杨辉的简捷算法思想

李京昌，郭世荣

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

《乘除通变本末》共三卷，杨辉于1274 年完成，其中下卷与史仲荣合作。卷上的“习算纲目”，受到研究者的广泛重视。目前对唐代以来简捷算法的发展与演变已有一些研究，关于杨辉著作中的个别内容也有少量的论述，但是对于杨辉这部著作中的整体思想缺少研究和论述。本文将对简捷算法的发展历程进行梳理，同时结合杨辉著作中的各种简捷算法，分析杨辉对于简捷算法的认识，并对杨辉的简捷算法思想进行深入分析与研究，探讨其主要特点，最后以杨辉著作中的例题为主要研究对象，讨论杨辉是如何应用其简捷算法的思想来解决实际问题。

1 《杨辉算法》中的简捷算法

杨辉是南宋数学家和数学教育家。他注意收集社会生产和生活中的数学问题，多年从事数学研究和数学工作，先后完成数学著作5 种21 卷，即《详解九章算法》12 卷（1261），《日用算法》2 卷（1262），《乘除通变本末》3 卷（1274），《田亩比类乘除捷法》2 卷（1275）和《续古摘奇算法》2 卷（1275），后三种合称为《杨辉算法》。其中《日用算法》已失传。

《乘除通变本末》几乎囊括了当时所有的简捷算法，并且取得新的成果。杨辉在序言中说“学者惟知有加减、归损之术，而不知伸引变通之用”［1］1047，正体现了杨辉的简捷算法思想。《田亩比类乘除捷法》中有大量的题目采用了多种算法进行求解，在一定程度上体现了杨辉在解题时寻求简捷算法的思想。因此，本文将对《杨辉算书》中的简捷算法进行介绍和概括，同时探讨杨辉的简捷算法思想。

1.1 《算法通变本末》中的简捷算法

《乘除通变本末》卷上为《算法通变本末》，内容可分为三部分：

第一部分“习算纲目”为学习实用算术者制订出了一个详备的大纲，是一份珍贵的古代数学教学计划［2］，也是我国最早的数学教学大纲［3］。介绍了学习数学的三个阶段：首先学习乘除的基本算法，其次学习乘除简捷算法及各种引申出来的问题，最后系统地学习《九章算术》［4］。《习算纲目》中有完善的数学知识体系，明确的技能培训要求，可行的学习进度日程，精辟的教材层次分析，有适用的教学参考书目，中肯的学习方法指导［5］。

习算纲目之后简要论述了三个基本问题：“乘除加减用法”“因乘损三法即一”和“乘除加减定法”。“乘除加减用法”，即用加减化简乘除的算法，杨辉的简捷算法就是围绕以加减代乘除这一中心展开的，这是研究杨辉简捷算法的关键［6］。这一部分讲述了运算过程中使用的具体方法。“因乘损三法即一”，即因、乘、损是三种意义相同的运算。“乘除加减定法”，即乘除运算和加减代乘除运算中如何定位的问题。

第二部分“相乘六法”分别为：（1）单因，被乘数为多位数，乘数为一位数的乘法运算；（2）重因，当乘数可以按九九乘法表分解为两个一位数乘积时，可用这些一位因数，连续进行“单因”运算；（3）身前因，当乘数个位为1 时，利用这些乘数个位数字为1 的特点，将十位上数字与被乘数相乘，将积向高位移一位，加上原被乘数，即可得积；（4）相乘，是被乘数与乘数都是多位数的乘法运算，运算方法是依次由高位数到低位数，用被乘数的各数位上的数字与乘数作单因运算；（5）重乘，如果乘数能分解成几个不是1 的整数的积，其中至少有一个不是一位数，可用被乘数连乘这几个因数得到积；（6）损乘，是一种用减法配合加法代替乘法的运算。

第三部分“商除二法”即“实多法少”和“实少法多”。就是除法运算中的两种定位方法，一种是被除数大，除数小；另一种是被除数小，除数大。（1）实多法少：被除数大于除数时，从被除数的首位开始估商，然后由被除数中减去所估商与除数的积，要用九九乘法表的口诀，凡用到有“十”的口诀就在上位减，用到有“如”的口诀就在本位减数。（2）实少法多：如同“实多法少”的运算法则，把除数换成被除数，把被除数换成除数。

1.2 《乘除通变算宝》中的简捷算法

卷中为《乘除通变算宝》，是全书最重要的一卷，有关乘除的各种方法大部分都集中在本卷。内容可分为“加术五法”“减术四法”“求一法”“九归法”以及“算无定法”五部分。

第一部分为“加术五法”，是以加代乘的方法。（1）加一位：当乘数是11，12，13，…，18，19 时适用，这些乘数都是两位数，十位都是1，个位的数是从1 到9。杨辉称个位上的数为“零数”，“加一位”就是将被乘数乘以10，再加上被乘数乘以“零数”的积。（2）加二位：当乘数是111，112，113，…，198，199 时适用。（3）重加：如果题中乘数可以化为因数乘积的形式，再用“加一位”的方法求积。（4）加隔位：当乘数是101，102，…，109 时适用。（5）连身加：当乘数为21，22，…，29 时适用。

第二部分为“减术四法”，是以减代除的方法。（1）减一位：当除数为11，12，…，19 时适用。（2）减二位：当除数为111，112，…，198，199 时适用。（3）重减：当遇到除数数位较多时，可把除数写成首位为1 的几个因数连乘的形式，用多次“减一位”运算。（4）隔位减：当除数为101，102，…，109 时适用。

第三部分为“求一法”，即将乘数或除数首位不是1 转化为1 的方法。杨辉在这一部分分别给出了“求一乘法”和“求一除法”的口诀。（1）求一乘法：五六七八九，倍之数不走；二三须当半，遇四两折纽；倍折本从法，实即反其有；用加以代乘，斯数足可守。（2）求一除法：五六七八九，倍之数不走；二三须当半，遇四两折纽；倍折本从法，为除积相就；用减以代除，定位求如旧。

第四部分为“九归详说”，“九归法”即除数是1，2，…，8，9 的除法。杨辉在前人工作的基础上，归纳总结出“九归新括”，共有“归数求成十”“归除自上加”和“半而为五计”三类，还给出了运算的定位法则“定位退无差”。杨辉还举出了除数分别为83、69 的两个例题，他认为两位以上的数作除数时也可以仿照“九归”制定相应的口诀。［7］

第五部分为“算无定法”，这一部分的题目，没有十分明显的规律，可以用多种不同的算法来进行运算，体现了杨辉“算无定法，惟理是用”的思想，并且举出实例，将“损乘”法则的“损一位”推广到“损二位”“损三位”和“隔位损”。

1.3 杨辉对于简捷算法的认识

杨辉在《算法通变本末》中的“习算纲目”中提道：“诸家算书用度不出乘、除、开方三法，起例不出如、十二字，下算不出横、直二位。引而伸之，其机殆无穷尽矣，乘除者本钩深致远之法。《指南算法》以加、减、九归、求一，旁求捷径。学者岂容不晓，宜兼而用之。”［1］1048由此可知，杨辉对于简捷算法的重要性有清晰的认识，对过去数学著作中的简捷算法进行总结，并且提出自己的观点。如《指南算法》这部数学著作现已失传，但是通过杨辉在其著作中的记述，可以知道《指南算法》中提到了关于加减法、九归和求一的简捷算法。

杨辉在《习算纲目》中提到了关于分数的看法：“《张丘建算经》序云：不患乘除为难，而患分母、子之为难。以辉言之，分子本不为难，不过位繁。剖析诸分，不致差错而已矣。”［1］1049可以看出，《张丘建算经》中认为分数运算是各种运算中的难点，而杨辉则认为分数运算并不难，只是运算过程中定位比较复杂。所以，杨辉在其著作中也强调了在运算过程中布算和定位的重要性。

杨辉的著作与过去的数学经典著作如《九章算术》相比，例题有详细的解释，并且附有详尽的解答过程与演算过程（图1）。

图1 相乘法示意图Fig.1 Multiplication schematic diagram

如杨辉在介绍“相乘”时列举的例题为：

“银二十四两七钱，每两价钱七贯三百六十文，问钱若干？

答曰：一百八十一贯七百九十二文。

草曰：置银数为实，两价为法。”［1］1053

此即：24.7×7 360=247×736=181 792

在介绍“连身加”时的例题为：

“铜二十九砣，每砣二十三斤，问重几何。

答曰：六百六十七斤。

草曰：置铜数为身。先加三，后入身。”

此即：29×23=29×（10+13）=290+377=667。

“又草曰：置二十三斤为身。先加九，后入身。”［1］1056

此即：29×23=23×（10+19）=230+437=667。

具体解题过程如图2-3 所示。

图2 连身加法示意图（1）Fig.2 The schematic diagram of double addition

图3 连身加法示意图（2）Fig.3 The schematic diagram of double addition

综上所述，杨辉充分认识到简捷算法的重要性，只有充分掌握各种简捷算法，才能更好的学习数学知识，即他所言“学者岂容不晓，宜兼而用之”。所以他尽可能的对前人的研究进行收集并总结，但并不迷信前人及经典著作中的观点，敢于提出自己的想法，值得学习。

杨辉在《乘除通变本末》中详细论述了各种关于乘除的简捷算法，他的目的并不是单纯的介绍这些简捷算法，而是如何应用这些简捷算法来解决实际问题。所以他在书中用大量篇幅列举了许多例题，每道例题都有详细的解答过程，有的例题甚至有多种解题方法。可以看出杨辉已经形成了自己关于简捷算法的思想。

2 杨辉简捷算法思想的分析

简捷算法盛行于唐代，到宋代逐渐丰富和发展，形成了数学的一个领域，是宋代数学的研究方向之一［6］149。《乘除通变本末》三卷正是杨辉在简捷算法方面的研究成果。杨辉把前人著作中的零散算法汇集，然后按乘、除分为两大类逐一介绍。杨辉简捷算法的重点在其著作的名字中就体现出来：“通变”和“加减代乘除”。

从全书整体看，杨辉在卷上《算法通变本末》的“习算纲目”中，阐述了学习乘除的方法和简化算法的必要性，并具体提出简化方法：以加代乘、以减代除、求一、九归等。然后先给出“乘除加减用法”，指出基本的运算方法和定位方法，并说明乘、因、损三个概念的一致性，这是进行乘除运算的基本规则，接下来介绍了相乘的六种方法和作估商除法的两种定位方法。卷中《乘除通变算宝》在之前内容的基础上，开始探讨简化乘除法的方法：加法五术和减法四术，这是解决首位数是1 的乘数或除数的乘除法的，首位数如是其他数，则用“求一法”，给出将首位数化成1。同时，为方便除法计算，又给出各种除法口诀。在本卷的最后，杨辉强调“算无定法，惟理是用”的原则，还给出了适用于各种方法的“定位详说”。卷下《法算取用本末》给出了“加因代乘三百题”和“归减代除三百题”，是对前两卷所介绍方法的具体分析。

杨辉提出的简捷算法种类丰富，方法灵活，其背后的思想值得深入分析。

2.1 关于乘除的简捷算法思想

杨辉关于乘除简捷算法主要介绍了与乘法相关的相乘六法、加法五术和求一乘法，与除法相关的商除二法、减法四术、求一除法和九归除。他还细分了前乘、后乘等不同的情形，在实际计算题目中还包括其它一些算法，如归除、飞归等。这些算法都是乘除法的一种，有些在前人的数学著作中出现过，但只是在个别算题中偶尔使用，既没有解释，也缺少系统说明。杨辉不仅收集和整理这些算法，并进行系统论述，具体解释每一种算法的运算步骤与过程，并配有算题、算图和算草，表述清晰明确。杨辉还详细总结了倍、折以实现“求一”的技术处理方法，并编成口诀，指明遇到实际算题时，如何通过倍、折将计算转化为可以用“加法”或“减法”进行运算。

同时，杨辉更关注算法的多样性，所以他汇集并详细讲述计算乘除运算的各种可能方法，并且细分算法，尽量多的给出各种算法。比如“加法五术”原理相同，“减法五术”原理亦同，完全可以合并讲解，但是他认为只有分别讲解才能更清晰明确。所以说杨辉的基本思想就是要从多角度、全方面地审视乘除运算，尽可能开发计算的新视野，穷尽各种可能性。

杨辉在其著作中都提到了他对于简捷算法的看法。他在《乘除通变算宝》中的“求一代乘除说”中提道：“随题用法者捷，以法就题者拙。”［1］1057在“算无定法详说”中说：“算无定法，惟理是用。”［1］1060可以看出杨辉关于乘除简捷算法的思想就是“随题用法”，所以他先在书中尽可能多地列举各种算法，就是为了之后的应用，面对不同的题选择不同的算法，最终达到“通变”的目的。他在卷下《法算取用本末》中列出了“加因代乘三百题”和“归减代除三百题”，即乘数和除数为1-300 时的运算方法，集中体现了杨辉的这种思想。在这些题中，杨辉采用灵活多变的运算方法，比如在计算乘数为101-109 的问题时，用“隔位加零”的方法进行计算，但在乘数为105 的计算时，其方法是“七因加五”；乘数为108 时，方法是“六因加八”。说明杨辉尽可能全面地列举乘除的各种简捷算法是为实际运算中可以选择更合适、更便捷的方法来进行计算，并非单纯只讲方法来生硬套用。

此外，杨辉在卷上《算法通变本末》中说：“因法不独能乘，而亦能除。”［1］1050即杨辉认为乘除法之间可以互相转化。如：

“钱二千七百四十六贯，买田每亩二十贯，问共买几亩。

答曰：一百三十七亩七十二步。

术曰：五因以代二除也。”［1］1057

即2 746÷20=27.46×5=137.3。

同时，用乘法代替除法进行计算的问题还可以运用于近似计算：

“粟二千七百四十六石，给一千一百一十一人，问各几何。

答曰：二石四斗七升一合四勺。总余二斗七升四合六勺。

术曰：九因以代繁一除也。”［1］1052

即2 746÷1 111=0.274 6×9 ≈2.471 4。

因此，可以看出杨辉的简捷算法思想的核心就是“通变”，他详细介绍了各种各样的简捷算法，并且通过加减代乘除、以因代除等不同的运算方法，说明了加减乘除运算之间可以互相转化，并且在面对不同的问题要“随题用法”，灵活的运用各种简捷算法来解决不同的问题。杨辉对于简捷算法的认识就是不同的运算法则之间可以“通变”，一道问题的不同运算方法之间也可以“通变”，他的这种思想，对于当下的数学研究同样具有积极意义。

2.2 一题多解的思想

通过《习算纲目》可以看出，杨辉为数学初学者制定了详细的教学大纲与学习计划，由浅入深、循序渐进地对数学知识进行了梳理与讲解，同时书中运算法则、计算方法、数学理论、例题习题一应俱全，可以称得上是一部非常优秀的数学教科书，而且对于数学教育者讲授数学理论知识、编写数学教材，都具有较高的参考价值。杨辉在书中的部分题目中用两种或以上方法来解题，这种“一题多解”的思想，不仅为数学学习者提供了不同解题思路，同时也反映了杨辉在数学教育方面的理念。“一题多解”的思想，对当下数学的发展也有着积极意义，在数学教学与研究中提倡一题多解，对数学学习者鼓励发散思维、开拓视野，而对数学教育者，也可以更加全面的阐述数学知识。

杨辉《详解九章算法》中，第十卷为“题兼二法”，共十二问。衰分，方程：九节竹；互换，盈朒：故问粝米、持钱之属，油自和漆；合率，盈胸：瓜瓠求逢；分率，盈胞：玉石隐互，二酒求价，金银易重，善恶求田；方程，盈腩：二器求容，牛羊直金；勾股，合率：勾中容方。杨辉在《九章算术》原有解法的基础上，又给出了自己的解法。如第三题“持钱之属”，《九章算术》采用盈不足术计算，杨辉给出另一种解法，所以这道题即可用盈不足术计算，也可用互换术计算。

杨辉在《田亩比类乘除捷法》61 题中，有14 题列有两种或两种以上方法，对某些题目不同方法的繁简差不多，可以起到互相验证的作用。但在更多的情况下，方法是有繁有简的。杨辉的意图在于比较优劣，提倡简捷法。杨辉认为数学学习者应该根据具体的题目来选择相应的算法，而本书作为数学启蒙读物，应该列举多种计算方法，从而使方法的选择趋于优化和合理。

杨辉在《乘除通变本末》卷下《法算取用本末》中更集中体现了这一思想。如在“加因代乘三百题”中乘数二十一至二十九的计算问题，总法是用连身加，而乘数为二十一时算法采用“三因七因”，乘数为二十五时算法采用“两次折半”。

杨辉“一题多解”的思想，正是其对简捷算法思想的延伸：在一道题中尽可能多地列举各种解题方法，对比不同解题方法的优劣，面对不同的问题灵活选取合适的简捷算法，“随题用法”，以达到“通变”的目的。同时，从数学教育的角度来讲，对同一问题从不同角度讨论，最后得出正确答案，不仅对问题本身有了更加全面充分的认识，而且拓宽了解题思路，对数学学习者有更好的启迪效果。

3 杨辉简捷算法思想的应用——“随题用法”

杨辉简捷算法思想“通变”的最终目的，是更好的掌握数学知识和数学方法，并以此来解决实际问题。因此，杨辉的数学著作在编排结构上也有相似之处，即开始都是尽可能详细、全面的列举数学方法，接下来则是具体如何应用。如在《乘除通变本末》的上中二卷是在前人的基础上详细介绍各种关于乘除的简捷算法，下卷则列举加因代乘三百题和归减代除三百题来对之前讲到的各种简捷算法进行应用。同样在《田亩比类乘除捷法》卷上介绍了各种田亩的图形，卷下则是进一步引申介绍了开方法，并且在许多题目中都给出了不同的解题方法。这种编排结构正体现了其“随题用法者捷，以法就题者拙”的思想。

3.1 《法算取用本末》中的简捷算法

《乘除通变本末》卷下为《法算取用本末》，本卷为杨辉与史仲荣合著。本卷内容为乘除捷法的应用问题，由“加因代乘三百题”和“归减代除三百题”两部分构成。

第一部分为“加因代乘三百题”，主要用“加”和“因”这两类算法替代乘法。“加”包括“加一位”“加二位”“隔位加”；“因”包括“单因”“重因”“身前因”等。根据乘数的特点分7 组给出算法：

（1）乘数为1-9 的乘法：乘数为1，10，100 时，只需定位，不必另外计算；乘数为2 时，直接翻倍即可；乘数为3，4，6 时，其运算为“因”；乘数为5 时，其运算为“折半进”，即a×5=a÷2×10；乘数为7，8，9 时，其运算为“损乘”。

（2）乘数为11-19 的乘法：这种运算与“加”相同，是“加一位。”

（3）乘数为21-29 的乘法：一般用“连身加”，具体到不同的乘数应采用不同的方法。如乘数为22 时，用“倍位加一”，即a×22=a×2×11；乘数为23 时，用“损二位”算法，“一定百，退七七”，即a×23=a×(100-77)；乘数为29 时，用“连身加九”，即a×29=a×(10+19)。

（4）乘数为31-100 的乘法：“用杂法”，即根据不同的情况采用不同的方法。如乘数为31 时，“身前因三”，即a×31=a×(30+1)=a×30+a；乘数为37 时，“加一一用三除”，即a×37=a×111÷3；乘数为92 时，“四因退七七”，即a×92=a×4×(100-77)。

（5）乘数为101-109 的乘法：用“隔位加零”；即“隔位加”，但这只是总法，具体到不同数会采用不同的方法。如乘数为102 时，用“六因加七”，即a×102=a×6×17。

（6）乘数为111-199 的乘法：用“并加两位”，即“加二位”。如乘数为113 时，用“加一三”，即a×113=a×(100+13)=a×100+a×13。

（7）乘数为201-300 的乘法：“用杂法”，即根据不同的情况采用不同的方法。如乘数为204 时，用“加二加七”，即a×204=a×12×17；乘数为291 时，用“三因隔位退三”，即a×291=a×3×(100-3)。

第二部分为“归减代除三百题”，主要用“归”和“减”这两类算法代除法。“归”包括“九归”“归除”；“减”包括“减一位”“减二位”“隔位减”等，根据除数的特点分7 组给出算法：

（1）除数为1-9 的除法：“总同归法”；即基本上用“归”法。如除数为9 时，用“九归，或两次三归”。

（2）除数为11-19 的除法：“从上位减”；即基本上用“减”法。如除数为13 时，用“减三”。

（3）除数为21-100 的除法：“随题用法”；即根据不同的情况采用不同的方法。如除数为26 时，用“折半减三”，即a÷26=a÷2÷13；除数为41 时，用“三因减二三”，即a÷41=a×3÷123。

（4）除数为101-109 的除法：“隔位减零”；“先有隔位加，故立隔位减。”

（5）除数为111-189 的除法：“减两位”；“有加两位之法，则立减两位之术。”

（6）除数为191-199 的除法：“置积数，从上逐位折半，见一隔位还零，遇本数起而成百”；如除数为198时，“折半，九归，减一”，即a÷198=a÷2÷9÷11。

（7）除数为201-300 的除法：“随题用法”，即根据不同的情况采用不同的方法［7］142。如除数为219 时，用“减四六，减五”，即a÷219=a÷146÷15；如除数为294 时，用“六归，两次七归”，即a÷294=a÷6÷7÷7。

3.2 《田亩比类乘除捷法》中的简捷算法

《田亩比类乘除捷法》61 题中，有14 题列有两种或两种以上方法。通过比较不同算法的优劣，从中选择最简捷的算法。

如《田亩比类乘除捷法》卷下第四题：

“直田长四十八步，阔四十步，计积八亩。今欲依原长四十八步，截卖三亩，问阔几何。

答曰：阔十五步。

商除术曰：置截积七百二十步，以原长四十八除之，得阔。合问。

互换术曰：置阔四十步，以所截三亩乘之；以原田八亩除之，亦得十五步。尤捷。”［1］1085

《田亩比类乘除捷法》卷下第十二题：

“直田积八百六十四步，只云长、阔共六十步。欲先求阔步，得几何。

答曰：二十四步。

益隅术曰：置积为实，共步为从方，以一为益隅，开平方除之。

减从术曰：置积为实，共步为从方，以一为负隅，开平方除之。”［1］1088

3.3 “随题用法”的思想

综上所述，在研究杨辉的简捷算法思想乃至其整体的数学思想时，不能将其著作分割开独立进行研究，而应看做一个整体。比如在杨辉的《乘除通变本末》三卷中，《算法通变本末》卷上在开篇就介绍了“习算纲目”，接下来就是基本的运算方法：相乘六法和商除二法；《乘除通变算宝》卷中在卷上的基础上，对算法进行了拓展，进一步论述了加法五术、减法四术、求一乘法和求一除法等一系列简捷算法；《法算取用本末》卷下可以看做是卷上和卷中的应用，在卷下介绍的“加因代乘三百题”和“归减代除三百题”详细讲解1-300 乘除运算的简捷算法。

杨辉简捷算法思想的核心就是“通变”，目的就是使数学学习者能够学“通”，在学“通”之后求“变”，杨辉在许多例题中都列有多种解题方法，希望数学学习者能够对不同的解题方法进行对比择优，选用最便捷的方法进行求解，同时也可以养成在解答数学问题时主动寻求最简捷方法的思想。

杨辉在“求一代乘除说”中说道：“随题用法者捷，以法就题者拙。遇求一题则用求一法，遇九归题则用九归法。或倍、或折、或加、或减、或因、或变。莫不随题用意。”［1］1058

杨辉在其著作中系统介绍了简捷算法，其目的是“通变”，而“通变”的最终应用就是“随题用法”。只有把各种运算方法全面系统的掌握，才可以在解决数学问题时灵活运用，最终达到“随题用法”。所以，杨辉“通变”的简捷算法思想是“随题用法”的指导，而“随题用法”则是“通变”的应用和目的。

4 小结

宋代的科学技术处于中国古代的高峰时期，在数学、医学、天文、建筑、水利等方面都取得了领先世界的成就。宋代的教育相比之前也非常发达，地方教育以及各地书院的兴起，使得越来越多的人可以学习文化知识；印刷术的广泛使用也为宋代教育的发展提供了相应的物质基础，共同促进了宋代教育的繁荣。

杨辉的研究成果正是在这种时代背景下取得的。随着民间教育的普及，数学教育变得越来越重要，杨辉在《习算纲目》中制定的数学学习大纲，详细列出了每个阶段的教学进度，学习重点和课程时长，非常适合数学初学者；同时，杨辉提倡的简捷算法在经济繁荣的背景下，在商业和手工业方面也有着广阔的应用空间。杨辉归纳总结了前人著作中出现的各种乘除简捷算法，同时结合自己的日常生活与研究工作，不仅对各种乘除简捷算法进行了收集与整理，还进行了系统论述，详细、具体解释了各种算法的运算步骤，并且配有算题、算草，尽可能的给出各种算法，展示了算法的多样性与运算的灵活性。

宋元时期的主要计算工具仍是算筹，在筹算为主的年代里，能够记下各种乘除简捷算法并不是一件容易的事。因此，杨辉在其著作中引入了大量的歌诀，使繁杂而单调的计算变的灵活而有效。杨辉以歌诀的形式记载并总结乘除简捷算法，对珠算的发展也起到了促进作用。刘钝认为杨辉在《乘除通变本末》中对唐中叶以来的算法改革作了系统的总结，并将当时流行的“九归”歌诀进行精简，杨辉还在其著作中给出除数为两位以上的除法口诀，成为后来“飞归”的先河，之后朱世杰简化了杨辉的“九归”歌诀，而经过其简化的歌诀，与现代珠算的口诀基本一致。可以说杨辉对各种乘除简捷算法的记载，反映了珠算产生前筹算算法变革的历史［8］。李俨认为归除歌诀，最早记载于杨辉的《日用算法》与《乘除通变本末》，之后又见于元朱世杰《算学启蒙》，只是杨辉和朱世杰都用筹算来进行说明，到了明代吴敬《九章算法比类大全》和程大位《算法统宗》中的珠算依然沿用了这些歌诀［9］。

杨辉在其著作中所记载的乘除简捷算法，不但在当时的社会实践中起到积极作用，而且构成了从筹算向珠算过渡的必要桥梁［10］。杨辉的乘除简捷算法不仅可以解决当时社会的许多实际应用问题，而且对以乘除法为主的基本算法的普及工作以及后世珠算发展发挥了积极的促进作用。因此，杨辉的简捷算法思想对中国古代数学的发展具有重要影响，值得继续深入研究。