一道高考题的解法探究和问题深化

257051 山东省东营市胜利第二中学 王建敏 刘吉存

解析几何中的定值问题历来是高考的热点、难点，它能有效考查学生的数学思维品质、关键能力和数学核心素养.如2021年全国新高考Ⅰ卷第21题就是一道背景新颖、内涵丰富的试题.笔者对这道题进行多角度探究.

1 试题呈现

(1)求C的方程；

分析：本题以双曲线为背景，考查定值问题.小问(1)是求有限制条件的双曲线标准方程问题，比较基础.小问(2)是在线段等积式条件下，求两直线的斜率之和，是求隐含斜率和为定值的问题.几何背景是圆锥曲线的四点共圆，结论是所成四边形的对边(不平行时)或两对角线所在直线的倾斜角互补，当斜率均存在时，所在直线的斜率互为相反数，是直线与双曲线的综合题.本题主要考查了双曲线的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模的核心素养.

2 解法探究

以下解法略去小问(1)，只研究小问(2).

注：这是一种常规解法，利用弦长公式，借助韦达定理将线段问题转化为直线斜率问题.求定值问题的常见方法有以下两种.

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值.

这里的二次项系数一定不为0，否则直线与双曲线的渐近线平行，不可能与双曲线有两个交点.关于t的二次方程的判别式大于0⟺直线AB和直线PQ与双曲线各有两个交点⟺直线AB和直线PQ的斜率之和为0.

注：对于分点弦问题，基本的解题策略是利用直线参数方程中参数的几何意义，理解|TA|，|TB|与t1，t2的关系，利用参数的几何意义进行转化并转化为三角函数值进行计算，解答过程简洁.

注：利用曲线系和四点共圆，再根据圆的方程的特征更快捷地得到结论.

3 问题深化

本试题源于人教版高中数学教材选修4-4第38页例4：“AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1、∠2，且∠1=∠2.求证|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.”此题所考查的实质就是圆锥曲线的四点共圆问题，是圆幂定理的逆定理的应用.

3.1 四点共圆的判定

图1图2

3.2 m范围的探讨

综上所述，当且仅当点T的纵坐标m∈(-2,2)时，A，B，P，Q四点均存在，此时直线AB与直线PQ斜率之和为0.

3.3 一般化

3.3.1 问题拓展

综上所述，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.反之，当直线AB与直线PQ的斜率之和为0时，借助同样的思路可以证明|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.其中m，n只需满足Δ=(32ncosα-2msinα)2-4(16cos2α-sin2α)(16n2-m2-16)>0即可，即m2-2mntanα+(n2-1)tan2α+16>0.

3.3.2 圆锥曲线上四点共圆的一般性结论与统一证明

定理若两条直线y=kix+bi(i=1,2)与圆锥曲线ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四个交点，则四个交点共圆的充要条件是k1+k2=0.

证明：两条直线组成的曲线方程为(k1x+b1-y)·(k2x+b2-y)=0，则过四个交点的曲线方程可以设为(k1x+b1-y)·(k2x+b2-y)+λ(ax2+by2+cx+dy+e)=0 ①.

必要性若四点共圆，则方程①表示圆，则①式左边展开式中xy项的系数为0，即k1+k2=0.

方程②的几何意义是如下三种情形之一：表示一个圆、表示一个点、无轨迹.由题设知四个交点在方程②所表示的曲线上，故方程②表示圆.

注：(1)方程ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)是对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线(圆除外)的统一形式，统一的证明必须有统一的表现形

式.从统一的思想高度来思考问题，必须求大同存小异，考虑共性的特征，否则，会陷入细枝末节中而不能自拔.本证法是数学形式化与数学本质的完美结合，证法简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美.

(2)k1+k2=0是四点共圆的充要条件，λ是一个与k1，k2相伴随的待定常数，只要存在这样的常数使方程①表示圆即可.

上述定理用文字表述即为：斜率均存在的两条直线与圆锥曲线有四个交点，则四个交点共圆的充要条件是两直线的斜率互为相反数.这是一个非常简洁的充要条件，运用这个定理可简洁解决圆锥曲线上四点共圆的高考难题和数学问题.