方程组有解问题转化为方程有解问题的思考*

俞杏明

(江苏省兴化中学 225700)

数学问题解决过程中，经常需要把方程组有解问题，转化为方程有解问题，这必须考虑转化是否等价.

1 解答质疑引发思考

例1

已知椭圆

C

的方程为直线

l

的方程为

y

=

x

+

m.

若直线

l

与椭圆

C

有公共点，求实数

m

的取值范围.

解

联立整理得7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0(*). 因为椭圆

C

与直线

l

有公共点，所以(*)式有解，所以所以实数

m

的取值范围为

一次教研活动中有教师指出，上述解答中只能保证(*)式在(-∞，+∞)上有解，而题意的要求是(*)式在[-2,2]上有解.

2 溯源而上挖掘隐含

把(*)式7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0溯源至再将变形为因为所以所以-2≤

x

≤2.所以方程7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0若有解，则解一定在[-2,2]内.

3 提炼升华生成结论

刚才探究的实质是：方程组有解问题与方程有解问题是否等价.

下面探究一般的情形：方程组有解问题，与方程有解问题是否等价?

由得所以

x

∈[-

a

,

a

].因此方程组有解问题，与方程=1有解问题等价.

注意到代入消元没有改变被代入方程的结构，因而对于一般的二元方程组有如下结论：

结论1

方程组有解问题，与

F

(

x

,

kx

+

m

)=0有解问题等价.

同理有：

结论2

方程组有解问题，与

F

(

py

+

q

,

y

)=0有解问题等价.

例2

若2

x

-2

xy

+

y

=1，求

x

+2

y

的最小值与最大值.分析 令

x

+2

y

=

t

，则有解，所以2(

t

-2

y

)-2(

t

-2

y

)

y

+

y

=1即13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在

y

∈

R

上有解.此时无需限定13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在上有解(在2

x

-2

xy

+

y

=1中，有略解 因为13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在

y

∈

R

上有解,所以

Δ

=100

t

-4×13×(2

t

-1)≥0，解得所以

x

+2

y

的最小值为最大值为既然代入消元没有改变被代入方程的结构，因此在更一般的

y

=

f

(

x

)(

x

∈

D

)与

F

(

x

,

y

)=0组成的方程组中有如下结论：

结论3

方程组有解问题，与

F

(

x

,

f

(

x

))=0在

x

∈

D

上有解问题等价.

类似地，

结论4

方程组有解问题，与

F

(

g

(

y

),

y

)=0在

y

∈

E

上有解问题等价.

例3

已知正数

x

,

y

满足求

xy

的取值范围.

解

令

xy

=

t

，则有解.所以即在(0,+∞)上有解.令因为

f

(

x

)的对称轴且

f

(0)=3

t

+2>0，要使在

x

∈(0,+∞)有解，则解得所以

xy

的取值范围为

4 隐含对应一一兼顾

方程组有解问题转化为方程有解问题时，有时会出现意想不到的错误.

例4

若曲线

C

：

y

=2

x

与曲线

C

：(

x

-

m

)+

y

=2有交点，求

m

的取值范围.错解 因为两曲线有交点，所以有解，所以

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0有解，所以

Δ

=4(

m

-1)-4(

m

-2)≥0，解得所以

m

的取值范围为这个答案显然是错误的，当

m

取较小负数时，两曲线处于相离状态，没有交点.那么，错误的根源是什么？如何避免这样的错误？下面先从简单事例入手进行探讨.在

x

+

y

=3与

y

=2

x

组成的方程组**)中，把

y

=2

x

代入

x

+

y

=3,得

x

+2

x

=3.解方程

x

+2

x

=3,得

x

=1或

x

=-3.可其中

x

=-3不满足方程组**)比较

x

+2

x

=3与

x

+

y

=3会发现，方程

x

+2

x

=3中缺失方程组**)隐含的制约2

x

=

y

≥0.对方程

x

+2

x

=3加上制约

x

≥0，则既保持着方程组(**)中

x

+

y

=3的结构，又保留了

y

=2

x

隐含的对

x

的制约.同时还发现，的解

x

=1，对应着**)中两组解或

对刚才的例子进行一般化，有如下结论：

结论5

设

y

=

f

(

x

)中隐含的

x

取值范围为

D

，

y

=

f

(

x

)代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程为

u

(

x

)=0，则是否有解与

u

(

x

)=0在

x

∈

D

上是否有解等价，且的解的组数等于

u

(

x

)=0(

x

∈

D

)每一个解代入得到的解组数之和.

同理有：

结论6

设

x

=

f

(

y

)中隐含的

y

取值范围为

E

，

x

=

f

(

y

)代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程为

v

(

y

)=0，则是否有解与

v

(

y

)=0在

y

∈

E

上是否有解等价，且解的组数等于

v

(

y

)=0(

y

∈

E

)每一个解代入得到的解组数之和.

更一般地，有以下结论：

结论7

设

A

(

x

,

y

)=0中隐含的

x

取值范围为

D

，

A

(

x

,

y

)=0代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程为

u

(

x

)=0，则是否有解与

u

(

x

)=0在

x

∈

D

上是否有解等价，且解的组数等于

u

(

x

)=0(

x

∈

D

)每一个解代入得到的解组数之和.

结论8

设

A

(

x

,

y

)=0中隐含的

y

取值范围为

E

，

A

(

x

,

y

)=0代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程为

v

(

y

)=0，则是否有解与

v

(

y

)=0在

y

∈

E

上是否有解等价,且解的组数等于

v

(

y

)=0(

y

∈

E

)每一个解代入得到的解组数之和.

下面我们重新求解例4.

正解

因为两曲线有交点，所以有解，由结论5知(

x

-

m

)+2

x

=2即

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上有解.令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2，则

f

(0)=

m

-2≤0，或解得所以

m

的取值范围为

把例4改编为下面两道例题，体现推导出的结论的效力.

例5

若曲线

C

：

y

=2

x

与曲线

C

：(

x

-

m

)+

y

=2有四个交点，求

m

的取值范围.分析 方程

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上每一个正解，对应着中两组解.要使有四组解，则

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上有且仅有两个不同的正解.略解 令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2，则解得所以

m

的取值范围为

例6

已知曲线

C

：

y

+4

y

=2

x

与曲线

C

：(

x

-

m

)+

y

+4

y

=2有且仅有两个公共点，求

m

的取值范围.分析 由结论7知，方程组有且仅有两解等价于(

x

-

m

)+2

x

=2即

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈(-2,+∞)上有且仅有一解.(由

y

+4

y

=2

x

⟹(

y

+2)=2

x

+4≥0⟹

x

≥-2，但

x

=-2时(

y

+2)=0，不符题意中两个公共点的要求.)略解 令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2，则

f

(-2)=

m

+4

m

-2<0或解得或所以

m

的取值范围为

5 一点说明

代入消元法是处理方程组最基本、最常用的办法.有些方程组尽管需要特殊技巧整理，但最终仍回归到代入消元法轨道上.至于更多元(二元以上)的方程组，可以在文中理念下等价转化为二元方程组，进而用文中结论求解.