智慧学习环境下数学教学模式实证研究
——以定积分的应用为例

姜咏梅，郭建萍

（江苏建筑职业技术学院 公共基础学院，江苏 徐州 221116）

引言

随着物联网、大数据、云计算、移动计算、人工智能、虚拟现实、5G等新技术的广泛应用，智慧学习环境对教育的影响日趋明显，打破了时间与空间限制的教育教学更加智慧和便捷。一方面，在信息技术的高速发展下智能手机普及，使得传统课堂教学模式难以激起学生的学习兴趣；另一方面，部分注册入学的高职院校学生数学基础相对薄弱，再加上“高等数学”的高度抽象性也造成了教与学的困难。基于以上现实问题，为了更好地激发学生的学习兴趣，缓解基础薄弱学生的畏难情绪，普及数学思想与方法，我们开展了智慧学习环境下高职数学教学模式的变革研究。

一、教学模式构建

何克抗教授认为教学模式是在一定的教学思想和教学理论指导下，为完成教学目标和教学内容而形成的教学结构理论框架和活动程序［1］。因此，好的教学模式需要适合的支撑环境和教育理论作为基础才能发挥其作用，达到理想的教学效果。

（一）支撑环境：智慧学习环境

《2016中国智慧学习环境白皮书》对智慧学习环境的表述为：在智慧学习环境中，人们能够在任意时间、任意地点，以任意方式和任意步调进行学习，这类学习环境能够支持学习者轻松、投入、有效地学习（简称3E）。国内很多学者对智慧学习环境做出了解读。如，黄荣怀教授认为智慧学习环境是一种能感知学习情景、识别学习者特征、提供合适的学习资源与便利的互动工具、自动记录学习过程和评测学习成果，以促进学习者有效学习的学习场所或活动空间［2］。祝智庭教授认为能充分利用先进的计算技术做支撑，把控学习过程，注重学习者的内在因素，同时注重学习者的自适应性的新型学习环境为智慧学习环境［3］。

因此智慧学习环境是一个以信息技术的应用为基础，以学习者为中心且能适应学习者不同的学习基础和学习能力，为学习者个性发展和终身学习提供支持的环境。这样的支撑环境适合目前招收学生层次比较复杂，数学基础存在差异的注册入学的高职院校。

（二）教育理论：建构主义教育理论

建构主义认为，学习环境是一个支持和促进学习的场所，学习者可以在其中进行自由探索和自主学习，在此环境中学生可以利用各种工具和信息资源来达到自己的学习目标。

建构主义教育理论与以往的教育理论相比突出表现了三个方面的不同：从“个体户”式学习到“社会化”式的学习；从“脱离情境”的学习到“创设情境”的学习；从关注“教师输入”到关注“学生接受”。因此建构主义教学理论适用于当下环境。

（三）教学模式

教学模式是教学理论转化为教学实践的中介，也是教学实践上升为教学理论的桥梁［4］。本文的教学模式是基于构建主义理论及陶行知“教学做合一”教育思想等的指导，在智慧学习环境下，为完成教学目标和教学内容而建立起来的较为稳定、简明且易复制、可评估的教学实践活动过程。

根据高职院校学生特点，在智慧学习环境下借助于互联网和学习通实施混合教学。课前：在智慧学习环境下根据学生的特点与基础，智能推送学习资料，因人施教。课中：先创设情境，让学生身临其境，引入课题。再启发联想，通过实例引导学生初步探索其内涵。然后通过练习交流讨论，调动学生主动参与思考，自己总结、内化知识实现思维升华，悟出实质。最后延伸拓展，具体应用。课后：通过交互式学习评价平台，方便师生、生生、人机进行实时、及时的多元立体交互评价，并且学生可根据自己的个性需要随时随地学习，促进个性发展。

二、教学模式实践与效果分析

文章选取定积分的应用作为新教学模式的实验内容。因为定积分的应用在“高等数学”课程中具有重要的地位和作用，但它抽象性较强，为了更好地化解重点、突破难点，达到我们设定的教学目标。具体教学设计如下。

PIVKA-II检测过程中应关注假阳性,肝癌外疾病或病理状态是也或出现PIVKA-II水平升高,应注意区分。患者服用维生素K拮抗剂,也可导致PIVKA-II水平升高。梗阻黄疸、头孢类抗生素可抑制肠道正常菌,维生素K吸收受阻,PIVKA-II出现假阳性升高[5]。由于PIVKA-II为维生素K缺乏诱导蛋白,在应用维生素K治疗期间,几乎所有肝癌患者PIVKA-II水平均为正常水平,在临床诊断过程中应加以区别[6]。

（一）教学过程设计

课程教学过程设计图如图1所示。

1.课前。通过在线课程网络平台、学习通智能推送预习资料给学生，将预习的主动权交给学生，让学生根据自身掌握知识情况有选择地进行预习。预习结束后，学生可将不懂的问题通过学习通反馈给教师。另外发布与专业相关的案例：如何求某一建筑项目中不规则游泳池的面积任务单。学生以小组形式讨论案例形成解决方案提交至学习通平台，小组成员本着自愿的原则，尽量优化组合，让基础较好的学生帮助基础薄弱的学生，这样既能更好地发挥团队协作能力也能兼顾到积极性不高的学生学。

2.课中。按照“导、学、悟”的教学思想［5］进行。“导”是通过预习用定积分求曲边梯形的面积，引导学生探索不规则图形面积的求法。通过“设疑—分析—探索—总结”，让学生“悟”到“以直代曲，以常代变”的数学思想。思维导图如图2。

环节一：创设情境，引入课题。学生已经学过定积分的概念，基本掌握用定积分表示曲边梯形面积的方法，在此基础上让学生思考几个生活中的问题，这些问题归纳起来都是“求不规则图形的面积”。我们以课前学习通发布的求游泳池面积作为引例，引导学生通过学习通抢答功能回答任务单上的问题1和问题2，通过分析把问题转换成如何求曲边梯形的面积。

环节二：初步探索，展示内涵。教师继续提问任务单上的问题3至问题5。在此过程中，学生是主角，教师是导演，起着监督、引导的作用。教师通过提问并借助多媒体动画播放形象展示计算曲边梯形面积等的方式，引导学生归纳总结最关键的是用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，即面积微元就是小矩形的面积，化解难点。

最后教师将上述问题简化总结为一般步骤即选变量、求微元、列积分。将上述方法上升为理论称为微元法，学生可思考微元法还可以应用于哪些方面，从而为下一个内容——定积分的应用做铺垫。

例1：求由抛物线y=x2与直线y=2x围成的图形面积。难点在于学生很难准确找到面积微元。教师先启发学生将其看成是两个图形面积的差，进而让学生思考根据微元法用一个定积分的式子来表示这个图形的面积。

例2：计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围成的图形面积。采用分组讨论、交流的形式进行，在此过程中学生可能存在如果选择x为积分变量，求面积微元时会出现错误的问题，多数学生求出的面积微元只有一个，而不会想到在不同积分区间内，面积微元是不同的。针对上述问题，采用错误纠正法，即让学生通过讨论，自己寻找错误的原因并尽量找到正确的解答方法。教师提示学生从不同角度考虑问题，可试着用y为积分变量。该例题引导学生总结出积分变量选择恰当可使计算量减少，说明积分变量的恰当选择非常重要。

环节四：延伸拓展，实际应用。学生基本能够掌握运用微元法求面积之后，我们来解决实际问题。回到引例求游泳池的面积，学生可用他们熟悉的专业软件AutoCAD画出图形，再根据微元法的步骤自己分析，求出面积微元，教师只需从旁提示引导即可。最后根据不同专业拓展微元法的应用，如，建环专业：洪水泛滥一瞬间，求闸门受到的水压力；矿建专业：采煤高压水枪，求煤层受到的平均冲击力；经管专业：汽车生产问题，求总成本、总收益和总利润等。

环节五：练习巩固，内化知识。为了巩固课堂内容，发现和弥补教学中的遗漏和不足，以及时矫正，我们通过设置闯关游戏进行随堂练习。通过练习使学生认识到恰当选择积分变量的重要性，进一步加深对微元法的理解。最后教师引导学生自己总结本次课的重点和难点：用微元法求平面图形面积的步骤；微元法应用的范围与技巧。

3.课后。总结，复习巩固。通过学习通发布本节课测试内容。一为基础部分，用以检查学生课前和课堂学习情况，验证知识目标是否达成。学生提交测试后，系统会实时评价，并对成绩进行统计分析。二为研究性部分，学生利用本次课所学知识，尝试解决实际问题，继而查资料总结定积分的应用，学生可在学习通发言讨论，从而达成本次课的能力目标和素质目标，教师可适当点评和总结。

（二）教学效果分析

每一个教学环节，教师都根据学生基础、教学重难点及要达到的教学目标，借助于学习通App来设计教学方案。

环节一：将学生专业中需解决的内容引入新课，激发了学生自主探究的兴趣。在教学过程中，教师结合图形适当设置疑问，让学生带着问题进行后续的主题教学活动。

环节二：教师采用一环扣一环的提问方式，引导学生主动参与学习，积极思考，激发学生探究的兴趣。

环节三：通过例题1，使学生初步掌握确定微元的方法，突破难点，同时培养学生勤思考、利用已学知识解决新问题的能力。通过例题2让学生主动参与到教学过程中，通过小组讨论变被动接受为主动学习。

环节四：学生用所学的数学知识来解决他们的专业问题，让学生自己体会数学是有用的、是无处不在的，它存在于各行各业。

环节五：让学生自己总结，这是一个知识重组的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认知过程，有助于学生自行构建知识体系，理清脉络，养成良好的学习习惯。这也符合建构主义教育理论的思想。

教师可实时通过学习通查看学生课前预习、讨论参与及课后作业完成等情况。课程结束后，在学习通对210名学生发放调查问卷，收回有效问卷206份。通过问卷调查，98.1%的学生认为通过学习通进行预习、复习、测试、评价、总结的混合式教学模式比较新颖、有趣；96.8%的学生认为该混合式教学模式能够激发学习兴趣；93.5%的学生认为该混合式教学模式使得与同学交流讨论、向教师提问更加便捷；90.7%的学生认为该混合式教学模式提高了学习高等数学的信心，提高了学习效率。该混合式教学模式能有效契合智慧学习环境下“互联网+教育”的发展和推广，改变了学生对智能手机的看法，教师也可以及时掌握学生的学习情况，相应地调整教学计划，因人施教，从而提高教学质量。

结语

随着“互联网+教育”概念的深化和智慧学习环境的构建，线上线下混合式教学模式被越来越多地应用于“高等数学”课程，而伴随着互联网成长起来的“数字土著”对新事物的接受能力和学习能力非常强，能很快地适应这种全新的教学模式［6］。定积分的应用采用线上+线下的混合式教学模式，取得了一些成绩，提高了教学效果，增强了学生的学习主动性，一定程度上激发了学生的学习兴趣。学生通过学习通平台有选择地学习并能及时跟教师沟通，但这些都需要丰富的教学资源、合理的教学设计，以及教师花费更多的时间和精力进行课程更新和答疑来实现，因此，要想把这个模式应用到所有的教学过程中，任重而道远，需要继续努力和探讨。