用面积解几何问题

崔涛

【摘要】 用面积法来解几何题，将几何元素之间的关系变成数量之间的关系，往往能使问题顺利获解.

【关键词】 面积法；几何元素；不变性

一些数学问题，表面上看似与面积无关，但巧借面积建立各种几何量之间的联系，往往能使问题顺利获解.下面举例说明面积法在解几何问题中的应用.

1 利用同一个图形的面积不变性解题

从不同的角度使用面积公式来表示同一个图形的面积，列出方程后即可求出未知的量.

例1 如图1，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB=5，BC=4，AC=6，则CE∶AD∶BF值为.

分析 根据三角形三条高线交于一点，可得BF⊥AC，再根据三角形面积是一定的，即可得到CE∶AD∶BF值．

解 因为在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，

所以BF⊥AC，

因为AB=5，BC=4，AC=6，

所以S△ABC=12BC·AD=12AB·CE

=12AC·BF，

所以S△ABC=2AD=52CE=3BF，

所以CE∶AD∶BF=12∶15∶10．

注 本题考查了三角形的高以及三角形的面积，解题的关键是掌握“三角形的三条高交于一点”，熟练掌握三角形面积公式，难点是得到BF⊥AC．

例2 如图2，菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24．则菱形的高等于.

分析 由题意，得菱形的面积=12×10×24=120，设菱形的高为h，则菱形的面积=AB·h=13h=120，即可求解.

解 由题意得，菱形的面积=12×10×24=120，

因为AC=10，BD=24，

则AO=5，BO=12，

由勾股定理 AB=AO2+BO2=13，

设菱形的高为h，则菱形的面积=AB·h=13h=120，

解得h=12013.

注 本题考查的是菱形面积的计算方法，利用两种不同方法求解菱形面积是本题解题的关键.

2 利用两个图形之间面积的比解题

常用结论：（1）等底等高的两个三角形的面积相等;（2）等底不等高的两个三角形面积的比等于其对应高的比;（3）等高不等底的两个三角形面积的比等于其对应底的比.

例3 如图3，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3FE，则BDDC=.

分析 连接ED，由BE是△ABC的中线，得到

S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，

由BF=3FE，得到

S△ABFS△AFE=3，S△BFDS△FED=3，

设S△AEF=x，S△EFD=y，

由面积的等量关系解得x=53y，最后根據等高三角形的性质解得S△ABDS△ADC=BDDC，据此解题即可．

解 连接ED，因为BE是△ABC的中线，

所以S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，

因为BF=3FE，

所以S△ABFS△AFE=3，S△BFDS△FED=3，

设S△AEF=x，S△EFD=y，

所以S△ABF=3x，S△BFD=3y，

所以S△ABE=4x，S△BEC=4x，S△BED=4y，

所以S△EDC=S△BEC-S△BED=4x-4y，

因为S△ADE=S△EDC，

所以x+y=4x-4y，

所以x=53y，

所以△ABD与△ADC是等高三角形，

所以S△ABDS△ADC=BDDC=3x+3yx+y+4x-4y=3x+3y5x-3y

=3×53y+3y5×53y-3y=8y163y=32．

注 本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

3 利用面积的可分性解题

将图形分成若干个小三角形，利用其整体面积等于各部分面积的和建立关于条件和结论的表达式，从而解决问题.

例4 如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，按下列步骤作图：

步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC，AB于点D，E．

步骤2：分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点M．

步骤3：作射线AM交BC于点F．

则AF的长为（  ）

（A） 6. （B）35. （C）43. （D）62.

分析 利用基本作图得到AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到FH=FC，再根据勾股定理计算出AC=6，设CF=x，则FH=x，然后利用面积法得到12×10·x+12×6·x=12×6×8，解得x=3，最后利用勾股定理计算AF的长.

解 由作法得AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图4，

因为AF平分∠BAC，

FH⊥AB，FC⊥AC，

所以FH=FC，

在△ABC中，因为 ∠C=90°，

AB=10，BC=8，

所以AC=AB2-BC2=6.

设CF=x，则FH=x，

因为S△ABF+S△ACF=S△ABC，

所以12×10·x+12×6·x=12×6×8，

解得x=3，

在Rt△ACF中，

AF=AC2+CF2=35．

故选（B）.

注 本题考查了基本作图以及角平分线的性质．

例5 如图5，在ABCD中，对角线BD=8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE=3cm，BC=4cm，则AD与BC之间的距离为.

分析 设AB与CD之间的距离为h，由条件可知ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得ABCD的面积，再S四边形ABCD＝BC·h，可求得h的长．

解 因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AB＝CD，AD＝BC，

在△ABD和△BCD中，AB=CD，BD=DB，AD=BC，

所以△ABD≌△CDB（SSS），

因为AE⊥BD，

AE＝3cm，BD＝8cm，

所以S△ABD＝12BD·AE＝12×8×3＝12（cm2），

所以S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，

设AD与BC之间的距离为h，

因为BC＝4cm，

所以S四边形ABCD＝12BC·h＝4h，

所以4h＝24，

解得h＝6cm．

注 本题主要考查平行四边形的性质，由条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键，再借助等积法求解使解题事半功倍．