求解病态积分方程的Tikhonov-Lavrentiev正则化方法*

谢飞平，张 荣

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)

1 引言

在很多科学领域,我们都会遇到病态问题的数学模型.熟知的病态问题有：X射线层析成像,图像和信号处理,热传导,参数识别,模式识别,逆散射等.在病态问题中,第一类Fredholm积分方程[1]是其非常重要的类型之一.早期的求解病态问题的重要方法,是Tikhonov的选择法[2]和Ivanov的拟解法[3-4].为了克服选择法和拟解法的缺陷,Phillips和Tikhonov于20世纪70年代分别独立提出了求解病态问题的稳定方法：正则化方法[3,5].其中Tikhonov于1963年提出的Tikhonov正则化方法的基本思想是利用具体问题的某些附加信息对不适定问题解的概念重新定义,进而引进稳定泛函,构造展平泛函,通过求展平泛函的极小点来给出原问题的近似解的一种稳定的方法.除了Tikhonov正则化方法之外,常用的正则化方法还有：Lavrentiev正则化方法[6-8],Landweber迭代法[9-11],共轭梯度法[12-15]等.

1991年,Hanke在文献[7]提出半迭代法作为正则化方法.1995年,Plato在文献[16]给出求解线性病态方程的迭代法和参数法,1996年在文献[17]分析偏差原理下各种迭代法和参数法的收敛率及数值实验效果.2008年,Chen在文献[18]讨论一个快速多尺度Galerkin法求解病态问题,得到先验参数选择和偏差原理下近似解的最优收敛率.2011年,Luo在文献[19]中基于最优投影方法,构造求解病态积分方程的截断快速Tikhonov迭代算法,与传统的算法相比,得到了相同的收敛率,但减少了内积个数.2011年,Luo在文献[19]提出一种迭代的Tikhonov正则化方法求解病态问题,并用数值实验说明该方法的有效性和可行性.随着病态问题的深入研究,出现了越来越多的正则化方法.理论分析和实验表明,正则化近似解的收敛速度与正则化方法和正则化参数选取策略有关.2015年,Luo在文献[20]提出Richardson迭代正则化方法求解第一类Fredholm积分方程.

本文第2节基于Tikhonov正则化和Levrentiev正则化方法,针对具有高光滑性的病态问题提出了一种新的正则化方法;第3节分析了该方法所得近似解的收敛性;第4节证明了偏差原理下的收敛率.

2 Tikhonov-Lavrentiev正则化方法

在本节中,我们提出一种新的方法求解病态问题,并说明了这种新方法的正则化性质.

考虑的病态问题的一般形式如下：

Kx=y,

(1)

(αI+(αI+K)2)x=(αI+K)y.

(2)

根据奇异系统(μj,xj,xj),可得

(3)

定义1一族有界线性算子R∶X→X,α>0称为方程(1)的正则化算子.如果它满足

(4)

对所有的x∈X成立,α称为正则化参数.显然,

根据文献[21]的定理3.2.1,我们有下面的结论.

引理1设紧线性算子的奇异系统是(μj,xj,xj),函数q(α,μ)∶(0,∞)×(0,‖K‖]→R,满足下列性质：

则有下列结论：

A.算子

是一个正则化算子,且有估计‖Rα‖≤c(α)；

B.如果取α=α(δ)在α→0,δc(α(δ))→0,则α=α(δ)是允许的取法.

3 收敛性分析

在本节中,我们分析所提正则化方法(2)在不同情况下的收敛性.

在实际中,虽然右端项y只能测得其扰动值yδ,但是可知扰动值的偏差范围为δ,即

‖y-yδ‖≤δ.

(5)

事实上,我们求解的病态方程为Kx=yδ.因此,含有扰动的正则化方程为

(6)

(7)

4 偏差原理

(8)

接下来,给出下面的迭代停止准则.

--------------------------------------------------------------------------------------------算法1(偏差原理)

(9)

--------------------------------------------------------------------------------------------

(10)

由插值不等式：‖Astz‖≤C‖ASz‖t‖z‖1-s,z∈X(其中00,C>0),推得