数学分析证明中的截断技巧

王洪庆 王亚男 苏莉

摘要：在数学分析中，当我们要证明一个问题时，有了正确的思路后，还常常要根据不同的对象和题设中的条件采取不同的处理方法，以实现证明的目标，本文对截断的处理方法和技巧进行了总结和提炼。

关键词：数学分析；截断；极限；一致收敛

中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.22.108

1截断方法的概念

我们常常要在某些条件下，证明无穷区间上的函数或无穷多个函数的和函数具有某些性质。例如，一个实数轴上处处连续的函数，如果当自变量趋于无穷大是有有限的极限，那么它一定有界；如果函数项级数的每一项当自变量x→x0时有极限，并且这个极限在包含x0的某个区间上一致收敛，那么这个函数项级数的和的极限等于各项极限的和等。在证明这类问题时，我们的基本依据是有限区间上的函数或有限多个函数的和所具有的相关性质，同时还要根据给定的条件对无穷区间或无穷级数进行截断处理（如何进行具体的截断则要根据不同的问题做具体的分析）。我们把这种处理方法称为截断。

2截断技巧的案例研究

例1设函数f（x）∈C（-∞，+∞），且limx→∞f（x）=l（其中l为有限数）。求证：f（x）在（-∞，+∞）上有界。

分析由于limx→∞f（x）=l，根据局部有界性可知，存A>0使f（x）在（-∞，-A）和（A，+∞）上有界。而在-A，A上可以从f（x）是连续函数这一条件获得其有界性。

证明对ε=1，A>0，当x>A时，有f（x）-l<1，从而

f（x）<1+lx>A。

又因为f（x）在（-A，A）上连续，所以M1>0，使得

f（x）≤M1x>A。

取M=maxM1，1+l，则对一切x∈（-∞，+∞），有f（x）≤M，证明完毕。

例2设un（x）（n=1，2，…）在（x0-δ，x0+δ）内有定义（在点x0也可以没有定义），limx→x0un（x）=ln，ln是有限数，且∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收敛，求证：limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln。

分析现在面临两个问题需要解决：

（1）证明∑∞n=1ln收敛。

（2）证明等式limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln成立。

第（1）个问题由Cauchy收敛原理不难解决。解决第（2）的问题的困难在于项数的无限多，因为极限运算法则只能保证有限多个函数和的极限等于它们极限的和。这就需要对无穷和进行截断处理，把它截成项数足够多的有穷多项和其余的去穷多项（即级数的“尾巴”），然后分别进行考虑，即

∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-∑Nn=1ln+∑∞n=N+1un（x）-∑∞n=N+1ln

我们的目的是证明当x充分靠近x0时，上面的不等式的左边能够任意小。这就要分析右边的情况，而右边的第一项根据“有限和的极限等于期各项极限的和”这一法则，要它当x→x0时能任意小时容易办到的；第二项是两个收敛级数的“尾巴”，其中∑∞n=N+1ln是收敛技术的“尾巴”，只要N选的足够大，它就能任意小，而且与x无关；另一项∑∞n=N+1un（x）是一致收敛的函数项级数的“尾巴”，只要N足够大，它也能任意小，并同样与x无关。于是问题就不难解决了。至于N如何选取，这就要依赖于正数ε。

证明对ε>0，由于∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收敛，根据Cauchy收敛原理，N∈z+，当n>N时，对p∈z+，有

un+1（x）+un+2（x）+…un+p（x）<ε，

令x→x0，就得到

ln+1（x）+ln+2（x）+…ln+p（x）≤ε。

再由Cauchy收敛原理可知∑∞n=1ln收敛。

接下来，取定一个充分大的N∈z+，使得

∑∞n=N+1ln<ε3，∑∞n=N+1un（x）<ε3 x∈（x0-δ，x0+δ）。

由limx→x0un（x）=ln （n=1，2，…）可知，对上述的ε>0，δ1>0（δ1<δ），当0

un（x）-ln<ε3N，（n=1，2，…，N）

从而

∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-ln+∑∞n=N+1un（x）+∑∞n=N+1ln<ε3N+ε3+ε3=ε，證明完毕。

以上两个例子说明，在进行截断的时候，主要是处理好那个“无穷部分”（即截断后剩下的无穷区间或无穷级数的“尾巴”），因为只要把这部分处理好之后，我们就可以放心处理有穷部分了，至于从什么部位上进行截断，则要根据特设条件和证明的需要而定。

例3设f（x）∈（-∞，+∞），limx→∞f（x）存在且有限，求证f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

分析我们需要证明的是：对（-∞，+∞）中的任意两点x′和x″，只要x′-x″足够小，fx′-fx″就能够任意小。对于任何有限区间-A，A来说，这是比较容易做到的，因为闭区间上的连续函数一定是一致连续的。但是对于两个无穷区间（-∞，-A）和（A，+∞）就不能按同样的想法来对待，因此需要分段考虑。如何选取上述的正数A呢？就是利用题目中的limx→∞ f（x）存在且有限这个条件了。

证明对ε>0，由于limx→∞f（x）存在且有限，根据Cauchy收敛原理，A>0，当x′和x″∈（-∞，-A］∪［A，+∞）时，有

fx′-fx″<ε2。

在-A，A上，由于f（x）一致连续，自然存在δ>0，使得对于任意的x′，x″∈-A，A，只要x′-x″<δ，就有

fx′-fx″<ε2<ε。

于是对（-∞，+∞）上满足x′-x″<δ的任意两点x′和x″来说，不论它们属于-A，A，还是属于（-∞，-A）或（A，+∞），都有

fx′-fx″<ε2<ε。

若x′∈-A，A而x″∈（A，+∞），则由x′-x″<δ可知，必有

x′-A<δ且x″-A<δ，

从而有

fx′-fx″≤fx′-fA+fx″-fA<ε2+ε2=ε。

对于x′∈-A，A而x″∈（-∞，-A）的情形同理可证。

综上所述，只要x′-x″<δ，就有fx′-fx″<ε，证明完毕。

例4设limn→∞xn=l，求证：limn→∞x1+x2+…+xnn=l。

分析记σn=x1+x2+…+xnn （n=1，2，…），则

σn-l=x1-l+x2-l+…+xn-ln

≤x1-l+x2-l+…+xn-ln。

现在来分析一下不等式右端分子的变化情况。很明显，虽然项数在不断增多，但靠右边的一些项会随着n的增大而变小，可以任意小；而前面的哪些项则是固定不变的，根本不能变小。因此我们可以考虑将它们分段处理。

对ε>0，因为limn→∞xn=l，N∈z+，当n>N时，xn-l<ε。因此，对于这样取定的N，不论n怎样大（也就是不论项数怎样多），从第N+1项开始，以后每一项都小于ε，而这些项加起来小于n-Nε，所以n-Nεn=1-Nnε<ε，所以可以不用去管他，另一方面，既然N已经取定，从第一项到第N项加起来就是一个固定的数，它被n除过之后就会随着n的增大也变小。

证明ε>0，因为limn→∞xn=l，N∈z+，当n>N时，xn-l<ε，对于取定的N，记M=maxx1-l，x2-l，…xN-l，再取N1N，使NMN1<ε，于是，当n>N1时，有

σn-l≤x1-l+x2-l+…+xn-ln

=x1-l+…+xN-ln+xN+1-l+…+xn-ln

所以limn→∞x1+x2+…+xnn=l，证明完毕。

3结束语

截断处理是数学分析长得一种比较基本的处理方法，通过它可以把很多有限范围内成立的性质和结论扩展的无线范围，因此我们在处理与无线范围有关的问题时，应当有截断的意识。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（ 第五版）上册［M］.北京：高等教育出版社，2019.

[2]马金玲.浅谈数学分析中极限的求法[J].数学学习与研究，2021，（36）.

[3]张建华.数学分析中证明函数极限存在性的若干方法[J].景德镇学院学报，2021，36（03）.

[4]祁伟，郭仲凯.数学分析中归结原则的应用[J].数学学习与研究，2017，（03）.

基金项目：中国消防救援学院科研项目（XFKYB202211）；中国消防救援学院教改项目（YJYB2022009）。

作者簡介：王洪庆（1977-），男，理学硕士，中国消防救援学院基础部副教授，研究方向为可靠性理论、数学教学；王亚男（1986-），女，经济学博士，中国消防救援学院基础部讲师，研究方向为应用统计；苏莉（1984-），女，中理学硕士，国消防救援学院基础部讲师，研究方向为代数几何。