用整体法解二元一次方程组

2022-11-17 01:45周雪
数理天地(初中版) 2022年21期
关键词:二元一次方程组运算

周雪

【摘要】 二元一次方程组是初中数学中最重要的知识点之一,解二元一次方程组一般采用代入消元法和加减消元法等常规方法.但对于某些特殊系数结构的二元一次方程组时,可运用整体的方法解决问题,相比代入消元法和加减消元法解题更方便.本文将通过例题和练习说明整体法解决二元一次方程的巧妙之处.

【关键词】 二元一次方程组;整体法;运算

例1 解方程组

3x-2y=1,3x+y=7.①②

分析 方程①和②中x的系数都是3,可把3x当作整体进行运算.

解 由方程①得 3x=1+2y,③

将③代入②,得1+2y+y=7,④

解得y=2.

把y=2代入①,得 x=53.

所以,方程组的解为x=53,y=2.

例2 解方程组

x-2=2(y-1),2(x-2)+y-1=5.①②

分析1 方程①和②中都含有x-2,把它看作一个整体进行运算.

解 把①代入②,得

4(y-1)+y-1=5,

解得y=2.

把y=2代入①,得x=4.

所以,方程组的解为x=4,y=2.

分析2 方程①和②中都含有x-2和y-1,可把它们分别看成一个整体进行求解.

解 整理得(x-2)-2(y-1)=0,2(x-2)+(y-1)=5.③④

③×2-④,得

2(x-2)-2(x-2)-(y-1)=4(y-1)-5,

解得y=2.

把y=2代入①,得x=4.

所以,方程组的解为x=4,y=2.

例3 解方程组

2022x+2023y=2022,2023x+2022y=2023.①②

分析 方程组中未知数x和y的系数较大,观察发现方程①和②未知数x和y的系数和同为4045,可运用整体的方法求解.

解 ①+②,得 4045x+4045y=4045,

x+y=1,③

②-③×2022,得x=1.

把x=1代入①,得y=0.

所以,方程組的解为x=1,y=0.

例4 若方程组2x+y=1+3a,x+2y=1-a.①②的解互为相反数,求a的值.

解 方程①中未知数x,y的系数分别为2,1,方程②中未知数x,y的系数分别为1,2,相同未知数的和同为3,可以运用整体的方法解决.

解 ①+②,得 3x+3y=2a+2,

3(x+y)=2a+2.③

由题知x+y=0,代入③,得a=-1.

例5 解方程组

a+2b=1,2a+7b=6.①②

分析 方程②中的7b可拆成4b+3b,把2a+4b看作一个整体,是方程①中a+2b的2倍关系,运用整体的方法解决问题.

解 方程②可变形为 2a+4b+3b=6,

即2(a+2b)+3b=6,③

将①代入③,得b=43.

把b=43代入①,得a=-53.

所以,方程组的解为a=-53,b=43.

例6 已知关于x,y的二元一次方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.的解为x=4,y=6.则方程组4a1x+3b1y=5c1,4a2x+3b2y=5c2.的解为(  )

(A)x=4,y=6.    (B)x=5,y=10.

(C)x=6,y=4.(D)x=-2,y=-3.

分析 整理方程组可发现形式上的相同点,自然应用整体法解决问题.

解 整理方程组得

a145x+b135y=c1,

a245x+b235y=c2.

所以45x=4,35y=6.

所以方程组的解为x=5,y=10.

练习

1.解方程组:

(1)x-2y=1,3x-7y=5.

(2)3x+y=1,x+3y=3.

(3)2(x+2)-3(y-1)=13,3(x+2)+5(y-1)=10.

2.解方程组:x+y2+x-y3=7,3(x+y)2+x-y3=17.

答案

1.(1)x=-3,y=-2.(2)x=0,y=1.(3)x=3,y=0.

2.x=8,y=2.

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