平衡轴单元尺寸与性能的误差映射规律研究

胡文根，唐建华，王平俊，李刚炎

（1.武汉理工大学机电工程学院，湖北 武汉 430070；2.东风楚凯（武汉）汽车零部件有限公司，湖北 武汉 430090）

1 引言

近年来，随着国家节能减排政策的推行，各大汽车制造商纷纷推出小排量三缸发动机的燃油车型和混动车型；相比于传统四缸发动机，其结构更加紧凑、油耗更少，带来了更佳的燃油经济性[1]，但是由于其自身往复惯性力矩的不平衡性，会直接影响整车的NVH性能。而带偏心式配重块的平衡轴系统能够抵消活塞连杆组件在缸内作往复运动所产生的不平衡力矩，有效控制三缸发动机的振动与噪声，因此被广泛应用于改善发动机动力总成NVH性能之中[2-3]。

在平衡轴系统对三缸发动机NVH性能提升的研究方面，文献[4]建立了搭载平衡轴系统的三缸发动机多体动力学模型，通过燃烧压力测试试验和实时振动分析，验证了平衡轴系统对三缸发动机NVH特性的提升。文献[5]通过对平衡轴系统模块的运动学和力学分析，提出了一种三缸发动机平衡轴系统的布置优化方案。文献[6]分析了平衡轴对发动机缸体所受不平衡力矩的平衡效果，针对直列三缸发动机建立了动力总成橡胶悬置和液阻悬置的设计及优化方法。上述研究主要集中在平衡轴系统对发动机总成级别的影响分析方面，而未考虑单个零件级别的影响因素。

从零件级别的角度出发，平衡轴系统中的各子零件对发动机以及整车的NVH性能有着较大影响。文献[7]提出了一种计算转子质量不平衡力矩的分析模型，模型分析结果表明轴向质量偏心会影响转子漂移，径向质量偏心会影响转子速度和振动。文献[8]提出了基于质量线法的质量特性参数测量方法，分析了激励、响应点的选取对测量精度的影响。文献[9]基于Pro/E对弹性齿轮进行了模型参数化设计，相比于金属齿轮能够使轮齿之间的接触应力有效降低24%。文献[10]研究了钢球制造误差对滚动直线导轨预紧力、外部载荷的影响关系。以上学者从零件的动静态特性对产品性能的影响分析做了一定的研究，但是较少从零件的加工质量方面考虑其对产品性能的影响规律。因此，这里将从制造的角度，探讨零件的加工误差与产品性能偏差之间的规律。

以带偏心配重块的平衡轴单元作为研究对象，主要研究了基于机理建模的误差映射关系模型和基于单因素分析法的误差映射规律分析，从而对偏心式配重块零件的加工质量控制提供技术支撑，为平衡轴单元的平衡性能提供保障。

2 尺寸误差对性能偏差的映射关系模型

平衡轴单元在加工过程中，会受到诸如机床误差、刀具误差、夹具误差、定位误差等因素的影响，使得实际几何参数与理想几何参数之间出现偏差，即加工误差，反映在零件的几何特征上表现为形状、位置和尺寸偏差。如果在误差映射关系建模中将上述偏差全部考虑进去，会使模型变得较为复杂，难以求解。为了简化模型，鉴于位置误差和形状误差对产品加工质量的影响较小，这里将仅针对尺寸误差进行误差映射关系模型构建。

2.1 关键几何特征的选取

图1 配重块几何特征尺寸误差模型图Fig.1 The dimensional Error of the Geometric Characteristics of the Counterweights

在平衡轴单元的生产制造过程中，以下几何特征共同构成了配重块的外形轮廓:R1,R2,R3,R4,H1,h1，如图2所示。下文在建立映射关系模型时，将考虑上述六个关键几何特征的尺寸误差ΔR1,ΔR2,ΔR3,ΔR4,ΔH1,Δh1，模拟实际情况下平衡轴单元最终的产品性能波动。

图2 配重块关键几何特征示意图Fig.2 Schematic Diagram of Key Geometric Features of the Counterweights

2.2 性能参数偏差的计算模型建立

平衡轴单元的关键部位在于偏心式配重块结构，其几何特征的尺寸误差将会直接造成平衡轴单元的性能参数出现偏差。因此本节以不平衡量等性能参数作为目标变量，关键几何特征尺寸误差作为控制变量，建立平衡轴单元的误差映射关系模型。

某型三缸发动机平衡轴单元的配重块外表面特征，如图3所示。可拆分为圆环体A、B，圆柱体C和孔内花键块D，其中圆环体A、B之间以过渡圆角连接。当平衡轴单元中的配重块零件绕轴旋转时，非中心对称圆环体A、B将产生不平衡量，抵消三缸发动机在高速运转过程中活塞做上下往复运动时所产生的不平衡量，从而实现平衡轴单元的平衡功能。因此建模的关键点在于计算圆环体A、B在加工过程中的实际尺寸变动所导致的配重块质量和不平衡量参数偏差。

图3 配重块平面几何特征图Fig.3 Geometric Feature Diagram of the Counterweight’s Plane

对于形状不规则的圆环体A、B，采用积分法进行求解。在圆环体A的XOY特征平面内任取微圆环dlA，其上、下边界点分别为：

式中：R1—圆环体A的内表面半径，cm；R2—圆环体A的外表面半径，cm；L1—横截面与X轴的距离，cm。

设微圆环dlA横坐标为x1，其与坐标原点之间夹角为：

微圆环质量表达式为：

式中：ρ—材料密度，g/cm3；hA—圆环体A沿Z轴方向深度，cm。

圆环体A的整体不平衡量为：

将式（2）和式（3）代入式（6）中，即可求得圆环体A的整体质量，再将式（2）、式（3）和式（5）代入式（7）中，可求得圆环体A的整体不平衡量。

圆环体B的内表面与圆柱体C相切于点a2，其坐标为[(R3+ΔR3)cosα2,(R3+ΔR3)sinα2]，在圆环体B内任取微圆环dlB，设dlB横坐标为x2，直线OX2与X轴之间夹角为：

线段a1a2的近似斜率为：

式中：R3—圆环体B的内表面半径，cm。

则微圆环dlB纵坐标为：

微圆环质量：

式中：hB—圆环体B沿Z轴方向深度，cm。

则圆环体B的整体质量为：

圆环体B的整体不平衡量为：

将式（8）代入式（9）中求得线段a1a2近似斜率k，将式（9）代入式（10）中求得微圆环纵坐标y2，再代入式（12）和式（13）中可求得圆环体B的质量和不平衡量。接着利用形体组合法获取圆环体A和B整体的性能参数，即单件生产产品的模型计算结果。

由于此类产品采用批量生产的方式进行生产，实际加工过程中尺寸误差受到相互独立的各种随机因素的影响，故尺寸误差的分布情况符合高斯分布模型，其概率密度函数为：

式中：μ、σ—高斯分布的均值和均方差。

误差映射关系模型中所选取的关键几何特征尺寸误差分别为ΔR1,ΔR2,ΔR3,ΔR4,ΔH1,Δh1，由于式（14）中误差参数x位于μ±3σ范围内的概率为99.73%[11]，因此可近似认为以上选取的误差参数分布区间的均值与方差分别为：

在上述几何特征的误差参数分布区间内，采用蒙特卡洛模拟法生成尺寸误差参数样本，代入误差映射关系模型中即可求得该产品在批量生产模式下的性能参数计算结果，计算流程，如图4所示。具体步骤如下：

图4 批量生产模式下平衡轴单元的性能计算流程图Fig.4 Flowchart of Performance Calculation of Balancing Shaft Unit in Mass Production Mode

（1）根据平衡轴单元的产品几何特征构建性能参数偏差计算模型，并设定蒙特卡洛法模拟的计算次数n与关键几何特征的尺寸公差值Ti；

（2）采用MATLAB计算软件的randn函数生成正态分布下的实际尺寸误差模拟数值；

（3）将平衡轴单元的结构参数以及模拟生成的尺寸误差值代入计算模型中进行平衡轴单元性能参数的计算求解；

（4）将经过n次计算之后的所有计算结果存入统计分析矩阵中，并对其进行统计分析与处理，获取平衡轴单元性能参数的均值与方差，并绘制最终的统计直方图。

3 误差映射关系模型的验证

3.1 单件生产产品的模型验证

以某批次带偏心配重块的平衡轴单元为例，利用三坐标测量仪对其进行几何特征尺寸参数的检测，如图5所示。统计真实的尺寸误差大小，代入建立的误差映射关系模型中获得模型计算值；再选取某型号平衡机对其进行不平衡量参数检测，如图6所示。通过预制一个不平衡量为483g.cm的标准块，与被测样件的配重块成180°相角装配在一起，测量残余不平衡量从而获取整体不平衡量参数的实际检测值。将检测值与计算值进行对比分析，统计结果，如表1所示（由于篇幅原因，仅列出该批次产品中10个样件的统计结果）。

图5 三坐标仪尺寸检测Fig.5 Dimension detection of CMM

图6 平衡机实验Fig.6 Balancing Experiments

表1 单件平衡轴单元的性能参数检测与计算结果统计表Tab.1 Statistical Analysis of the Performance Parameters of Single-Piece Balancing Shaft Unit

由上表知，10个产品样件的质量、不平衡量参数检测值与计算值的相对误差分别控制在0.89%和1.34%之内，验证了模型具有较好的准确性。

3.2 批量生产模式下的模型验证

探究批量生产模式下产品性能参数的分布规律，可以在实际生产之前预知该批次产品的合格率情况，从而及时调整技术要求和加工工艺，有效预防大规模产品报废情况的出现。以下将采用蒙特卡洛模拟法生成实际加工过程中关键几何特征的尺寸误差，代入到验证之后的尺寸误差映射模型中，运算结果，如图7所示。

图7 批量模式下平衡轴单元的性能参数运算结果Fig.7 Calculations of Performance Index of Balancing Shafts in Batch Mode

由图7可知，在批量生产模式下平衡轴单元的性能参数符合高斯分布规律，运算结果中不平衡量参数均值μ=489.41，方差σ=1.71；质量参数均值μ=1274.5，方差σ=0.65。将批量生产模式下平衡单元的模型计算值与实际检测值进行对比，如表2所示。

表2 批量模式下检测值与计算值对比分析Tab.2 Comparative Analysis of Measured and Calculated Values in Batch Mode

表2结果分析：

（1）产品质量参数的模型计算均值1274.5g超过实际检测均值1269g，是由于在计算模型中未考虑减去过渡圆角和倒角部分的质量，因此超过实际检测值。与此相应的，不平衡量参数的模型计算均值489.44g·cm也略大于实际检测值489.16g·cm。

（2）产品不平衡量参数变动区间的实际检测值（±1.08）g·cm小于理论模型计算值（±5.16）g·cm，说明这一批次平衡轴单元的产品加工质量较高，产品性能稳定。

4 误差映射规律的分析

以下将采用单因素分析法，在控制其他尺寸因素不变的情况下，探讨某一关键尺寸在不同的误差变动区间内产品性能的变化规律，计算出六个关键特征的尺寸误差对于整体不平衡量和质量参数变动的影响因素权重。

假设六个关键几何特征R1，R2，R3，R4，H1，h1在公差Ti下通过蒙特卡洛模拟法计算出的性能参数的波动方差分别为σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6，即以上六个关键几何特征的尺寸误差所造成的性能参数波动范围，则任意一个关键几何特征对不平衡量波动的影响因素权重ki的计算如下所示：

4.1 不平衡量参数的影响分析

通过模拟不同的尺寸公差下，六个关键几何特征的尺寸误差变动所对应的不平衡量参数的变化规律，如图8所示。

图8 六个关键尺寸误差下的不平衡量波动图Fig.8 Unbalance Fluctuations Under Six Critical Dimensional Errors

由图可知几何特征R3，R4的尺寸变动对不平衡量的变化无影响，R1，R2，H1，h1的尺寸变动对不平衡量的变化有着不同程度的影响，大致上尺寸误差的变动范围越大，不平衡量的离散程度越大。

对其高斯分布曲线的均值和方差进行统计对比，如表3 所示。比较六个关键几何特征的尺寸误差对不平衡量偏差的量化结果。随着尺寸误差变动区间从Ti增大到4Ti，不平衡量的均值μ稳定在489g·cm左右，几何特征R3，R4对应的不平衡量方差σ一直为0，R2对应的σ最大，R1，H1次之，h1最小。产品技术要求上，不平衡量的变动应控制在其理想值的±2%左右，即（±9.78）g·cm。在将尺寸公差从Ti扩大到4Ti时，R2对应的不平衡量从（±3.81）g·cm变动到（±15.21）g·cm，说明R2极容易影响平衡轴单元的平衡性能，对于该尺寸应该严格控制；R1和H1对应的不平衡量从（±1.5）g·cm左右变动到（±9.0）g·cm，说明其对于产品性能也有着一定的影响；h1的尺寸误差对于产品不平衡量参数的影响较小，而R3,R4的尺寸误差对不平衡量参数的变动无影响，因此可以在不影响产品性能的前提下适当增大其公差范围，从而降低加工精度以节约生产成本。

表3 不同尺寸误差下不平衡量的波动范围（g ⋅cm）Tab.3 Fluctuation Range of Unbalance Under Different Dimensional Errors

4.2 质量参数的影响分析

六个关键特征的尺寸变动对质量参数的影响规律，如图9所示。可知随着尺寸公差的逐渐扩大，质量参数的变动也随之不断增加。对其高斯分布的均值和方差进行统计分析，如表4所示。R1，R2，R3，R4，H1，h1对应的质量参数均值μ在1274g 左右，即使尺寸误差变动范围从Ti扩大到4Ti，质量的变动区间±3σ也依然最大不超过±7.68g，可知六个关键几何特征的尺寸误差对于质量波动的影响较小。

表4 不同尺寸误差下质量的波动范围（g）Tab.4 Fluctuation Range of Mass Under Different Dimensional Errors

图9 六个关键尺寸误差下的质量波动图Fig.9 Mass Fluctuations Under Six Critical Dimension Errors

在因素权重的计算结果中，R2的尺寸误差相比于其他几何特征更容易引起质量参数的变化，H1，R1，R3，R4在一定程度上存在着影响，h1的影响程度最小。

5 结论

基于机理建模的方法，选取质量、不平衡量作为性能指标建立产品几何特征尺寸误差的性能偏差映射关系模型。以某批次平衡轴单元产品样件为例，进行实验检测结果和模型计算结果的对比分析，验证了模型具有较高精度。采用蒙特卡洛法对实际生产中的尺寸误差进行模拟仿真，计算出批量生产模式下产品的性能参数分布规律，可为批量生产前的产品质量预测提供指导。

基于已建立的误差映射模型，利用单因素分析法量化了六个关键特征因素的尺寸误差对产品性能的影响程度大小，结果表明：外轮廓表面半径R2的尺寸误差对不平衡量的波动影响最大，须重点控制其尺寸偏差的范围；R1,H1对不平衡量参数也存在着一定影响，而R3,R4,h1对不平衡量参数的影响最小，在设计阶段可适当降低加工精度以提高经济性。本研究可为平衡轴单元在实际生产中的加工误差控制提供理论基础，为发动机NVH性能的提升提供一种新的优化途径。