强化解题思路 凸显思维品质
——“圆锥曲线习题分析课”的设计及反思

赵士元

(江苏省苏州市吴中区教学与教育科学研究室 215104)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自四星级重点高中，学习基础较好，学生的逻辑判断能力和运算能力普遍较强，但逻辑分析能力不足.

1.2 教材分析

《圆锥曲线》是高中数学选修二的主要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质，这些内容既是高中数学的重点又是高中数学的难点.由于三大圆锥曲线具有统一的定义，因此三者的性质之间必然具有高度的相似性，系统了解它们之间的相似性有利于学生从宏观上把握三大圆锥曲线，使碎片化的知识点形成系列化的知识体系.

解析几何的宗旨是代数法处理几何问题，突出体现了数形结合的思想，而圆锥曲线作为解析几何的主要内容，综合性比较强，对学生的运算要求比较高，是学生必须牢固掌握的内容.

教学重点 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、性质及其相互联系.

教学难点 以导问的形式引导学生分析思考数学问题.

2 教学过程

2.1 热身训练

(1)点

P

是椭圆上的点，

F

,

F

分别是它的左、右焦点，则左焦半径

PF

=

，右焦半径

PF

=

.它们是如何被推算出来的？(2)点

P

是椭圆上的点，

F

,

F

分别是它的下、上焦点，则下焦半径

PF

=

，上焦半径

PF

=

.试比较与(1)的关系.(3)点

P

是双曲线上的点，

F

,

F

分别是它的左、右焦点，则左焦半径

PF

=

，右焦半径

PF

=

.试比较与(1)的关系.(4)椭圆的焦点坐标为

F

(±

c

,0)，则

a

,

b

,

c

满足关系式

；双曲线的焦点坐标为

F

(±

c

,0)，则

a

,

b

,

c

满足关系式

.(5)点

P

在焦点为

F

的抛物线

y

=2

px

(

p

>0)上，则

PF

=

，如何推算出来的？若过抛物线

y

=2

px

(

p

>0)的焦点的直线与抛物线交于

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

)，则

AB

=

.

设计意图

三大圆锥曲线有其统一的定义，正因如此，其性质也将有许多类似之处.特别是椭圆和双曲线，其定义和标准方程具有高度的一致性，导致其相应的性质也将具有高度一致性.前四个小题的设计目的是让学生明确焦点在

x

轴上的椭圆和焦点在

y

轴上的椭圆是关于直线

y

=

x

对称的，因此对应的性质也具有这一对称性.类似地，通过比较与双曲线的定义理解对应的性质，第(5)题主要为例题讲解作铺垫.类似题组的设计有利于使学生碎片化的公式系列化，使学生对圆锥曲线的知识有系统的理解，实现数学的深度学习.

2.2 例题讲解

已知椭圆的一个焦点与抛物线

C

:

y

=2

ax

的焦点

F

重合，两条曲线在第一象限内的交点

M

满足(1)求椭圆

C

以及抛物线

C

的标准方程；(2)过椭圆另一焦点

E

作直线(斜率存在但不为零)与椭圆相交于

A

,

B

两点，在椭圆长轴 上是否存在点

P

，使得为定值？如存 在，求点

P

的坐标及这个定值；如不存在，请说明理由.

·教学设计

先解决第(1)题：

第一步 读题

出示题目后学生读题两分钟，而后教师逐步出示如下几个问题，供学生相互讨论交流：

问题1

“

M

是椭圆与双曲线在第一象限内的交点”隐藏着什么样的信息？

问题2

要求椭圆和抛物线的方程，就必须求出

a

,

b

的值，从基本算理来看，需要两个条件，但题中仅给出一个条件，对此有什么想法？

问题3

线段

MF

是什么？点

M

是椭圆和抛物线的交点，且它们有公共焦点，暗示了什么信息？

问题4

如何利用这个条件？(引导学生回答出：要用这个条件需要用到点

M

的横坐标，于是设其横坐标为

x

，再分别在椭圆和抛物线中用字母

a

,

b

及

x

表示出

MF

)

第二步 设计解题思路

①利用椭圆三个基本量本身的关系、椭圆和抛物线具有公共焦点、椭圆右焦半径等于抛物线的焦半径这三个条件列出关系式(可列三个)得到方程组；②求解这个方程组，求出

a

,

b

,

c

的值.

第三步 实施解题计划

解

设点

M

的横坐标为

x

，由于椭圆的半焦距为

c

，它与抛物线

y

=2

ax

有公共焦点，故于是椭圆的离心率为又因为求得

a

=2，于是所以椭圆方程为抛物线方程为

y

=4

x

.

接下来研究第(2)题.

第一步 读题

先弄清楚如下几个问题：

问题5

“是否存在”这一类探究性问题通常的格式是怎样的？

问题6

按理来说，由于直线和点

P

都不确定，应该是一个变量.那么题意所说是定值，它应该在谁确定的条件下为定值？本题中的变化量是什么？

问题7

向量的数量积怎样表示，你能估计出它与哪些量有关？(引导学生回答出与直线

AB

的斜率以及点

P

的坐标有关)

问题8

怎样写出的表达式，在椭圆长轴上取一点

P

，使得为定值表达了什么信息？引导学生思考出：在确定点

P

的位置后，的值与直线

AB

的斜率无关.

问题9

你能写出的表达式吗？看看需要做些什么准备工作？留一定时间给学生思考并在草稿纸上书写，而后让学生明确应先求出

A

,

B

两点的横坐标的和与积.

第二步 设计解题计划

设直线

AB

的斜率为

k

，点

P

的坐标为(

m

,0)，列出的表达式(将用

k

,

m

表示)，再针对具体的表达式进行分析，具体的运算过程在课堂上当堂完成.

第三步 实施解题计划

解

设满足条件的点

P

存在，且直线

AB

的斜率为

k

，

A

,

B

两点的坐标分别为

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

)，点

P

的坐标为

P

(

m

,0)，则直线

AB

的方程为

y

=

k

(

x

+1)，且将直线

AB

的方程

y

=

k

(

x

+1)代入椭圆方程整理得(3+4

k

)

x

+8

k

x

+4

k

-12=0，故于是由条件知是一个与

k

无关的常数，于是得此时故所求点

P

的坐标为此时为定值

2.3 课堂小结及作业布置(略)

3 教学反思

反思之一

解决一个数学问题通常包含“审题”“设计解题计划”“实施解题计划”和“解题反思”这四个步骤.当然，对一个熟练的解题者而言并不一定要严格按这四个步骤执行，但在思考的潜意识里一定有这四个步骤.在平时解题教学中经常渗透这种思考模式，对提升学生数学学科素养和思维能力非常有用.

反思之二

上述的化简由学生和教师在课堂上当堂完成，同时教师作规范板书，目的是培养学生的字母运算能力.目前，许多学生的运算能力特别是字母运算能力欠缺，而教师往往利用PPT投影的方式显示运算过程或直接忽略其运算过程而以“化简得”替而代之，这对培养学生运算能力极为不利.

反思之三

第(2)题的设计思路采用了一般到特殊的思想，对于类似的探究性问题，我们是否有其他的思路呢？比如是否可以采取从特殊到一般的思路？事实是可以的.本题中可以采用“极端思想”先找出这一个定点再加以验证，尽管题中条件告知了直线

AB

的斜率存在且不为零，但我们可以想象当直线

AB

无限接近于“与

x

轴或

y

轴平行”时，应该是相等而且等于所要探求的定值.据此考虑这两种极端情形，设点

P

坐标为

P

(

m

,0)，于是当直线斜率为零时，

A

,

B

两点的坐标分别为

A

(-2,0),

B

(2,0)，此时当直线斜率不存在时，

A

,

B

两点的坐标分别为此时故而必有求得

这一思路比较直观，从特例(或极端情形)出发找出答案再进行验证，于是将学生比较陌生的探究性问题转化为如下一个比较熟悉的证明题：

过椭圆右焦点

E

作直线(斜率存在但不为零)与椭圆相交于

A

,

B

两点，已知点求证为定值并求出这个定值.(学生思考：如果我们按这一思路解题，该如何规范书写呢？请学生课后自己整理)

反思之四

遇到一个综合性比较强的数学问题时，许多学生往往束手无策，这与平时的分析和训练有关，遇到有一定难度的数学问题时如何帮助学生在题设和目标之间通过导问的形式架设若干阶梯，将一个“大问题”分解为若干个“小问题”是教师在例题教学设计过程中必须用心思考的问题，这就是我们通常所说的“导问式教学设计”.或许有些教师会认为以导问的形式组织教学活动会影响教学进程，但是如果没有平时规范化的思维训练，怎么可能使我们的学生在考场上做到得心应手呢？有时，暂时的“慢”是为了更好的“快”.

反思之五

课堂教学不能仅仅满足于让学生听懂，而要追求让学生从“学会”上升到“会学”，更要让学生实现从“不好”到“好”的转变.“听懂”是课堂教学最基本的要求，从“不好”到“好”是课堂教学的最高目标，采用导问式教学设计可以引导学生从常规策略入手追求最佳解决问题的途径，有利于活跃学生思维、提升思维品质.