渐开线少齿差行星齿轮传动几何设计

张跃明，杜海强，纪姝婷

（北京工业大学机械工程与应用电子学院，北京 100124）

1 引言

作为行星齿轮传动减速器的核心，渐开线齿轮有其独特的优势。行星传动相对较定轴传动来说，行星齿轮传动结构紧凑严密、体积较小、传动效率高[1]；和外啮合相比，由变位齿轮组成的内啮合齿轮副为凹凸齿面接触，曲率半径较大，接触强度和弯曲强度较高.若采用标准齿轮，由于齿数差较小，容易造成各种干涉，又因为几乎所有的限制条件都与变位系数有关，因此对于渐开线少齿差行星齿轮传动的来说，研究合适的变位系数具有重要的理论意义和使用价值。2003年，文献[2]指出啮合干涉的产生原因及防止方法。2013年，文献[3]在传统封闭图的基础上进一步优化选取参数。文献[4]编著的《渐开线少齿差行星齿轮传动装置》一书对我国对少齿差行星齿轮传动具有重要的理论指导作用。文献[5]采用啮合角和加工内齿轮时的啮合角为自变量进行迭代求解变位系数。2014年，文献[6]从相对滑动速度方面着手，分析了滑动率的影响因素及变化趋势。变位系数的选择一般采用试算法、封闭图法、查几何参数表法，但是以上几种方法盲目性大、工作量大、具有局限性[7-8]。在变位系数优化方面以滑动率为目标函数，忽略重合度在内啮合齿轮中的重要性，会导致整机的传动平稳性和连续性[9-10]。针对上述问题，建立渐开线齿轮变位系数优化模型，借助Matlab遗传算法对其进行优化，以重合度为目标函数，编制GUI界面，程序简洁易懂，适用范围广，能快速有效获得齿轮的几何尺寸。

2 变位齿轮基本参数

2.1 齿形角

虽然随着齿形角的增大，齿轮的承载能力会有所提高，有利于避免齿廓重叠干涉的产生，但重合度会有所降低，传动平稳性变差，噪声增大[3]；由于加工刀具大都是α=20°的标准刀具，为了加工方便，这里直接选用此齿形角。

2.2 啮合角

图1 重合度随啮合角及齿轮变位系数的变化趋势Fig.1 The Change Degree of Coincidence Degree with the Meshing Angle and Gear Displacement Coefficient

2.3 齿顶高系数

对于短齿齿轮来说，从干涉方面来看，ha*越小，越容易避免齿廓重叠干涉，但会降低齿轮传动的重合度。重合度会随着齿顶高系数减小而降低。虽然较小的齿顶高系数可以避免齿廓干涉，提高传动效率，但ha*过于小的时候就会降低重合度，导致传动波动，如图2所示。

图2 重合度随齿顶高系数及齿轮变位系数的变化趋势Fig.2 The Change Degree of Coincidence Degree with the Height Coefficient of the Crown and the Gear Displacement Coefficient

3 变位系数的优化设计

3.1 目标函数

一对连续传动的齿轮，必须实现前一对齿在脱离啮合之前，后一对齿进入啮合。为了保证齿轮传动平稳工作，通常要求ε≥1.1。多齿接触并不等于多齿啮合，从保证传动的连续性和平稳性出发，希望重合度越大越好，因此将重合度函数作为目标函数。

3.2 设计变量的选取

从前面分析可知，在齿数差确定的情况下，变位系数x1，齿顶高系数ha*，啮合角α'对的取值影响最大，因此选取如下所示的3个设计变量。

3.3 约束条件

根据减速器实际的工作情况，以齿轮内啮合原理为理论，综合确定优化算法的约束条件。

（1）齿廓重叠干涉

齿廓重叠干涉是指：内啮合齿轮副在传动过程中，外齿轮的齿顶在退出内齿轮齿槽时，与内齿轮的齿顶发生重叠干涉。

齿廓重叠干涉主要取决于齿数差，齿数差较小，越容易会产生齿廓重叠干涉，因此就需要增大内齿轮的变位系数；选取适当的变位系数，有利于避免齿廓重叠干涉，通常要求Gs≥0.05。

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（2）齿顶厚

齿顶厚随着正变位系数的增大而减小，从而导致使用寿命和接触强度降低，因此对于变位齿轮来说，验算齿顶厚值得关注。当齿轮为淬火钢时，齿顶厚sa≥0.4m。

（3）过渡曲线干涉

如果一对相啮合齿轮的齿顶与齿根的非渐开线部分接触，就会产生过渡曲线干涉。

防止内齿轮过渡曲线干涉的约束条件：

防止外齿轮采用滚齿方式时的过渡曲线干涉的约束条件：

3.4 遗传算法求解

由于初始种群的数目对优化结果有着重要影响，在此取种群数目为100，最大迭代次数为500，交叉运算中采用常见的单点交叉方式，设置交叉概率为0.95，变异概率设置为0.05，采用离散变异算子实现变异运算。基于MATLAB 中GUI界面，利用各种空间，设计的计算界面，使计算过程更加简洁，如图3所示。

图3 优化算法界面Fig.3 Optimization Algorithm Interface

如图所示，在GUI界面中输入齿轮的基本参数，输入变量的取值范围，设定遗传算法基本参数，计算优化结果，计算结果，如表1所示。

表1 渐开线少齿差行星齿轮几何尺寸Tab.1 Involute Less Tooth Difference Planetary Gear Geometry

4 滑动率

渐开线齿轮传动无法避免齿面间的相对滑动，齿轮副的相对滑动越大，其齿面的磨损也会越严重，随着两齿轮表面温度升高，容易产生胶合失效。最终导致齿轮的传动效率降低，缩短机构的使用寿命。滑动率表示齿面间相对滑动的程度，指两齿廓在接触点处的相对切向速度与该点切向速度的比值。

由于轮齿在啮合过程中，齿廓上的接触点的位置不断变化，该点的压力角、曲率半径都是变化的，所以滑动率的数值是变化的。我们在这里只讨论整个啮合线的最大滑动率，如图4所示。滑动率随着啮合点的位置而变化，齿轮副只有在节点处的滑动率为0，啮合点离节点越远，滑动率越大。

图4 滑动率变化趋势Fig.4 Variation Tendency of Sliding Rate

理论分析：若想减小滑动率，可以通过增大内齿轮的变位系数来增大内齿轮齿顶圆半径使B2点向节点处移动。

内外齿轮分别在齿顶、齿根处取得最大值；并且最大滑动率的绝对值随变位系数的增大而减小。由于重合度随着变位系数的增大而减小，所以对于变位系数的选择我们视情况而定，如图5所示。

图5 滑动率随变位系数的变化趋势Fig.5 The Trend of Sliding Rate with the Coefficient of Displacement

5 结论

由于标准齿轮组成的行星传动齿数差太小，导致渐开线产生各类干涉，因此必须通过合理分配变位系数来避免各种干涉，提高重合度，降低滑动率的大小，提高齿轮的接触强度和弯曲强度，提高机构的使用寿命。

（1）设计重点主要是合理分配齿轮的基本参数的，如：啮合角、齿顶高系数、压力角、变位系数、刀具参数的选择等；避免各类干涉，如：齿廓重叠干涉、过渡曲线干涉、满足重合度要求等。

（2）基于遗传算法，求解重合度的主要影响因素，如：变位系数x1，齿顶高系数ha*，啮合角α'，由于遗传算法自身特点，结果并不一定最优，应多次计算，并逐渐完善数学模型。

（3）增大啮合角，以便增大齿廓的曲率半径，提高齿面接触疲劳强度，内齿轮通过正变位来增加齿根的弯曲强度。

（4）滑动率在只有啮合节点处为零，离节点越远滑动率越大，齿面磨损越严重。

（5）随着变位系数增大，会导致齿顶圆直径的变大，缩短N2与B2的距离，从而减小最大滑动率。