初中数学中三角下放的探索
——张景中教育数学思想的实践研究

周国飞

（甘肃省敦煌市第二中学，甘肃 敦煌）

数学是一门基础学科，数学与物理、化学、生物学、医学、天文等息息相关，并为其提供基础思维方式。数学发展的滞后会影响科技的进步和社会的发展，而数学发展的关键在于数学教育。近年来，在教学教育方面的改革此起彼伏，从教育理念、教学内容、课程设计、素养评价方面都做了大量卓有成效的尝试，其中数学家张景中的教学思想便是着眼数学前沿发展和基础教学结合视角的典型，对初中数学教学具有重要指导意义。

一、张景中的教学思想

张景中院士提出的教育数学思想促进了中学数学教育改革。张景中院士是我国著名的数学家、教育家，早年曾是一名中学教师，多年的教学经历让张院士既可以以一名教师的角度思考数学，又有数学家的高度研究教育。结合一线教师的教学实际，不断完善数学教材改革方案，又不断创作科普读物，用生动、通俗的故事和数学家的眼光普及数学知识。在《从数学教育到教育数学》中，张先生提出数学教育改革要注重教育成果的再创造，从而形成方向和学科，特别是将平面几何的面积法下放到七年级，可以提高学生解决问题的能力，培养学生的学习兴趣，锻炼学生的逻辑思维能力。

二、初中数学教学的困惑

笔者从事数学教学已经21年，使用过的版本有人教版、华东师大版和北师大版，对比近几年教材的变化，笔者发现在教材体系中几何的占比大大减少：重心、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理、圆与圆的位置关系等在初中阶段已全部删减；几何中的例题越来越简单，大部分是基础证明题，对技巧性的要求比较低；个别定理、例题是利用验证、比对和实验的结论得出的，没有严格的推理论证，学生知其然，不知其所以然，没有体现出思想方法，不利于学生思维的培养。

张景中院士的教育数学思想，将数学思想渗透到数学实践中，使数学知识和思想在数学课堂中有了相辅相成之效。初中数学教学应有意识地挖掘知识背后的思想，从而使数学学习充盈思维自身的活力，学生能够运用思维转化的力量，将较为复杂而生疏的问题逐渐转化为简单而熟悉的内容，这样就能切实提高其解决实际问题的能力，并取得数学学习方面的进展。联系生活实际引出数学问题，解答初中数学教学中的疑惑，这恰恰是张景中院士在数学教学中所倡导的思想，学生学会了主动地分析，利用画图或自我纠正巧妙解决数学问题。现阶段的教材采用的是欧几里得的《几何原本》。而近些年以来，数学教育在欧美、亚洲等地区都遇到困难，学生学习的兴趣降低，解题能力下滑，优秀的学生不再喜欢数学，连奥林匹克优胜者都不肯学习数学了。张院士根据教学实践指出：“数学教育面临的困难是多方面的，其中最重要的原因就是数学本身就难。”

面对这样的困境，张院士指出：“如果数学教育面临的困难来自数学知识本身的不足，这个困难就不可能由数学教育的努力而从根本上加以克服，只有数学上的创造活动，才能解决问题。”为此，张院士提出教育数学的概念。教育数学就是遵循教育的普遍规律，针对不同的教育目的和功能，对数学成果再创造，让每个学生都能得到不同的发展。数学教育只注重数学本身，着眼于数学的输出和输出的技巧，即教学的方法；而教育数学是对数学成果的再创造，需要数学创新。教育数学是对数学教程的再优化：优化教材内容、优化呈现方式、优化测评内容。为了诠释这个宗旨，张院士提出了“把数学变容易”的口号。

三、三角下放在教学中的应用

基于教育数学优化教程的思想，张景中院士提出将三角形下放的建议。三角在几何中处于核心位置，它是解决数学图形的基本工具，三角形全等和三角形相似的相关定理贯穿了四边形、圆的计算和证明；它也是将代数与几何紧密地联系到了一起；一次函数、二次函数、平面坐标系等重要的数学概念、计算都在运用三角知识；国旗的测量、灯塔有多高等实际问题的解决也需要三角的相关知识。

为了解决数学学习中的难题，优化建议是在数学教学中非常重要的突破口，教师一定要采用更多的教学方法，让学生有新颖的解题思路，原有的教学方法如果过于刻板应逐渐改善，帮助学生判断数学问题的基本要素，找出数与数之间的数量或空间关系，渗透初等数学和高等数学之间连贯性的内容，克服原有的思维定式。在现有的思维过程中解决实际问题，完善思维过程，创设数学情境，实现新概念的理解，才能够使学生的数学思维瞬间被打通，防止学生将错误的理解带入新知识中。张院士提出优化的具体建议：“教育数学追求的目标是：简单明快的逻辑结构，平易直观的概念和有力通用的解题方法。”在几何领域，他利用面积法重新定义了三角，从根本上优化了几何的架构，从概念的定义、逻辑结构、解体思路进行创新。面积是基础，三角是手段，创新解题思路、让几何变简单是目的。面积法是张院士教育数学思想的结晶，三角是数学“数形结合”思想的体现，是联系几何代数的桥梁，为初等数学和高等数学的沟通搭建平台。张院士打破常规，以面积为基础，以三角入手，抛开在直角三角形中研究正弦的框架，提出了正弦的新概念。

他利用将正方形压扁成小菱形的过程，形象地给出了正弦的概念：“我们将有一个角为∠A的单位菱形（边长等于1）的面积，叫作∠A的正弦。记作：sin∠A或sinA。”边都等于1的四边形叫作单位菱形。单位菱形面积是度量平行四边形面积的“工具”，其面积由夹角的大小确定。新的定义简单、直观，让学生眼前一亮，豁然开朗。张奠宙先生曾这样评价：“张景中先生建议在小学用菱形面积引入正弦是一项重大的创新。”正弦既然这样定义，那么离开直角三角形余弦怎么定义？张院士巧妙地利用正弦与余角的概念进行定义：“一个角的余角的正弦，叫作这个角的余弦。”既定义了余弦，又推导出了正余弦之间的关系：cosα=sin（90°-α）。

在其他版本的数学教材中，正弦定理是三角相似之后才出现的，是解决直角三角形的边角关系，没有参与几何证明。张景中先生不束缚于欧几里得的几何体系，利用正弦定理建立了一套学生更容易掌握的数学逻辑结构。

（一）正弦定理与直角三角形的边角关系

在直角三角形ABC中，我们利用直角三角形的面积算两次的方法，通过简单推理就可以得到锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于这个角的对边与斜边之比。

也可以进一步验证正余弦之间的关系：cosA=sinB。

（二）正弦与三角形全等和三角形相似

在证明三角形全等的判定定理中共有五个定理：边边边、边角边、角边角、角角边和直角三角形的斜边直角边定理。这五个定理在七年级学生学习时，既是重点也是难点。在七年级教学时，主要通过尺规作图来对比验证定理的存在性，也是尺规作图的依据。

几何入门，画图理解定理是基本方法。在北师大三角形全等判定定理教学时，我们要求学生以边边边定理作为尺规作图依据，按照条件：ASA、SAS、HL，画出符合条件的两个三角形，剪下这两个三角形，它们重合。

先学正弦定理，我们可以严密证明SSS、ASA、AAS、HL，间接证明SAS。这对学生逻辑思维能力和推理能力的培养是一个很大的改进。当然，在七年级教学中，直观画图理解与三角法证明要相结合。

在相似中，对于相似判定定理的教学，要借助三角形相似的性质：“相似三角形，三边对应成比例。”数学家项武义将其称为“相似形基本定理”（见《古典几何学》第25页）。“重建三角”的优越性就在于：我们利用正弦定理，可以简明证明这一定理。学生提前掌握这一定理，奠定了三角形相似的学习基础。顺理推出相似三角形的概念。那么，利用两角相等判定三角形相似就可以被“发现”了。事实上，基本定理“两角对应相等的三角形相似”是初中几何应用频率最为广泛的定理之一。

对于基础较好的学生，可以在七年级渗透“相似形基本定理”，但相似三角形的相关知识可以不出现。

（三）正弦定理与共高定理、共边定理、共角定理

对于三角下放的思想中，张景中先生提出“三共”方案。

共高定理是七年级必讲的内容，学生比较容易理解，可以在七年级开始进行渗透。特别是结合函数面积问题进行有针对性训练。对于共边定理、共角定理，部分省市中考题也有涉及，可以在平时练习中进行针对性训练。

四、结语

在广州等地尝试性的课堂教学实践表明，用面积定义正弦具有可行性。教育数学重新定义了正弦，又利用正弦定理贯穿了三共定理、三角形相似与全等、直角三角形边角关系，搭建起了新的几何体系。张院士的正弦概念已经在科学性方面证明了合理性，但教学效果需要一线教师来实践。我校实验教师首先在七年级的一个普通班进行了角的正弦的教学实验课。课堂教学表明，用“面积”“折扣”的方式比较直观，符合七年级学生认知心理，降低了教学台阶，学生掌握新概念比较顺利。又在生源不同的另外两个班做了六个课时更深入的教学实验。实验表明，在初中七年级用菱形面积引入正弦是可行的，有利于培养学生数形结合的数学思维。直面教育难题，根据数学教育的目标，将三角下放，优化学生的数学认知结构，对数学进行概念重构与体系重建，将会翻开数学教育改革的新篇章。