对每片板弹簧施加相同的轴向力，观察得到，随着偏心量的增大，板弹簧的轴向位移呈先减小后增加的趋势，刚度定义为力与其引起位移的比。所以，板弹簧的轴向刚度是随着偏心量的增加是呈先变大后变小的规律。

在不同偏心量下板弹簧径向刚度分析过程中，对每片板弹簧施加相同的径向力，观察得到，随着偏心量的增大，板弹簧的径向位移同样呈先减小后增加的趋势，所以，板弹簧的径向刚度随着偏心量的增大同样呈先变大后变小的规律。

5 板弹簧轴向刚度实验研究

在自由活塞斯特林热泵当中，运动件的运动状态均为直线往复运动，作为往复运动系统的弹性部件，板弹簧的轴向刚度对整个斯特林热泵系统的运行平稳性有着很重要的作用。板弹簧的轴向刚度实验方案，如图6所示。

图6 轴向刚度实验方案Fig.6 Experimental Scheme of Axial Stiffness

实验过程中，利用50N量程的压力传感器（DYLY-102）以及配套XSB2系列数显仪表对加工出来的八种偏心量下的板弹簧进行了轴向刚度测量[7-8]，测量装置，如图7所示。

图7 轴向刚度测量装置Fig.7 Axial Stiffness Measuring Device

板弹簧通过板弹簧支架固定在实验台上。板弹簧中心孔处为一螺栓，通过螺母固定，螺杆与压力传感器相接触。力的测量精度为0.001N，轴向进给精度为0.05mm。针对每片板弹簧，每旋转90°测量3组数据，共测量12组数据，最后选取12组数据的平均值。

给出了偏心量分别为1mm和2mm板弹簧的轴向力与轴向位移的实验结果关系曲线，两者变化规律一致，并与有限元分析结果做了比较，如图8所示。

图8 轴向力与轴向位移关系Fig.8 The Relationship Between Axial Force and Axial Displacement

可以看出实验值与计算值整体变化趋势基本相同，但相比计算值较小，且在位移较小时轴向力变化较慢，刚度较小，当轴向位移相同时，轴向力的实验测量值与理论分析值差值最大在1N左右。

分析原因为在位移比较小时，由于板弹簧与力传感器之间接触不充分，导致力随位移变化较慢，从而弹簧刚度较小。

给出了八种偏心量下的板弹簧的轴向刚度随偏心量的变化规律，并与有限元分析结果进行了对比，如图9所示。由对比结果可以看出，实验值与分析值当中轴向刚度随偏心量变化的整体趋势相同，但实验值偏小，且偏心量在2.5mm之前，轴向刚度的实验测量值与理论分析值差值维持在0.1N/mm，偏心量在2.5mm之后，轴向刚度下降速度明显增快，实验测量值与理论分析值差值变大。分析原因为由于加工误差，使板弹簧涡旋槽实际宽度比设计值偏大，导致整体刚度较计算值偏小；当偏心量大于2.5mm时，板弹簧轴向刚度对涡旋槽宽度的敏感程度增加，导致轴向刚度下降速度明显增快。

图9 轴向刚度随偏心量变化规律Fig.9 The Change Rule of Axial Stiffness with Eccentricity

6 结论

通过对偏心型渐开线以及不同偏心量下偏心型板弹簧径轴向刚度进行分析，结合有限元结果，归纳出以下结论：

（1）得到了偏心量的取值范围公式，利用这个公式，可以更加精确地指导偏心型板弹簧的设计工作。

（2）板弹簧的径向和轴向刚度都是随着偏心量的增加是呈先变大后变小的规律。

（3）对所加工的不同偏心量下的板弹簧进行了轴向刚度实验，实验值与理论分析结果能够较好的吻合，表明了理论计算值的准确性。