近十年高考数学全国卷“平面向量”试题分析及教学思考*

2023-01-09 08:49项丽红逯彦周
中学数学杂志 2022年3期
关键词:平面向量夹角分值

项丽红 逯彦周

(甘肃省永登县第六中学 730300)

向量理论具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景.[1]向量具有几何与代数双重属性,是沟通几何与代数的桥梁,同时高中的平面向量知识是进一步学习高等数学的基础.2012年—2021年十年间,我国高考数学命题经历了考试大纲、课程标准并存指导,到终止考试大纲,完全依据课程标准的过程.[2]对这十年高考数学全国卷中的平面向量试题在宏观层面从类型、题数、分值、难易程度进行统计分析,在微观层面从试题考查知识点、融合其他知识点进行统计分析,并以此为依据对教师教学提出一些建议.

1 十年高考全国卷平面向量试题宏观统计分析

以2012—2021十年高考全国卷(共29套)中的平面向量试题(共38道)为研究对象,将38道平面向量试题从宏观层面按类型、题数、分值、难易程度进行统计,结果如表1所示.从类型看,38道题目中,选择题共20道,填空题共14道,解答题共4道,占比分别为52.6%、36.9%、10.5%.从题数看,29套试卷中,21套试卷的平面向量试题均为1道,占比72.4%,分值为5分;4套试卷的平面向量试题均为2道,占比13.8%,分值为10分;3套试卷的平面向量试题均为2道,占比10.3%,分值为17分;仅有1套试卷中平面向量试题为3道,分值为22分.从难易程度看,38道试题中,难度为易、中的试题分别为20道、12道,占比分别为52.6%、31.6%,较难题为6道,占比15.8%.

表1 2012—2021全国卷平面向量试题统计

2 十年高考全国卷平面向量试题微观知识点分析

2.1 试题考查知识点统计分析

将平面向量试题考查知识点按照线性运算及其几何意义、向量平行、平面向量基本定理、平面向量的数量积及模与夹角、向量垂直、平面向量坐标运算进行统计(只要试题有体现就计数),结果如表2所示.由表2知,38道试题中,考查线性运算及其几何意义、平行、垂直、平面向量基本定理、数量积及模与夹角的试题分别有5道、4道、5道、4道、14道,占比分别为13.2%、10.5%、13.2%、10.5%、36.8%;考查线性运算、平行、垂直、数量积及模与夹角的坐标运算的试题分别有10道、4道、6道、17道,占比分别为26.3%、10.5%、15.8%、44.7%.总的来看,考查线性运算、平行、垂直、数量积及模与夹角的分别有15道、8道、11道、31道,占比分别为39.5%、21.0%、29.0%、81.5%.

表2 2012—2021全国卷平面向量试题考查知识点统计

在38道平面向量试题中,28道只考查了平面向量内容的知识点,没有与其他知识融合,且绝大多数试题考查知识单一,属于简单题.如:

例1(2021年全国甲卷第14题)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=.

例2(2017年全国Ⅰ卷第13题)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.

图1

2.2 试题融合其他知识点统计分析

平面向量与其他知识点的融合具有明显的倾向性(表3),38道平面向量试题中,10道融合了其他知识,其中与圆锥曲线的融合包括圆、椭圆、双曲线与抛物线,共有6道,其余4道是与三角函数及解三角形、函数、数列融合.

表3 2012—2021全国卷平面向量试题交汇知识统计

当平面向量试题融合其他知识时,多考查平面向量的坐标运算,多数为数量积及模与夹角、垂直的坐标运算.如:

例3(2021年新高考Ⅱ卷第10题)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )

(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).

由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.

3 研究结论与教学建议

3.1 研究结论

近十年高考数学全国卷平面向量试题近九成是选择题和填空题,且选择题居多,超七成试卷只有1道平面向量试题,分值5分,超两成试卷有2道平面向量试题,分值为10分与17分(二者数量相差不大),题目难度以易、中为主,占比和超八成,以知识融合题为主的难题占比低于两成.平面向量试题考查知识点按比例由高至低依次为数量积及模与夹角、线性运算及其几何意义、垂直、平行、平面向量基本定理,且对坐标运算的考查多于非坐标运算的考查.平面向量与其他知识的融合主要集中在圆锥曲线、三角函数与解三角形、函数、数列等.

3.2 教学建议

3.2.1理解概念,牢记公式,稳固双基

教材对于平面向量内容多是按照基本概念→线性运算及其几何意义→平面向量基本定理→坐标运算→平面向量数量积的顺序编排[3][4],基本概念是后续知识展开的基础,特别是平面向量基本定理,是坐标运算的“根”,坐标运算是其“果”.这部分知识前面概念多,后面公式多,但就全国卷而言考查内容简单,多为选择题和填空题,考查内容基本为数量积及模与夹角、线性运算及其几何意义、垂直、平行、平面向量基本定理的简单应用,有坐标运算,也有非坐标运算.因此在教学中须让学生切实理解概念,记牢公式,稳固双基.

3.2.2画好图形,精准运算,数形结合

平面向量兼具几何与代数双重属性,教材安排也是先“几何”后“代数”的顺序,并且线性运算以及数量积运算都有丰富的物理背景,是学科交叉的良好案例.对于高中生而言,平面向量也是数形结合的良好案例.因此,在日常教学中,教师要注重学生画图习惯的养成,画对图,画好图,为之后的数学运算当好“眼睛”,在此过程中亦能培养数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算素养.

3.2.3总结反思,建构体系,提升素养

在平面向量与其他知识的融合中,可以发现平面向量充当辅助工具的作用,且这类题目往往对平面向量知识的考查多在坐标运算上,也很简单,重点在于与其他知识融汇贯通,这就需要建构知识体系.高中数学知识点多,抽象程度也较高,但是好在知识之间彼此是相通的,所以我们的学习不会因所学知识的增多而负担增重,反而会因发现、理解先后知识的联系而叹为观止.因此,在教学中要注重引导学生对知识的梳理、总结、反思,总结的次数多了,学生就会发现知识间的联系,找到联系、及时反思,就能自主建构属于自己的“知识体系”,当然在此过程中也可提升数学核心素养.

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