转化与化归思想在初中数学中的应用

摘 要：数学的学习过程是运用逻辑思维进行思考的过程，在此过程中，掌握重要的数学思想，不管是对学习而言还是对自身的逻辑思维培养而言，都有着至关重要的作用。因此，文章以转化与化归思想为出发点，探讨培养学生不同数学能力和促进学生思维发展的策略，以期提高学生的综合素质。

关键词：初中数学；转化与化归；应用

中图分类号：G427                                文献标识码：A                                       文章编号：2097-1737（2022）33-0073-03

引  言

数学思想是指在现实生活中对各类数学理论形成的本质认知，体现了数学学科中的总结性、广泛性和奠基性特点。研究数学中体现的思想和方法，有助于提高课堂教学的效率，发展和改善学生的认知结构。数学思想和方法包括转化与化归、数形结合、分类与讨论、函数与方程。

数学问题的研究与求解过程，是一种从未知到已知的变化过程，即通过联想和类比来分析数学问题，选择合适的方式进行演化，最终确定比较合理且容易的解决方法。将转化与化归思想应用到初中数学教学活动中，有利于学生掌握数学知识以及解题技巧。

一、研究转化与化归思想教学的必要性

（一）从初中数学教学现状来看

转化与化归思想是初中数学阶段的重要数学思想之一，培养学生的转化与化归思想能够有效提高学生对初中阶段各类数学理念的理解水平，对于激发学生的数学学习兴趣，提高学生的数学综合素养有非常重要的作用[1]。

（二）从初中数学教材内容来看

初中数学教科书中包含了大量关于转化与化归思想的内容。在学习有理数的基础上，可以用加法、减法、除法、乘法以及二元一次方程的代入法来求出加、减、乘、除的结果；也可运用加减法、一元一次方程或分式方程求出整式方程。在证明平行四边形对角、对边相等时，连接对角线可将平行四边形转化为两个全等三角形，得到平行四边形对角、对边相等；利用相似比和直角三角形函数的简单应用来求解直角三角形，在适当条件下，非直角三角形可转化成直角三角形。

转化与化归思想在中学数学教科书中随处可见，因此，教师在教学过程中应进行更高层次的教育和理解，甚至要结合数学知识结构的横向和纵向联系，有意识地将转化与化归思想渗透到教学中，并在教学过程中对其进行编辑和改造。

转化是一种将一个困难的问题变为可以解决的、具有更明确客观特征的问题的方法。数与形的结合是几何与代数的相互变换，但有些问题在变换后无法立即解决，因此，需要重新变换。化归的概念也可用于简化计算，一般来说，中学数学课常用化归的思想来解决代数问题，用转化的思想来证明几何问题。

二、转化与化归的基本原则

转化分为两种形式，一种是等价转化，另一种是非等价转化。在此基础上，转化与化归应遵循一定的基本原则。

（一）熟悉性原则

在解决中学数学问题时，我们常常把一些不熟悉的问题变成常见的、熟悉的问题，这样就可以利用已有的知识和丰富的经验来解决。中学数学知识中的许多元素都可以通过新旧知识的联系来转化和解决问题。例如，解一元二次方程x2-4=0：通过因式分解，得出（x+2）（x-2）=0；然后转化成解熟悉的一元一次方程x+2=0与x-2=0；得出x1=-2，x2=2。

（二）简捷性原则

在解决中学数学问题时，我们的目标是将复杂的问题转化成简单的问题然后解决。所以，在处理实际问题时，一定要考虑到简单原则并运用简化思维来完成解题。

（三）直观性原则

直观性原则就是在数学教学的过程中，能指导学生对学习对象进行直接的感知，并能帮助他们在各种数学理论知识和实际事物之间建立联系。学生在解决具体的数学问题时，要培养自身的思维能力，将抽象的数学问题转化为可理解的和可视化的问题。代数问题是抽象的，而如果把它们转换成直接可见的图像，它们就更容易解决了[2]。

（四）和谐性原则

和谐性原则就是教师可以指导学生了解不同数学概念（如分数和除法）间的内在关系。而依据数学和谐性原则进行教学，可以有效培养学生学习数学的兴趣和增强学生对数学教学内容的本质性认识。

三、初中数学中应用转化与化归思想存在的问题

（一）习惯于直观思维

我们发现在解题过程中，学生往往采用常规的方式，创造力不足。一方面，“录取率”的压力使得教师疲于演示解题过程而忽略思维过程的呈现，从而导致学生无法深刻地认识与了解思维转变的实质；另一方面，面对大量的课程和任务，学生没有时间掌握创新方法，只能接受传统的解决方案。

（二）知识衔接困难

转化与化归思想是一種不断变化的思维方式，它将陌生、难解的题目转化为熟悉的、有规律的、浅显的题目，让学生在学习过程中解决未知的问题。这不仅需要系统结构和知识框架，还需要掌握新旧知识之间的联系，以便获得相关信息，及时解决新的问题。若学生掌握的知识不够系统，转化和化归过程就会受阻，学生就无法把所掌握的知识精确地联系在一起，找不到解题突破口。

四、掌握转化与化归思想的基本途径

（一）熟练掌握基础知识

掌握数学基础知识、基本技能是灵活运用转化与化归思想的前提和基础。因此，教师必须帮助学生打好坚实的数学基础，在此基础上，进而开展联想、观察、比较、类比的实践探究。教师还应指导学生在理解了公式、理论和规律后，在解决问题时一定要有意识地进行总结。

（二）增强转化与化归的意识

就学生的学习而言，数学思想和方法的习得不是一个刻意和固定的过程，而是依据学生的自身经验在各种应用中逐渐产生的，转化与化归思想就是其中之一。在解决问题的过程中，学生必须根据学科信息的多样性、多角度性和动态性来看待问题，并将其转化为另一种方式。在解决问题后，学生可以总结经验，整理解决方案中使用的思想，并将它们应用到下一个问题解决方案中。

（三）在日常教学中注意渗透转化思想

数学教师必须按照课程的要求，逐步将自己的思想转变为学生的思想。在教学过程中，教师不应直接将转变后的思想灌输给学生，而是应把思想融入教学内容和行为，让学生在潜移默化中逐渐形成相应的思想。

五、在数学解题过程中运用转化和化归思想的策略

（一）通过经典例题渗透转化和化归思想

转化和化归可以将一些无法解决的问题通过变革性的思想来解决，教师必须充分引导学生体会转化和化归的优势。

例如，在“函数与图像”的教学中，教师引导学生对交点的作用进行了深入的探究。其中一个问题是“当直线y=x+b与直线y=2x+4的交点在第二象限，则b的取值范围是什么？”。当学生第一次遇到这个问题时，他们会感到困惑：如何保證两条直线的交点在第二象限呢？根据第二象限点的坐标特点，其交点坐标就是联立这两个方程组组成的方程组的解，也就是这个问题的最终结果。这时一切都迎刃而解，学生会产生顿悟的体验。

（二）将转化与化归思想进行分类，促进学生理解数学问题

首先，转化与化归思想可以应用于代数问题。转化与化归思想旨在把一个复杂的问题变成一个简单的问题，然后用一个更熟悉的知识点来解决。例如，因式分解就是以小学的知识为出发点，通过不断的整合和变形，将其转化为熟悉的知识点。其次，变换的思想突出了它在几何问题解答中的优势。例如，在探究圆柱侧面积公式的计算方法时，由于圆柱的侧面是一个曲面，所以必须用化归思想来解决这些问题。将圆柱体的侧面延一条垂直于底面的线剪开，再剪去圆柱体顶面和底面的两个圆，然后将圆柱体的侧面完全展开。此时，学生会发现圆柱体的侧面展开图实际上是一个矩形。这样学生就会明白为什么圆柱表面积的计算公式是S=2πr?+2πrh。

（三）加强对转化与化归思想的认识

要想将化归与转化的数学思想熟练地使用到解决问题的过程中，首先要对该思想有深刻的认识，掌握转化与化归思想的具体含义；同时也要打牢基础知识的根基，清楚认知知识体系内各个知识点的内在联系，这样在遇到复杂问题时才能迅速对基础知识点做出选择。熟练掌握基础知识和理解转化与化归思想不仅是对学生提出的要求，更是对初中数学教师提出的要求。教师自身得严格要求自己，能够在解决问题的过程中驾轻就熟地使用转化与化归思想。同时，学生也要有清晰的认知，将教师所传授的学习方法内化于心。如果在使用过程中出现力不从心的情况，要考虑是否是因为基础知识掌握不牢靠所导致的。例如，在初中数学几何题中，已知正方形ABCD，A（1，1）、B（2，-1），求C、D的坐标，若一次函数y=kx-2（k≠0）的图像过C点，求k的值。在这一例题中，相对抽象的几何问题可以转化为平面视觉图形，利用坐标轴建立A、B两点，并根据A、B两点之间的距离获得正方形ABCD的边长。之后，可利用一次函数进行解题，将C点坐标带入y=kx-2（k≠0）中，求出k的值。

（四）将复杂问题简单化

初中数学问题大都对知识的集成度较高，容易使学生产生畏难的心理。教师应在日常的课堂上就复杂问题的解决步骤对学生进行详细的讲解，使学生发现并仔细分析其中包含的基础知识，一步步化简，最终得到答案。例如，对于分式方程“+=4”，学生拿到题目便觉得有些复杂，看到分式方程之后更是无从下手。此时，教师可以引导学生使用化归思想，将分式方程化为整式方程。首先，寻找分式方程的最简公分母“2x-3”，在等式两边同时乘以“2x-3”，将分式方程化为简单熟悉的整式方程，就可解整式方程得“x=1”，最后提醒学生分式方程需要检验。

（五）强化教学设计，开展化归主题教学

在中学数学教学中，教师必须不断加强教学设计，优化实施创新的教学方法，积极转变教学观念。教师在设计教学和研究教材时，必须注意教材中包含的思维方法。在数学教学过程中，要注意合作探究或训练方式的改变，将新的数学知识和旧的数学知识建立联系，使学生进入逆向思维。在数学课上，创新可以让学生理解和感受到思维的有效性，教师可以有意为学生创造独立发展和学习的空间，展示数学问题的相似之处，引导学生得出结论，最终产生相应的模型来反映思想的转变。

如教师可借助信息技术这一多媒体设备使学生对“余角与补角”中角的个数及其相互关系进行观察与预测，加深他们对“余角”与“补角”的认识，增强他们独立学习与独立思考的能力。

结  语

作为一种重要的思维方法，转化和化归有助于学生透过现象认识事物本质，把目光转向具体事物，把复杂的问题简单化，有利于提高解题效率。在教学过程中，教师要帮助学生克服学习困难，提高学习效率，这对于提升中学数学教师的实践能力具有十分重要的意义。

[参考文献]

何淼，孟兆艳.“转化与化归思想”在初中数学的应用[J].考试周刊，2010（15）：70-71.

何朝均.例谈数学思想方法在初中数学教学中的应用[J].文理导航，2010（05）：35.

作者简介：黄秀娘（1975.8-），女，福建南平人，任教于福建省南平市第三中学新城分校，一级教师，本科学历。